DISTRIBUZIONE BINOMIALE (cenni) DISTRIBUZIONE NORMALE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ liberamente modificato rispetto a: www.dti.unimi.it/pizzi/probppt/stat3.ppt DISTRIBUZIONE BINOMIALE (cenni) DISTRIBUZIONE NORMALE DISTRIBUZIONE DI POISSON (cenni)

PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE Vogliamo conoscere la probabilità di ottenere una sequenza di eventi favorevoli A e contrari B, contenente k volte A e n-k volte B, comunque disposti. La probabilità dell’evento A è p, quella di B è q = 1-p. La probabilità di una specifica sequenza è la probabilità composta dei k eventi A e degli n-k eventi B:

PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE p · p · p….(k volte) · q · q · q….(n-k volte) ossia P = pk q n-k Calcolando su tutte le possibili sequenze , Si ottiene:

PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE Quindi la probabilità di avere una qualsiasi sequenza con k eventi A e n-k eventi B sarà dove P è la probabilità di ottenere k eventi, di probabilità costante p, su n prove indipendenti.

DISTRIBUZIONE BINOMIALE I lanci successivi devono essere indipendenti dai precedenti Le uscite devono essere completamente casuali La probabilità di una uscita deve essere costante nel tempo. Se poniamo in ascissa i valori di k e in ordinata le probabilità P(k), rappresentiamo graficamente la formula vista. Ad esempio assumiamo che la probabilità singola p sia 0.3, e il numero di prove n sia 10.

DISTRIBUZIONE BINOMIALE Distribuzione delle probabilità P(k) relative ai vari k considerati, quando p=0.3 e n=10.

DISTRIBUZIONE BINOMIALE La distribuzione binomiale permette di calcolare, per numeri n piccoli (n < 30-35), le probabilità di avere un certo numero k di successi nelle n prove. Se abbiamo molte prove, n diventa molto grande e trovare le probabilità dei k successi diventa difficile. Per alti n il problema non è di trovare la probabilità connessa ad uno specifico numero k di successi, ma di trovare ad esempio la probabilità di trovare più o meno di k successi.

DISTRIBUZIONE NORMALE Si ricorre allora alle distribuzioni NORMALE ( GAUSSIANA) o di POISSON, che valgono per n molto grande (n> 30-50) In questo caso lo scaloide della distribuzione di probabilità binomiale, ossia l’insieme dei rettangoli che rappresentano le probabilità dei singoli k successi, tende a diventare un’area sottostante ad una linea continua.

DISTRIBUZIONE NORMALE

DISTRIBUZIONE NORMALE

DISTRIBUZIONE NORMALE

DISTRIBUZIONE NORMALE La forma della curva cui tende la distribuzione al tendere di n all’infinito è differente secondo il valore che p (e quindi q) assume. Si danno due casi: Nel primo caso p e q non sono molto differenti fra loro e quindi nessuno dei due valori si scosta molto dal valore di probabilità ½, né è troppo vicino ai valori estremi 0 ed 1. In questo caso al tendere di n all’infinito la distribuzione tende alla curva teorica che si chiama gaussiana o curva normale. Si intende di solito che una distribuzione di probabilità normale approssima bene una binomiale quando i prodotti n•p ed n•q sono entrambi maggiori (=) di 5. Esempi: n = 500 p = 1/5 q = 4/5 n•p = 100 n•q = 400 n = 60 p = 1/4 q = 3/4 n•p = 15 n•q = 45 n = 30 p = 1/3 q = 2/3 n•p = 10 n•q = 20

DISTRIBUZIONE di POISSON Nel secondo caso p è molto maggiore o molto minore di q, in modo che ambedue si discostano molto dalla probabilità ½ e si avvicinano molto ai valori estremi 0 ed 1. Se al tendere di n all’infinito il prodotto n•p rimane costante, la distribuzione tende alla cosiddetta curva di Poisson. Si parla di poissoniana quando il valor medio =, rappresentato dal prodotto n•p è: =n•p << n , n•p <= 10 , n>50,  Esempi: n = 500 p = 0,003 =n•p = 1,5  << 500=22,36 n = 200000 p = 0,00001 =n•p = 2  << 200000=447 n = 800 p = 0,001 =n•p = 0,8  << 800=28,28

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ Una distribuzione binomiale è di solito asimmetrica ed è simmetrica solo se q=p=1/2; anche una distribuzione normale è in generale asimmetrica, però diventano sempre più simmetriche al crescere di n (sempre con n<=30). Per n = infinito la distribuzione normale è perfettamente simmetrica.

CLASSI DI FREQUENZA E’ sbagliato suddividere l’intervallo di variazione in un numero piccolo di intervalli: il diagramma risulta scarsamente informativo e si discosta molto dalla normale. E’ anche sbagliato suddividerlo in troppi intervalli. In questo caso l’informazione è troppo dispersa e si possono trovare dei buchi, ossia intervalli in cui la frequenza è molto minore che in quelli adiacenti. Un numero ragionevole di classi di frequenza può andare da un minimo di 16 ad un massimo di 30.

DISTRIBUZIONE NORMALE Molte distribuzioni empiriche (ossia distribu- zioni di frequenza) sono approssimativamente normali. Quando effettuiamo un campionamento e ne diagrammiamo la distribuzione di frequenza, se il numero di elementi del campione è sufficientemente elevato e il numero di classi non è troppo piccolo (almeno 10-15), troveremo quasi sempre un campione distribuito normalmente.

DISTRIBUZIONE NORMALE Se il campione è distribuito normalmente si possono applicare le proprietà della curva teorica gaussiana al campione rimanendo entro un intervallo accettabile di errore (il campione essendo finito non sarà mai perfettamente normale). Data una grandezza x distribuita normalmente con media  e deviazione standard , l’equazione della curva normale è:

DISTRIBUZIONE NORMALE f(x) non dà la probabilità associata ad x, bensì la densità di probabilità. Per ottenere la probabilità associata ad un evento relativo ad una distribuzione normale occorre integrare su un intervallo appropriato.

DISTRIBUZIONE NORMALE Ad esempio la probabilità che x sia minore di x0 sarà

DISTRIBUZIONE NORMALE Ad esempio la probabilità che x sia compreso fra due valori x1 e x2 sarà

DISTRIBUZIONE NORMALE Sappiamo che l’area delimitata dalla curva e dall’asse x vale 1. Quindi l’area sotto la curva compresa fra le due ordinate x=a e x=b , dove a<b, rappresenta la probabilità che x sia compreso fra a e b. Quando la variabile x viene espressa in unità standard, z = (x - )/  L’equazione precedente viene sostituita dalla sua FORMA STANDARDIZZATA

DISTRIBUZIONE NORMALE e in tal caso diciamo che z è distribuita normalmente con media =0 e varianza =1. Il grafico sarà simmetrico intorno allo zero.

DISTRIBUZIONE NORMALE L’uso delle tavole ci risparmierà la fatica di risolvere gli integrali. Nel caso di approssimazione della distribuzio-ne binomiale a quella normale si avrà  = n•p  = n•p•q x = k numero di successi su n prove dove media, moda e mediana coincidono. Esempio: Data la variabile Normale N(50, 82), qual è la probabilità che essa sia compresa tra 30 e 60? L’altezza media di un gruppo di 20.000 persone(), è di 170 cm , con varianza di 100. Qual è la probabilità che essa sia compresa tra 155 e 180 cm? Quante persone sono alte almeno 180 cm?

DISTRIBUZIONE NORMALE E quindi

DISTRIBUZIONE NORMALE Rappresentando graficamente questa funzione otteniamo la caratteristica curva a campana simmetrica intorno alla media:

DISTRIBUZIONE NORMALE In corrispondenza di + e – la curva presenta i suoi punti di flesso. Tracciando diversi diagrammi per diversi valori di  ci accorgiamo che la curva è tanto più appiattita quanto maggiore è la deviazione standard.

DISTRIBUZIONE NORMALE Una proprietà fondamentale della gaussiana è la seguente: La probabilità che uno scarto dalla media sia maggiore di un certo valore è inversamente proporzionale al rapporto fra questo valore e la deviazione standard. Quindi esiste una probabilità definita e uguale per tutte le curve normali che un certo scarto sia inferiore a una (2, 3) deviazione standard. Tale probabilità è equivalente all’area tratteggiata in figura:

DISTRIBUZIONE NORMALE

DISTRIBUZIONE NORMALE

DISTRIBUZIONE NORMALE

DISTRIBUZIONE NORMALE Probabilità che un valore cada casualmente entro alcune deviazioni standard () rispetto alla media (): Entro 1.0 dev.st. dalla media = 68.26% (<x<) Entro 2.0 dev.st. dalla media = 95.44% (<x<) Entro 3.0 dev.st. dalla media = 99.73% (<x<) Ossia il 68,26% delle osservazioni cade entro , il 95,44% delle osservazioni cade entro 2, ed entro 3 sono comprese pressoché tutte le osservazioni

DISTRIBUZIONE DI POISSON La distribuzione binomiale tende alla poissoniana quando la probabilità dell’evento p è molto piccola con n (prove) molto grande. La poissoniana è una distribuzione discreta, con la caratteristica che la media teorica (valore atteso ) è uguale alla varianza:  =  =  = n p

DISTRIBUZIONE DI POISSON Quindi la funzione che rappresenta questa distribuzione è dove P è la probabilità che il valor medio si presenti k volte in n prove (con n molto grande).

DISTRIBUZIONE DI POISSON o Legge degli Eventi Rari Questo tipo di distribuzione di frequenze (eventi che si verificano con frequenza molto bassa in uno spazio o in un tempo molto grande) si presenta in natura in alcuni casi, ad es.: Numero di microorganismi in una certa superficie o per unità di volume di un liquido Decadimento di sostanze radioattive(Rutherford- Polonio) (numero di particelle emesse per unità di tempo) Insorgenza di antibiotico-resistenza in una popolazione batterica

Esempi di applicazione della Distribuzione di Poisson Numero di morti per una malattia non frequente in una grande popolazione. Studio delle file di attesa (numero di chiamate telefoniche ad un centralino; numero di arrivi di clienti ad un certo servizio: sportelli bancari o postali, distributori di carburante, etc..; Numero di difetti dei prodotti lavorati Una madre da il permesso alla figlia di andare a comprare una maglietta . Il commesso prepara una file di 15 bellissime magliette e la figlia le prova 1 ad 1 e con una probabilità 0.7 le scarta perche non le piacciono, altrimenti le compra. Qual e la probabilità che torni a casa con 6 magliette?

DISTRIBUZIONE DI POISSON Es. numero di morti dovute a calcio di cavallo nei reggimenti di cavalleria prussiani (studio statistico di Von Bortkiewicz): N. morti /reggimento/anno n. regg/anno 0 109 1 65 2 22 3 3 1 1 Nel 1898 Bortkiewicz pubblicò un libro sulla distribuzione di Poisson, intitolato La Legge dei Piccoli Numeri. In questo libro per prima cosa egli osservò come gli eventi con bassa frequenza in una grande popolazione tendano a seguire una distribuzione di Poisson anche quando le probabilità degli eventi è variata. I dati da lui analizzati sono relativi al numero di soldati uccisi accidentalmente a causa del calcio di un cavallo ogni anno in 14 corpi di cavalleria su un periodo di 20 anni. Bortkiewicz ha illustrato come tali numeri seguano una distribuzione di Poisson. Alcuni storici della matematica hanno proposto che la distribuzione di Poisson dovesse chiamarsi in realtà Distribuzione di Bortkiewicz. […]