Teoria dei codici correttori d'errore Fondatore: Richard W. Hamming Articolo: Error Detecting and Error Correcting Codes (1950) In ogni trasmissione digitale possono avvenire errori. Es. ricezione da sonde spaziali o satelliti: canale molto disturbato, segnale molto debole  errori frequenti. Es. riproduzione musica o immagini digitali: supporto fisico danneggiato. Senza metodi efficaci e veloci di correzione degli errori non darebbe possibile ricevere informazioni dallo spazio, usare un lettore di CD o un telefonino! Es. graffio di alcuni millimetri sulla superficie di un CD non pregiudica l'ascolto grazie a codice di Reed - Solomon, in grado di correggere 'raffiche' di errori consecutivi di notevole lunghezza. Es. Telefoni cellulari GSM e satelliti: interferenze gestite utilizzando codici convoluzionali. Applicazioni nei campi più diversi: dalle telecomunicazioni alla biologia molecolare

 00000001111111 Gestione errore su 1 bit in sequenze di bit. Codice di ripetizione: Ripeti ciascun bit 3 volte Se uno dei bit è erroneamente invertito, viene riconosciuto e corretto durante la decodifica del suo blocco di 3 bit. 0000 000 000 000 000 Inefficiente: rapporto tra i bit attuali e i bit totali è solo 1/3 (per memorizzare/comunicare 1MB si memorizzano/inviano 3Mb) Codifica Hamming (7,4) Sequenza di bitsuddividisa in porzioni da 4 bit. Sia b il vettore che rappresenta una di tali porzioni, e codifichiamo b come bG a 7 bit, (operazioni modulo 2) Il tasso è 4/7, molto migliore. Vedremo che corregge 1 errore.  00000001111111

Definizione. La distanza di Hamming tra x e y in An è A=alfabeto An=insieme di sequenze di n simboli su A Definizione. La distanza di Hamming tra x e y in An è d(x, y)=numero di coordinate i t.c. xi diverso da yi es. d(0110,0011)=2 La distanza di Hamming è una metrica: d(x, y) = d(y, x) d(x, z) < d(x, y) + d(y, z) d(x, y) = 0 sse x=y

Definizione: Un codice a correzione di errore è un sottoinsieme C di An. La distanza minima di C è (minimo su tutte le coppie di parole diverse in C) d(C)=min d(x,y) Definizione: C è e error detecting se può rilevare <e errori; C è t error correcting se può correggere <t errori DECODIFICA: a minima distanza Nota(esercizio): su BSC (con prob. errore <1/2) (min distanza)=(max probabilità)

Definizione: Un codice a correzione di errore è un sottoinsieme C di An. La distanza minima di C è (minimo su tutte le coppie di parole diverse in C) d(C)=min d(x,y) Definizione: C è e error detecting se può rilevare <e errori; C è t error correcting se può correggere <t errori Proposizione: Se d(C)>2t+1, C e’ 2t error detecting e t error correcting Dim. d(C)=2t+1  sequenza a distanza <2t da parola codice non è in C  2t error detecting d(C)= 2t+1  sequenza r a distanza <t da p.c. ha distanza almeno 2t+1-t>t da ogni altra p.c. (vale disug. triangolare)  prendendo la p.c. più vicina a r correggiamo t errori  t error correcting y r t x t 1

Parametri: q = |A| n = lunghezza delle parole codice k = lunghezza del messaggio (lunghezza pre-codifica) = logq |C| d = d(C) Si vuole: valori grandi di k e d, e valori piccoli di n. Possiamo anche cercare di massimizzare il tasso del codice k/n codice a correzione di errore con questi parametri  codice (n, k, d)q .

Trasmissione su canali rumorosi: confronto tra Teoria di Hamming e Teoria di Shannon (Visione ad Alto Livello) Scopo: Shannon: massimizzare il tasso e minimizzare la probabilità di decodifica errata. Fornisce: funzioni di codifica e decodifica Hamming: massimizzare il tasso e numero errori corretti. Fornisce: codice (funzioni di codifica e decodifica efficienti) Modello d’errore: Shannon: random. Hamming: avversariale (caso peggiore). In Pratica: Risultati di Shannon ottimali ma non costruttivi Teoria dei codici: non ottimali ma efficienti e veloci

Codici a correzione di errore Applicazioni in vari campi: matematica e informatica. Es.: Trasmissione affidabile Memorizzazione su supporti soggetti a guasti (es. CD graffiato) Complessità: per pseudo-randomness, hardness amplification, probabilistically checkable proofs. Crittografia: schemi di condivisione segreti, sistemi crittografici. Matematica combinatoria e ricreativa.

Esempio: Derandomizzazione di algoritmi Definizione: A= algoritmo randomizzato (usa n random bits indip.) A volte basta indipendenza limitata. Pairwise independence sufficiente  derandomizzazione possibile: Invece di y di n bits random (A corretto  prob scegliere y con successo =p>0) run A per ogni y in S ( A corretto  esiste y con successo) Algoritmo Deterministico A’ running time T(A’)= O(|S|T(A)) vogliamo S piccolo Teroria dei codici  Esiste S dimensione O(n)

Codici lineari Alfabeto= A = campo finito (es. {0,…,q-1}, q primo, operazioni mod q) codice è lineare  esiste una matrice di controllo parità H (n-k x n) su A tale che C è lo spazio nullo di H, cioè C = {y | HyT = 0} C lineare è un sottospazio lineare di An  x, y є C  x + y є C x є C, a є Σ  ax є C. C lineare generato da una matrice G (k x n): righe = insieme massimale di parole codice linearmente indipendenti = base spazio lineare. Codice = {x | x=aG}

l=3, k=4, numero parole codice =16 Codice di Hamming n=2l-1 Codice = spazio nullo di H = {x | HxT=0} Numero parole codice = ESEMPIO n=7=23-1 l=3, k=4, numero parole codice =16

Definizione w(x) = peso di Hamming di x = numero componenti di x non nulle w(C)= minx in Cw(x) Lemma Dato codice lineare C w (C)= min numero colonne linearmente dipendenti di H Dim. H ha r colonne l.d. in posizioni i1,…,ir  esistono a1,...,ar tali che  Esiste parola codice di peso r:

Lemma Dato codice lineare C w (C)= min numero colonne linearmente dipendenti di H Per codici di Hamming il peso minimo di una parola è 3: Tutte colonne non nulle  min num colonne l.d. >1 Tutte colonne diverse  c+c’ non nullo  min num colonne l.d. >2 In H tutti vettori  date c,c’ esiste in H colonna c’’=c+c’  c + c’+ c’ ’=0  min num colonne l.d. è 3

Lemma Dato codice lineare C, w (C) = d(C) Dim. Corollario Un codice lineare C corregge t errori se w (C)= d(C) > 2t+1 CODIFICA/DECODIFICA?

Se si sono avuti >2 errori? CODIFICA/DECODIFICA dei Codici di Hamming D(C)=3  corregge 1 errore Siano c=(c0,…,cn-1)=parola codice, r=(r0,…,rn-1)=sequenza da decodificare c r r=c+e, ei=1 sse errore in posizione i HrT=H(c+e)T=HcT +HeT=HeT 0 errori  r=c e=0  HrT=H0T=0 1 errore posizione i  r=c+(0...010…0)=c+ei  HrT=HeiT=ai DECODIFICA: Calcola sindrome s=HrT se s=0 output r se s=ai output r+ei Se si sono avuti >2 errori?

CODIFICA dei Codici di Hamming INPUT: bit di informazione= blocco di k=2l-l-1 bits Vogliamo codifica sistematica: bit di informazione in primi k bit della p.c. Proprietà Se scegliamo H=[A | In-k] allora G=[Ik | AT] Dim. Dobbiamo mostrare che CODIFICA SISTEMATICA: input a=(a0,…,ak-1) output parola codice c=aG c=(a0,…,ak-1,ck,…,cn-1)