Le Geometrie non euclidee Forse Vi chiederete: ”Cosa sono???” Tranquilli!!!Ve lo spieghiamo noi! Le Geometrie non euclidee

Euclide (367 a.C. ca. - 283 a.C. ca.). È noto come autore degli “Elementi”, la più importante opera di geometria dell’antichità. Quando Euclide sistemò la geometria dandole un assetto assiomatico, si trovò di fronte ad una difficoltà che probabilmente percepì ma non riuscì a risolvere positivamente: per dimostrare alcuni teoremi che risultano essenziali nello studio delle figure piane più elementari, Euclide “fu costretto” ad introdurre il V postulato.

I Postulati di Euclide Tra due segni (punti) qualsiasi è possibile tirare una retta Si può prolungare una retta oltre i due segni indefinitamente Dato un segno e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio Tutti gli angoli retti sono uguali r 5. Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti. )  A β ) r’

Il V postulato equivale a… "Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data" r P

Il Postulato delle parallele non è “evidentemente vero” Dopo Euclide sorsero le domande: si può dimostrare il V postulato a partire dagli altri 4? non è possibile che sia soltanto comodo ma non necessario porlo come assioma? Alcuni matematici tentarono di rispondere a queste domande e tra questi Girolamo Saccheri (1667-1733).

Girolamo Saccheri nell’anno della sua morte pubblicò “Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae Geometriae Principia.” (Euclide emendato da ogni difetto…) Egli voleva provare il V postulato di Euclide attraverso una dimostrazione per assurdo. La figura fondamentale di Saccheri è il quadrilatero birettangolo isoscele, cioè il qudrilatero con due lati opposti uguali e perpendicolari alla base. Gli angoli C e D possono essere rettangoli, acuti o ottusi. Saccheri tentò di escludere l’ipotesi dell’angolo acuto e ottuso.

…nascono le geometrie non euclidee… Il dibattito sulle geometrie non euclidee e sulla possibilità di costruire in modo logicamente coerente spazi in cui non vale il V postulato, si sviluppò nella prima metà del XIX secolo e caratterizzò il sorgere di una nuova concezione della geometria, meno direttamente collegata alla descrizione dello spazio circostante.

Classificò le geometrie in: Le geometrie non euclidee dovevano essere accettate con lo stesso grado di “veridicità” o possibilità logiche che aveva la geometria euclidea e una sistemazione definitiva venne infine data da Felix Klein (1849-1925). Classificò le geometrie in: Geometria euclidea Vale l’assioma dell’esistenza e dell’unicità della parallela; la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto Geometria ellittica (o sferica) non esistono rette parallele; la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180° Geometria iperbolica per un punto esterno ad una retta non esiste un’unica parallela; la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Fu Gauss il primo ad avere chiara la visione d’una geometria indipendente dal V postulato. Egli non pubblicò mai i risultati dei suoi studi per paura delle cosiddette “urla dei beoti” cioè le proteste di coloro che non lo avrebbero compreso.

Janos Bolyai (1802-1860) Fin da ragazzo, si interessò profondamente al postulato delle parallele di Euclide. Rifiutando l’invito del padre a “lasciar perdere”, insistette nella sua ricerca e alla fine giunse alla conclusione che il postulato è indipendente dagli altri assiomi della geometria e che diverse geometrie coerenti possono essere costruite sulla sua negazione.

Nicolai Ivanovich Lobacevskij (1792-1856) Lobacevskij sviluppò una geometria nella quale il quinto postulato non fosse vero, o meglio, non fosse indispensabile a qualunque geometria coerente. Egli sostenne le sue idee dando vita ad una nuova geometria (iperbolica) basata sull'ipotesi dell'angolo acuto: in un piano, per un punto fisso, passano almeno due parallele ad una retta assegnata.

Geometria iperbolica Dati una retta “l” e un punto P esterno ad essa, esiste almeno un angolo OPQ tale che una semiretta uscente da P interseca “l” se e solo se tale semiretta è contenuta nell’angolo OPQ ed è diversa dalle semirette PO e PQ. Le due semirette limiti PO e PQ si dicono parallele ad “l”. In questo caso parallelo significa che le rette non intersecano “l” anche se non hanno distanza costante dalla retta data. In tal modo si dimostra che per il punto P passano infinite rette (come per esempio la retta “u” e tutte le altre nel supplemento di OPQ) che, come le parallele, non intersecano “l”: esse si dicono ultraparallele ad “l” (figura n°1). Toccò a Gauss essere il primo ad adottare il punto di vista moderno, che nessuna assurdità, nessuna contraddizione può essere trovata nella geometria iperbolica ottenuta sostituendo al V postulato il seguente enunciato: Perché in greco “iperbole “ significa “eccesso” in relazione al fatto che le parallele sono in eccesso rispetto alla geometria di Euclide P u O Q l

Modello di Beltrami Modello di Klein Modello di Poincaré Alcuni modelli di geometria iperbolica (a spiegazione della geometria di Lobacevskij) Modello di Beltrami Modello di Klein Modello di Poincaré

Eugenio Beltrami (1835-1900) Nomenclatura nel “Saggio di interpretazione della geometria non euclidea” fornì un modello adeguato per la geometria di Lobacevskij. Nomenclatura superficie pseudosferica: regione di piano non euclideo punto della superficie: punto del piano geodetica: retta del piano di minima distanza tra due punti arco di geodetica: segmento del piano asintoto: retta tangente ad una curva in un punto all’infinito

La pseudosfera Si considera una curva definita come il luogo dei punti del piano tali che i segmenti di tangente compresi tra essa e una retta hanno lunghezza costante. Tale retta è, per la trattrice, un asintoto. Si considera quindi la superficie che si ottiene ruotando la trattrice attorno al suo asintoto. Tale superficie ha questa particolarità. Essa, come la sfera, ha una curvatura concava costante e per questo è chiamata pseudosfera. Su tale superficie si chiamano rette le linee geodetiche cioè le linee di minima distanza, e si verifica che per un punto esterno a una retta esistono infinite rette parallele

Nel modello di Klein gli elementi della geometria iperbolica vengono interpretati nel seguente modo: Piano: un cerchio euclideo, esclusa la circonferenza. Punti: i punti interni alla circonferenza. Rette: le corde ovviamente esclusi gli estremi. In questo modo, data una retta ed un punto ad essa esterno, esistono infinite rette parallele alla retta data, cioè che non la intersecano, in accordo con la negazione del quinto postulato di Euclide, che è un assioma fondamentale della geometria iperbolica. Modello di Klein C U A D C . Q M P D A B K V B

Klein definì la “distanza” tra due punti in questo modo: Con P e Q indichiamo i punti che sono gli estremi della corda per A e B. Le caratteristiche di questa “distanza” sono le seguenti:

A ogni coppia di “punti” del piano di Klein questa distanza associa un numero reale non negativo. Se B coincide con A si ottiene Se si considera un punto fisso A e si fa variare l’altro su una “retta” facendolo tendere ad avvicinarsi alla circonferenza (in modo che tenda a coincidere col punto Q), la distanza cresce, variando uniformemente da 0 a infinito. Quindi, utilizzando questa funzione di distanza, le “rette” assumono “lunghezza” infinita, si dimostrano gli assiomi di congruenza ma non l’assioma della parallela.

Henri Poincarè (1854-1912) Nel suo modello le due rette possono: matematico ed epistemologo il cui contributo scientifico riguardò diversi ambiti. Nel suo modello le due rette possono: Non intersecarsi affatto: essere divergenti nel senso di Lobacevskij Intersecarsi nel semipiano: essere convergenti nel senso di Lobacevskij Toccarsi sull’asse x: essere tangenti nel senso di Lobacevskij Due rette siano due semicirconferenze con il centro sull’asse delle x: esse possono ovviamente non intersecarsi affatto, intersecarsi in un punto del semipiano y>0,cioè intersecarsi in un punto del piano di Poincarè, intersecarsi in un punto dell’ asse delle ascisse. In quest’ultimo caso esse si diranno tangenti.

Consideriamo, nel piano euclideo ordinario, una retta orizzontale x e fissiamo la nostra attenzione solo sui punti del piano che stanno al di sopra dell’asse Prendiamo in considerazione le semicirconferenze aventi il centro in un punto dell’asse x Un caso limite di tali circonferenze sono le semirette perpendicolari all’asse che si ottengono quando il centro sull’asse delle x tende all’infinito Due punti del piano di Poincaré determinano una ed una sola retta di Poincaré. B A B P A x M N

Le due rette tangenti a q da A sono rappresentate dalle due semicirconferenze, t per A e B, s per A e C. Essi suddividono lo spazio intorno ad A in 4 regioni angolari, due bianche e due colorate in figura: le rette passanti per le due regioni bianche intersecano q, le rette passanti per le due zone colorate non intersecano q. Le due rette tangenti t ed s separano le rette per A che intersecano q da quelle che non intersecano q. Dati una retta q del piano di Poincarè (una semicirconferenza) ed un punto A non appartenente a q si possono condurre da A due tangenti a q.

La Geometria Ellittica o geometria di Riemann (1826-1866) Riemann ha pubblicato il libro “Uber die Hypothesen, welche der Geometrie su Grunde Liegen” (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria). Il postulato delle parallele afferma sia l’esistenza sia l’unicità della parallela ad una retta per un punto ad essa esterno. Nel sistema di Lobacevskij cade l’unicità; nel sistema che considera Riemann cade il postulato dell’esistenza.

Si può costruire un semplice modello della geometria di Riemann Il piano ellittico è costituito da una superficie sferica. I punti ellittici sono costituiti da coppie di punti diametralmente opposti. Le rette ellittiche sono i cerchi massimi sulla sfera Consideriamo sulla sfera un triangolo che abbia la somma degli angoli interni maggiore di 180°: si prendano due meridiani che formino al polo un angolo di 90° tra loro. Essi formeranno angoli di: 90° tra essi ed il polo; 90° tra il primo meridiano e l'equatore; 90° tra il secondo meridiano e l'equatore. Sommando otteniamo 270°, impossibile nella familiare geometria euclidea. Non esiste alcuna parallela ad un retta passante per un punto esterno ad essa. In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°

Le geometrie non euclidee non sono rimaste, nella storia, un puro esercizio logico privo di applicazioni. Nell’ambito delle misurazioni che normalmente si effettuano, la geometria euclidea costituisce un buon modello; proprio un sistema non euclideo di tipo ellittico, è stato utilizzato da Albert Einstein, nell’ambito della teoria generale della relatività, come modello geometrico dello spazio fisico per grandi distanze ed a velocità prossime alla velocità della luce. La geometria richiede[…] per venire fondata in modo coerente, solo poche, semplici proposizioni fondamentali. Queste proposizioni fondamentali si chiamano gli assiomi della geometria. L’esposizione degli assiomi della geometria e l’indagine sui loro mutui rapporti costituiscono un problema[…]. D. Hilbert Fondamenti della geometria, 1900

Il programma di Erlangen e la visione unitaria della geometria Con la sua opera “Vergleichende Betracht-ungen über neuere geometrischen Forschungen” (Considerazioni comparative sopra ricerche geometriche recenti), Klein rappresenta il culmine dell’“età eroica della geometria” unificando tutti i risultati geometrici ottenuti fino ad allora e fornendo un’interpretazione nuova della geometria nel suo complesso. Per fare questo utilizza la teoria dei gruppi tramite la quale fornisce una classificazione coerente di tutte le geometrie. Nel programma di Erlangen, ha dimostrato come lo studio della geometria sia uno studio delle figure geometriche in relazione alle possibili trasformazioni ammesse, e che, in particolare, la geometria euclidea sia interessata allo studio delle trasformazioni rigide. Egli si interessò alle applicazioni della sua teoria nel campo della geometria non euclidea fornendo egli stesso il nome di geometria ellittica ed iperbolica, sviluppando per quest’ultima un modello consistente e coerente.

Grazie per l’attenzione

Di Carlantonio Cristian Hanno partecipato Classe III D Cantagalli Silvia Caruso Mattia Consorte Sara Di Iorio Federico Di Virgilio Giulia Ferreo Gianmarco Classe IV D Candelori Alessandra Di Carlantonio Cristian Di Silvestre Gabriele Ferrante Maria Chiara Sciamanna Federico Serra Maria Iolanda Zitti Alex