COOPERAZIONE TRA DUE GIOCATORI: IL MODELLO BASSETTI – TORRICELLI APPLICATO ALLE SCOMMESSE IPPICHE.

Abbiamo due giocatori: A e B Il giocatore A: È un soggetto NON avverso al rischio e ha una funzione di utilità del tipo: U [E (ŵ) ] < E [ U (ŵ) ] La funzione di utilità è convessa Il giocatore B: è un soggetto avverso al rischio e presenta una funzione di utilità del tipo: U [E (ŵ) ] > E [ U (ŵ) ] La funzione di utilità è concava

Il giocatore A Gioca prevalentemente cavalli vincenti Giocare un vincente significa scommettere che un cavallo arriverà o primo o secondo o terzo Le quote dei vincenti sono di solito più alte rispetto a quelle dei piazzati perché incorporano un maggior premio per il rischio

Il giocatore B Gioca prevalentemente cavalli piazzati Giocare un piazzato significa scommettere che quel cavallo riuscirà a salire sul podio Le quote dei piazzati oscillano tra un margine massimo e un margine minimo La quota che viene applicata è una media dei due limiti

Esempio: assumiamo che le quote siano di 1,85 per il vincente e di 1,44 per il piazzato. A gioca solo il vincente, B solo il piazzato. Entrambi giocano 30 euro. Possiamo ipotizzare tre esiti diversi per la scommessa: il cavallo vince: A incassa (30 * 1,85) = 55,5 euro con una vincita netta di 25,5 euro, mentre B incassa (30 * 1,44) = 43,2 euro con una vincita netta di 13,2 euro il cavallo arriva secondo o terzo: A perde la sua puntata, mentre B incassa la stessa somma che avrebbe incassato se il cavallo fosse arrivato primo il cavallo si ritira: entrambi i giocatori perdono le loro puntate

Le soluzioni a confronto: Come si può ben notare solo nel primo caso entrambi i giocatori hanno un guadagno. Il giocatore A incassa una somma maggiore che incorpora il suo premio al rischio, mentre il giocatore B incassa una cifra più bassa anche in virtù delle maggiori possibilità che un cavallo ha di ottenere un piazzamento. Lunico caso in cui nessuno dei due vince qualcosa è il terzo.

Dopo un intero pomeriggio passato in agenzia ippica, i due giocatori, che si conoscono bene, decidono di effettuare una scommessa in società. Decidono di dividere la somma da puntare in parti uguali e, in caso di vittoria, spartiranno la vincita in parti anchesse uguali. Per vedere come i due amici possono mettersi daccordo per la giocata possiamo dunque applicare il modello di Bassetti – Torricelli.

Il modello Bassetti - Torricelli Lipotesi che sta alla base di questo modello è che linvestitore di fronte alle scelte di portafoglio sia caratterizzato da due personalità: da un lato è attratto da investimenti ad alto rendimento con rischio elevato (personalità meno avversa al rischio), dallaltro è attratto da investimenti a rischio ridotto e con rendimento basso (personalità più avversa al rischio).

Il modello Bassetti - Torricelli Per ottenere il portafoglio ottimo per lindividuo occorre massimizzare lutilità congiunta delle due personalità e quindi occorre massimizzare le utilità dei due soggetti. La funzione di utilità adottata nel modello e coerente con la definizione data da Von Neumann e Morgenstern è, per lindividuo:

Il modello Bassetti - Torricelli A è il coefficiente di avversione al rischio di Arrow-Pratt: Per la personalità più avversa ( B ) risulterà: Per la personalità meno avversa ( A ) risulterà:

Il modello Bassetti - Torricelli La rappresentazione delle curve di utilità dei due soggetti sarà la seguente:

Il modello Bassetti - Torricelli Nella figura possiamo notare tre punti: X ( U 1 X ; U 2 X ) ; Y ( U 1 Y ; U 2 Y ) ; Z ( U 1 Z ; U 2 Z ) Ogni punto sulla frontiera efficiente ha un diverso valore di utilità per i due individui. Attraverso una trasformazione è possibile rappresentare i punti della frontiera, sul piano rendimento atteso – deviazione standard, nel piano U 1 – U 2 :

Il modello Bassetti - Torricelli Il parametro A è ricavato in modo endogeno sfruttando la condizione di tangenza tra la frontiera e la curva dutilità dellindividuo. Il portafoglio ottimo si ottiene utilizzando la trasformazione inversa. La soluzione ottima è data dal massimo prodotto tra le due utilità.

Qual è la strategia migliore? La strategia migliore che i due amici possono seguire è quindi quella che prevede di giocare allo stesso tempo il cavallo sia vincente che piazzato. Puntando contemporaneamente anche sul piazzamento, i due potranno cercare di coprirsi nel caso il suo cavallo non dovesse vincere e cercare il più possibile di recuperare la somma giocata. Riprendendo lesempio di prima…

Esempio se decidono di giocare 25 euro a testa, la giocata di A e B potrebbe essere la seguente: 20 euro vincente + 30 euro piazzato = 50 euro di giocata Se assumiamo che le quote siano le stesse dellesempio precedente, abbiamo i soliti tre possibili esiti: 1.1. in caso di vittoria i due vincono una somma pari a: (20 * 1,85) + (30 * 1,44) = ,2 = 80,2 con un somma netta guadagnata pari a 30,2 euro da dividere tra loro

Esempio 2. in caso di piazzamento la vincita è di: (20 * 0) + (30 * 1,44) = 43,2 con una perdita netta pari a 6,8 euro e quindi 3,4 euro a testa 3. nel caso in cui il cavallo non riesce a piazzarsi o si ritiri dalla gara, la perdita netta dei giocatori è pari allimporto della loro giocata e cioè 50.