Cenni di teoria ergodica Enrico Scalas (DISTA Università del Piemonte Orientale) www.econophysics.org Riunione Ancona - 7-8 ottobre 2004

Riassunto Il teorema di Liouville Il teorema del ritorno di Poincaré Ergodicità Il teorema ergodico per i processi stocastici Discussione

Il teorema di Liouville I (da V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti): L’evoluzione temporale conserva il volume: per ogni regione D dello spazio delle fasi si ha: vol(gt D) = vol(D) (si può dimostrare direttamente usando le equazioni di Hamilton)

Il teorema di Liouville II

Il teorema del ritorno di Poincaré (sempre dal libro di Arnold): Sia g una trasformazione continua e biunivoca che conservi il volume e che trasformi una regione limitata D di uno spazio euclideo in se stessa: g D = D. Allora in ogni intorno U di un punto qualsiasi della regione D esiste un punto x appartenente a U che ritorna in U, cioè gn x appartiene a U per qualche n>0. (questo teorema è molto semplice da dimostrare: il punto cruciale è che D è limitata)

Ergodicità (da D. Ruelle, Caso e caos, Bollati Boringhieri, 1992): Def: Diciamo strato di energia (energy shell) ME l’insieme dei momenti p e delle coordinate q per cui si ha H(p,q) = E. Def: L’evoluzione temporale sullo stato di energia ME si dice ergodica se dato J contenuto in ME e tale che gt J = J, si ha necessariamente vol(J) = 0 o vol(J) = vol(ME). Se l’evoluzione temporale è ergodica e se consideriamo un qualsiasi sottoinsieme A di ME e indichiamo con TA il tempo che il sistema trascorre in A per 0< t <T durante l’evoluzione temporale, si ha che il rapporto TA/T tende al rapporto vol(A)/vol(ME) per T che tende ad infinito. In altre parole, le medie temporali tendono alle medie di insieme.

Il teorema ergodico per i processi stocastici I (da B. Gnedenko, The theory of probability, MIR, 1976): Nel 1931, Birkhoff dimostrò un teorema generale della meccanica che aveva una notevole generalizzazione probabilistica. Khinchin fu il primo ad accorgersene nel 1934. Il teorema è il seguente: Se un processo stocastico continuo e stazionario S(t) ha valor medio finito, allora con probabilità 1 esiste il limite:

Il teorema ergodico per i processi stocastici II (da A Papoulis, Probabilità, variabili aleatorie e processi srocastici, Bollati Boringhieri): Se il limite della media temporale esiste, a che cosa tende? Se esiste il valor medio E(S(t)) =  e la funzione di autocorrelazione RSS() tende a zero per tendente a infinito allora vale con probabilità 1:

Esempio semplice S(t) = C(t) + N, con C(t) successione di numeri distribuiti uniformemente tra 0 e 1 e N variabile aleatoria normale N(0,1) è stazionario, ma non ergodico; infatti, il valor medio di insieme vale 1/2 (E(S(t)) = E(C(t)) + E(N) = 1/2 + 0 = 1/2); invece, il valor medio temporale vale 1/2 + N.

Discussione From cottrell@ac.wfunet.wfu.edu Mon Nov 1 13:13:16 1993 Date: Mon, 1 Nov 1993 15:03:03 -0400 (EDT) From: allin cottrell <cottrell@ac.wfunet.wfu.edu>Subject: Re: ergodicity To: pkt@csf.colorado.edu Jim Devine's question: Explain the terms 'ergodic' and 'non-ergodic' in terms of the errors in econometric equations. Answer: If the process under examination is non-ergodic, then econometric equations are in error! Explanation: In all econometric work, one is assuming that the time-series behavior of the variables of interest gives us a handle on the nature of the statistical processes according to which those variables are generated. For instance, one estimates C(t) = a + bY(t) + u(t), on the assumption that the variance (across time) of the residual from this equation provides an estimate of the variance of the distribution from which the error u(t) is drawn, each period. This, as I understand it, is the assumption of ergodicity. But if aggregate consumption is non-ergodic, the observed past values of the residual from an equation such as the above do not tell us anything about the statistical process generating the consumption data in each period. Comment: It seems to me that the claim that economic processes are non-ergodic borders on nihilism. Paul Davidson likes to argue that non-ergodicity provides a foundation for a Keynesian approach to the demand for money (liquidity preference being related to fundamental uncertainty). But I think this line of argument is self-destructive. If the past really provides *no* guide to the future, then what makes anyone think that holding money is preferable, from the point of view of liquidity, to holding stocks of toothpaste or radioactive waste?