I modelli di valutazione Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e di Portafoglio (prof. G. Ferri): Lezione 4

In questa lezione Rational Valuation Formula (RVF) per determinare il valore fondamentale di una azione (= VAS dei dividendi futuri attesi, con tasso di sconto costante); Il CAPM ci aiuta a determinare il valore (variabile nel tempo) del tasso di sconto nella RVF; Descriviamo il Consumption-CAPM (C-CAPM), cioè il CAPM rispecificato in termini di flusso ottimo di consumo intertemporale (→ attività finanziarie detenute per “smussare” il profilo intertemporale di consumo)

La Rational Valuation Formula - 1 Qual è il valore fondamentale (ovvero corretto, ovvero giusto) di una azione? Se il mercato è efficiente, il prezzo di una azione Pt deve convergere al suo valore fondamentale Vt. Infatti, se Pt  Vt vi sono opportunità di profitto non sfruttate: es. se Pt < Vt allora l’investitore neutrale al rischio compra l’azione poiché si aspetta un guadagno in conto capitale dato che Pt deve aumentare verso Vt in futuro. Perciò, Pt tende a crescere e a convergere rapidamente al suo valore fondamentale Vt. Questo, naturalmente, se gli investitori al margine hanno aspettative omogenee. Si ricordi anche il legame tra Pt e Rt (prezzo e rendimento)

La Rational Valuation Formula - 2 Caso di rendimenti attesi costanti È una delle assunzioni più semplici. Rendimento atteso: [1] EtRt+1 = [EtVt+1 – Vt + Det+1] / Vt ove Vt è il valore dell’azione alla fine del periodo t; Dt+1 è il dividendo pagato tra t e t+1; Et è l’operatore aspettativa basato sulle informazioni disponibili al tempo t (che chiamiamo Ωt); Det+1  Et(Dt+1|Ωt)  EtDt+1. Assumiamo che gli investitori siano disposti a detenere la azione se ha un rendimento atteso (minimo) costante: [2] EtRt+1 = k k > 0; con rendimenti anormali attesi nulli: [3] Et(Rt+1 – k| Ωt) = 0

La Rational Valuation Formula - 3 Usando [1] e [2] si ha un’equazione di Eulero, differenziale, che determina la variazione nel tempo di Vt: [4] Vt = δEt (Vt+1 + Dt+1); δ=1/(1+k)<1 è il fattore di sconto Aggiornando la [4] a t+1 si ha: [5] Vt+1 = δEt+1 (Vt+2 + Dt+2) Ora prendiamo l’aspettativa di [5] sulla base di Ωt: [6] EtVt+1 = δEt (Vt+2 + Dt+2) infatti, per la legge dell’iterazione delle aspettative: [7] Et [Et+1(Xt+2)] = Et(Xt+2) per qualsiasi variabile X La [7] vale per qualsiasi periodo e, quindi: [8] EtVt+2 = δEt (Vt+3 + Dt+3), eccetera

La Rational Valuation Formula - 3a EtRt+1 = [EtVt+1 – Vt + Det+1] / Vt EtRt+1 = k k Vt = [EtVt+1 – Vt + Det+1] Vt + k Vt = EtVt+1 + Det+1 Vt (1 + k) = Et[Vt+1 + Dt+1] [4] Vt = δEt (Vt+1 + Dt+1); δ=1/(1+k)<1 è il fattore di sconto

La Rational Valuation Formula - 4 Usando la [6] nella [4] si ha: Vt = δ[δEt (Vt+2 + Dt+2)] + δ(EtDt+1) E, con sostituzioni successive, si ottiene: [9] Vt = δDet+1 + δ2Det+2 + δ3Det+3 + … + δN(Det+N + Vet+N) Ora per N→, δN→0; per cui, se la crescita attesa di D non è esplosiva, cioè Det+N è finito, e anche Vet+N è finito: [10] limN→ Et[δN(Det+N + Vet+N)] → 0 La [10], condizione finale (o di trasversalità), esclude le bolle speculative razionali (cfr. oltre) per cui la [9] dà: [11] con δ=1/(1+k)

La Rational Valuation Formula - 5 Ricordiamo che abbiamo derivato la [11] assumendo: Rendimenti attesi costanti; Legge iterazione aspettative (razionalità aspettative); Vale la condizione di trasversalità (dividendi finiti); Tutti gli investitori hanno: lo stesso punto di vista sulle determinanti dei rendimenti e aspettative omogenee Quindi il valore corretto o fondamentale è il VAS dei dividendi futuri attesi. Se si aggiunge assunzione che: 5. Gli investitori uguagliano istantaneamente il prezzo di mercato al valore fondamentale, la RVF ci dice che: [12]

La Rational Valuation Formula - 6 Caso di orizzonte finito La [12] vale ancora per un orizzonte d’investimento finito anziché infinito? (shortermismo? miopia?) Si può mostrare, per induzione, che la [12] vale ancora, ma ciò dipende in modo cruciale dalle assunzioni 1–5 e non vale più quando si rimuovano alcune di esse (cfr. oltre) Caso di dividendi costanti In questo caso la RVF si semplifica perché Dt (osservabile) è la migliore previsione possibile di tutti i dividendi futuri, cioè i dividendi seguono un cammino casuale: Dt+1 = Dt + wt+1 ove wt+1 è white noise (media nulla, varianza costante e serialmente non correlato)

La Rational Valuation Formula - 7 Se le aspettative sono razionali (come sopra) Et(wt+j|Ωt)=0 per ogni j1 e, quindi, EtDt+j=Dt per cui la [12] dà: [13] Pt = δ(1 + δ + δ2 + …)Dt = [δ/(1- δ)] Dt = (1/k)Dt La [13] prevede k=D/P cioè che il rendimento da dividendo (dividend yield) sia costante e uguale al rendimento (minimo) richiesto dagli investitori (k). Vi sono inoltre implicazioni interessanti sulla volatilità. Caso di crescita attesa costante dei dividendi Se Dt cresce al tasso costante g, si può mostrare, la [13] dà: Pt = [(1+g)/(k – g)] Dt con (k – g)>0 cioè Pt dipende solo da Dt, k, g. NB: per g=0 torna la [13]

La Rational Valuation Formula - 8 Caso di rendimenti attesi variabili nel tempo Supponiamo che gli investitori, per detenere una certa azione, richiedano rendimenti attesi differenti per ogni periodo futuro: [14] EtRt+1= kt+1 Dalle [9] e [13] si ricava allora: Pt=δt+1Det+1+(δt+1δt+2)Det+2+…+(δt+1δt+2…δt+N)(Det+N+Vet+N) ove δt+i=1/(1+kt+i). Allora, il prezzo corrente dell’azione dipende da tutti i tassi di sconto futuri attesi e da tutti i dividendi futuri attesi, anche se, dato che 0<δt+i<1, i valori più distanti nel tempo tendono a pesare sempre meno NB: ciò ci suggerisce perché le Borse guardano a BCE/FED

Il CAPM e la RVF - 1 Portafoglio di mercato Cosa ci dice il CAPM sulla variabilità nel tempo del premio al rischio? Ci dice che è possibile. Ricordiamo che: [15] EtRmt+1 – rt =  Et[2m,t+1] cioè il rendimento del portafoglio di mercato in eccesso sul tasso privo di rischio è proporzionale alla varianza (attesa) dei rendimenti del portafoglio di mercato. Ma il termine di destra nella [15] è il risk premium (rpt): [16] EtRmt+1 = rt + rpt infatti rpt = Et[2m,t+1] Confrontando [14] e [16] si ha che: [17] kt = rt +  Et[2m,t+1]

Il CAPM e la RVF - 2 Singoli titoli azionari Cioè, il rendimento richiesto dipende in modo positivo da rt e dal rischio non diversificabile (Et2m,t+1). Perciò, se: - l’investitore non percepisce rischi di mercato (Et2m,t+1=0) - oppure, l’investitore è neutrale rispetto al rischio (=0) il tasso di sconto appropriato è il tasso privo di rischio (rt). Singoli titoli azionari Sappiamo dal CAPM che per ogni azione i deve valere: [18] EtRit+1 = rt + it(EtRmt+1 – rt) ove it = Et(σim/σ2m)t+1 Sostituendo dalla [15] per Etσ2mt+1 si ha che: [19] EtRit+1 = rt +  Et(im,)t+1 e anche: [20] kit+1 = rt +  Et(im),t+1 perciò, se la cov muta nel tempo dovrebbe mutare anche il tasso di sconto δt+j del singolo titolo azionario.

Il CAPM e la RVF - 3 Risk premium Ora si può definire il risk premium sulla singola azione in coerenza col CAPM. Il mercato remunera gli investitori solo per il rischio non diversificabile (sistematico). Il rendimento richiesto kit+1 per rendere conveniente detenere una certa azione nel più ampio portafoglio è dato da rt più una ricompensa per il rischio aggiuntivo (cioè il risk premium): [21] kit+1 = rt + rpit = rt +  Et(im),t+1

Il CAPM e la RVF - 4 In sintesi Dalla definizione di rendimento atteso del portafoglio, mediante l’equazione di Eulero e le aspettative razionali si può derivare la RVF per i prezzi delle azioni; In un mercato efficiente e ben informato i prezzi sono determinati dal VAS dei dividendi futuri attesi e dai tassi di sconto; Se i rendimenti attesi di equilibrio sono costanti, è costante anche il tasso di sconto nella RVF; Se i rendimenti attesi di equilibrio sono dati dal CAPM allora il tasso di sconto nella RVF può variare nel tempo, dipendendo dal tasso privo di rischio e dal termine varianza/covarianza.

Il Consumption-CAPM - 1 Nel Consumption-CAPM (C-CAPM), CAPM rispecificato per determinare flusso ottimo consumo intertemporale; È desiderabile “smussare” profilo intertemporale consumo perché utilità marginale del consumo decrescente (U’>0; U’’<0) ovvero individui sono avversi al rischio; Le azioni sono detenute per trasferire potere d’acquisto nel tempo → se non si può trasferire in ciascun momento il consumo è determinato dal nostro reddito corrente; Una certa attività svolge “meglio” tale funzione se il suo rendimento atteso è alto quando ci si aspetta che il consumo sarà basso: è qui che il guadagno atteso da una extra unità di consumo è massimo (perché cresce U’).