Onde elettromagnetiche 21 ottobre 2013 Predizione dell’esistenza di onde elettromagnetiche Velocita` di propagazione L’opera di H. Hertz Soluzioni progressive e regressive Onde sinusoidali Lunghezza d’onda e periodo dell’onda Polarizzazione Trasporto di energia di un’onda Vettore di Poynting Intensità di energia di un’onda sinusoidale

Equazioni di Maxwell nel vuoto L’assenza di cariche e correnti magnetiche rende le equazioni asimmetriche tra i campi E e B Si ottiene perfetta simmetria nelle zone di spazio ove non ci sono cariche ne’ correnti elettriche

Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto In forma differenziale: Consideriamo la prima equazione e facciamo la rotazione dei due membri:

Lemma Calcoliamo la rotazione della rotazione del campo E per componenti cartesiane Sommiamo e sottraiamo un termine

Lemma La prima parentesi e` il laplaciano della componente Ex mentre la seconda e` la componente x del gradiente della divergenza di E Le componenti x e y si ricavano per permutazione ciclica degli indici; sommandole alla componente x troviamo infine

Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto La divergenza di E è nulla, poiché siamo in una regione priva di cariche, quindi Per il secondo membro dell’eq. scambiamo l’ordine tra gradiente e derivata rispetto a t e quindi usiamo la legge di Faraday:

Equazione delle onde Abbiamo infine: Se fossimo partiti dalla seconda equazione avremmo ottenuto Ciò significa che per ogni componente di E e di B, vale un’equazione del tipo

Dimensioni di Cioè le dimensioni dell’inverso di una velocità al quadrato Possiamo scrivere L’equazione diventa che e` la famosa equazione delle onde

Equazione delle onde Questa equazione descrive la propagazione della grandezza f con velocita` v Le equazioni di Maxwell predicono l’esistenza di onde elettromagnetiche Queste onde si propagano con velocita` Le grandezze che oscillano sono le componenti dei campi E e B

Valore della velocita` Calcoliamo la velocita` delle onde elettromagnetiche Il valore coincide quasi esattamente con la velocita` della luce Maxwell penso` che questa coincidenza non potesse essere fortuita Fece l’ipotesi che la luce fosse un fenomeno elettromagnetico

Hertz e la scoperta delle onde e.m. Hertz uso` un generatore di scariche comandato da un rocchetto di Ruhmkorff e una coppia di fili lunghi un metro come trasmettitore Sfere capacitive erano presenti alle estremita` per regolare la risonanza del circuito Il ricevitore era una semplice antenna dipolare a mezz’onda

L’opera di Hertz Con i suoi esperimenti Hertz studio` Riflessione Rifrazione Polarizzazione Interferenza delle onde elettromagnetiche e ne misuro` la velocita` di propagazione

Soluzioni dell’equazione delle onde Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t: Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane Si può dimostrare che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di esse è soluzione

Significato della soluzione g Consideriamo il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t1 Consideriamo poi il valore di g nel punto x=x1 al tempo t=t2 x1 g x g(x1,t1) t=t1

Significato della soluzione g Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2 È lo stesso valore che in x=x1-Dx al tempo t=t1 Questo vale per tutti i punti sull’asse x x1 x1-Dx g x g(x1,t2) t=t2

Significato della soluzione g Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando la funzione all’istante precedente t1 della quantità Dx La funzione g rappresenta quindi un’onda progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con velocità v x1 x1-Dx g x g(x1,t2) t=t2

Significato della soluzione h Similmente possiamo affermare che la funzione h rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta verso x negativi, con velocità -v

Onde piane e.m. - componenti longitudinali Studiamo la componente x del rot E Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e` dipendenza dalla sola coordinata spaziale x Otteniamo l’equazione Similmente, studiando la componente x del rot B otteniamo Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel tempo

Onde piane e.m. - componenti longitudinali Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata spaziale x, otteniamo Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere costanti nel tempo, sono uniformi rispetto a x Si possono scegliere queste costanti uguali a zero Cio` significa che le componenti dei campi nella direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero l’onda e` trasversale

Soluzioni sinusoidali Sono soluzioni particolarmente semplici, in cui g assume la forma seno o coseno L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla teoria di Fourier, secondo cui qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini

Soluzioni sinusoidali Cerchiamo il significato di k: dimensioni Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali per cui la funzione assume lo stesso valore per periodicita` x1 x2

Lunghezza d’onda Le fasi possono differire per un multiplo di 2p Questo definisce la relazione tra x1 e x2 La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda La costante k prende il nome di numero d’onda ( (o anche vettore d’onda) x1 x2 l

Periodo dell’onda Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali che la funzione assuma lo stesso valore per periodicita` Le fasi possono differire per un multiplo di 2p Questo definisce la relazione tra t1 e t2 Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda t1 t2 T

Soluzioni sinusoidali Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque dei modi seguenti

Soluzioni sinusoidali Tali soluzioni rappresentano onde dette monocromatiche Il motivo e` che nello spettro della luce visibile ad ogni frequenza corrisponde un colore e che le onde sinusoidali contengono una sola frequenza (o pulsazione)

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo l’equazione Ottenendo Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase Esiste una relazione analoga tra Ez e By

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali Da queste relazioni segue che i moduli dei campi sono proporzionali E che i campi sono ortogonali

Polarizzazione Le onde e.m. piane sono puramente trasversali I gradi di libertà trasversali sono due Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà corrispondono alle componenti Ey, Ez Potremmo fare le stesse considerazioni con il campo B Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché ad ogni componente di E è associata una componente di B

Polarizzazione Supponiamo che il campo E sia Quindi il campo B risulta essere Nel piano trasversale il vettore E oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a Ez0 Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente y z E B

Polarizzazione Supponiamo che il campo E sia Quindi il campo B risulta essere Nel piano trasversale il vettore E descrive un cerchio di raggio E0 Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di p/2, è detta polarizzata circolarmente y z E B

Trasporto di energia A cDt L’energia e.m. di un’onda piana monocromatica che attraversa l’area A nel tempo Dt è uguale all’energia contenuta nel volume di base A e altezza cDt Questa si trova moltiplicando la densità di energia per il volume del cilindro C’è un contributo elettrico ed uno magnetico

Trasporto di energia Parte elettrica Parte magnetica cDt Tali relazioni, dimostrate per campi statici, valgono anche per i campi rapidamente variabili di un’onda L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita come l’energia incidente diviso l’area e il tempo

Vettore di Poynting Tenendo conto che L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per modulo e direzione e verso dell’onda S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il flusso istantaneo di energia e.m.

Vettore di Poynting Verifichiamo quanto detto calcolando le componenti cartesiane del vettore S per un’onda piana monocromatica Si vede facilmente che la sola componente non nulla e` quella longitudinale (x) Tale componente e` positiva, ovvero S ha il verso x positivo, cioe` il verso di propagazione dell’onda

Intensità media Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la media nel tempo di S Calcolo di I per un’onda sinusoidale