Concetti base della finanza Rendimento delle azioni, obbligazioni e attività reali: valore attuale scontato; rendimento sul periodo d’investimento (holding period return); Funzione di utilità e curve di indifferenza: utilità attesa; incertezza e rischio; curve di indifferenza; preferenze intertemporali; Scelte d’investimento fisico e livello ottimale di consumo

Rendimento delle azioni ecc. - 1 Interesse semplice vs. interesse composto es. un tasso del 10% annuo è minore di un tasso del 5% semestrale (che dà interessi sugli interessi): 1*(1+0,10) = 1,10 < (1,05)*(1,05) = (1,05)2 = 1,1025 Ma come si calcola in generale il valore finale di un investimento quando cambia la frequenza con la quale si compongono i tassi di interesse? Consideriamo un ammontare €x investito per n anni al tasso di interesse R per ogni anno. Se interessi composti una sola volta all’anno: (1)

Rendimento delle azioni ecc. - 2 Ma se invece che una volta all’anno, i tassi di interesse si compongono m volte all’anno: (2) E si può mostrare che andando verso la composizione continua: (3) Ove exp = 2,71828 è la e dell’esponenziale studiata in matematica

Rendimento delle azioni ecc. - 3 Esempio dell’effetto di una composizione del tasso di interesse sempre più frequente: Frequenza di Valore di €100 a fine anno composizione (R = 10% annuo) Annuale (m=1) 110,00 Trimestrale (m=4) 110,38 Settimanale (m=52) 110,51 Giornaliera (m=365) 110,517

Rendimento delle azioni ecc. - 5 Il Valore Attuale Scontato (VAS) Se rs(n) è il tasso d’interesse annuale su un investimento privo di rischio per n anni, il valore futuro di €x tra n anni con interesse composto annualmente è: Ne segue che dovremmo essere indifferenti tra ricevere con certezza €VFn tra n anni e avere €x oggi ovvero, in termini formali, il valore attuale scontato di €VFn è:

Rendimento delle azioni ecc. - 6 Supponendo ora che il tasso di interesse privo di rischio sugli n anni sia costante e pari a r (curva per scadenza dei tassi di interesse piatta) il VAS di una serie di incassi VFi (i= 1, 2, .., n) privi di rischio è dato da:

Rendimento delle azioni ecc. - 7 Progetto di investimento fisico Consideriamo un progetto di investimento fisico, es. una nuova fabbrica, da cui si prevede di ricevere un flusso di incassi (profitti) di VFi (i= 1, 2, .., n). Supponiamo che il costo capitale del progetto, pagato inizialmente (a t=0),sia €CK. Allora l’imprenditore investirà nel progetto se: VAS  CK ovvero, in termini di valore attuale netto (VAN) deve valere: VAN = VAS – CK  0 Se VAN=0 i profitti del progetto sono appena sufficienti a ripagare il capitale (montante e interessi). Se VAN>0 ci sono profitti positivi.

Rendimento delle azioni ecc. - 8 Al crescere del costo dei fondi (r) VAN cala per dato VFi . Esiste un valore di r=y (10% in figura) per cui VAN=0, detto tasso interno di rendimento (TIR) dell’investimento:

Rendimento delle azioni ecc. - 9 Ora rimuoviamo l’ipotesi di r costante e diciamo che i flussi a 1 anno (VFi) sono scontati con rs(1), quelli a 2 anni con rs(2) e così via, il VAS è dato da: ove δi = (1 + rs(i))-i sono i fattori di sconto e gli rs(i) sono tassi di interesse a pronti (spot) applicati ai flussi di cassa sui periodi rs(1)=0-1 anno, rs(2) = 1-2 anni e così via. Ma l’investimento fisico non è privo di rischio e il fattore di sconto è il tasso spot privo di rischio rs(i) più un premio al rischio rp(i): δi = (1 + rs(i) + rp(i))-i ma qui serve un modello per il premio al rischio (CAPM)

Rendimento delle azioni ecc. - 15 Se non ci sono opportunità di profitto sistematiche da fare acquistando e vendendo azioni tra investitori razionali ben informati, allora il prezzo di mercato effettivo delle azioni Pt deve essere uguale al valore fondamentale Vt , cioè al VAS dei dividendi futuri attesi. Per esempio, se Pt < Vt allora gli investitori dovrebbero acquistare le azioni sottovalutate e, quindi, realizzare guadagni in conto capitale a mano a mano che Pt si innalza verso Vt . In un mercato efficiente, tali opportunità di profitto dovrebbero essere prontamente eliminate. È chiaro che Vt non può essere calcolato direttamente per confrontarlo con Pt perché i dividendi attesi (e i fattori di sconto) non sono osservabili.

Scelte in condizioni di rischio Per rappresentare le scelte in condizione di rischio utilizziamo lotterie o giochi. Supponiamo che ci siano due possibili stati del mondo: c’è il sole o piove, ogni stato del mondo ha probabilità 0.5 di verificarsi.

Descrizione di un albero decisionale (giochi o prospetti rischiosi) Nodi aleatori Rami Outcomes (risultati)

La Teoria dell’Utilità attesa Sviluppata da Von Neumann e Morgestern (1944) si basa su alcuni importanti assiomi che permettono di ordinare le preferenze, riportiamo i 5 rilevanti: 1)Comparabilità (Completeness): questo assioma stabilisce che un individuo è sempre in grado di paragonare, stabilendo un ordine di preferenza o indifferenza, diversi prospetti rischiosi e mutualmente escludentesi

Transitività Se un individuo preferisce il prospetto rischioso x al prospetto y, e il prospetto y al prospetto z allora preferirà x a z.

Indipendenza forte Si supponga di dover scegliere tra due giochi: il gioco A=(x,z; α , (1-α)) e il gioco B=(y,z; α , (1-α); Se un individuo considera x equivalente a y allora considera i due prospetti rischiosi equivalenti, se invece preferisce x a y preferirà il prospetto A al prospetto B (common consequence effect). L’assioma afferma che nel confrontare i due prospetti si concentra l’attenzione sui risultati che non sono comuni.

Misurabilità Si supponga che il prospetto rischioso x sia preferito a y il quale è a sua volta preferito a z. Allora ci può essere un’unica probabilità α per la quale il prospetto rischioso formato da x e z è equivalente a y. Quindi ci può essere un unico equivalente certo che è compreso tra i risultati x e z del prospetto rischioso.

Ordinabilità Supponiamo che esista il seguente ordine di preferenze: x>y>z e x>u>z Vale a dire u e y sono due esiti entrambi compresi tra x e z, attribuendo a z ed a x diverse probabilità, è possibile trovare un prospetto equivalente a y e uno equivalente a u. Se A=(x,z;α1 (1- α1 ) è equivalente a y e B= (x,z;α2 (1- α2 ) è equivalente a u, se α1> α2 allora A>B

Funzione di Utilità attesa La teoria dell’Utilità attesa si basa sull’ipotesi di non sazietà in base alla quale l’utilità marginale della ricchezza è sempre positiva. Le funzioni di utilità devono rispettare i 5 assiomi sopra citati. La funzione può essere usata per ordinare i giochi rischiosi, l’utilità attesa dei giochi rischiosi è la seguente: UA=∑pi U(Wi) Combinazione lineare dell’utilità e delle probabilità

Utilità e curve di indifferenza - 4 L’atteggiamento verso il rischio dipende da: U”(W) < 0 avverso al rischio (curva U concava) U”(W) = 0 neutrale al rischio (curva U retta) U”(W) > 0 amante del rischio (curva U convessa) Il grado di avversione al rischio si misura sul grado di concavità della funzione di utilità, il valore di U”(W): RA(W) = -U”(W)/U’(W) indice assoluto di Arrow-Pratt RR(W) = RA(W) • W indice relativo di Arrow-Pratt L’avversione assoluta (relativa) al rischio è decrescente se al crescere di W si investe di più in attività rischiose.

Utilità e curve di indifferenza - 5