Nella lezione precedente: Abbiamo visto come simmetrizzare le equazioni di Maxwell introducendo cariche e correnti magnetiche abbiamo introdotto il teorema di dualità, che permette di scrivere la soluzione in presenza di sole sorgenti magnetiche dalla conoscenza di quella in presenza di sole sorgenti elettriche Introdotto i “muri magnetici”, e visto come nella realtà certi problemi di simmetria possano essere affrontati ipotizzando tali muri Abbiamo utilizzato il teorema di dualità per calcolare il campo irradiato da un dipolo magnetico elementare, ed identificato nella spira l’antenna che realizza tale radiatore abbiamo introdotto il teorema di equivalenza, sfruttando il teorema di unicità

Nella lezione precedente: Abbiamo introdotto il teorema delle immagini Abbiamo quindi scritto i campi in funzione dei potenziali in presenza di sorgenti elettriche e magnetiche, usando il principio di sovrapposizione degli effetti Abbiamo dato una prima classificazione delle antenne (filiformi, planari, ad apertura, a riflettore, schiere) Introdotto alcuni parametri caratteristici: caratteristica o diagramma di radiazione densità di potenza irradiata intensità di radiazione direttività guadagno larghezza di banda polarizzazione impedenza di ingresso efficienza di radiazione

Parametri caratteristici: impedenza di ingresso L’abbiamo già incontrata parlando del dipolo Il sistema generatore+antenna in trasmissione ha quindi il circuito equivalente Vg ZA Zg Vg VA IA E la massima potenza irradiata è quindi

Parametri caratteristici: impedenza di ingresso In ricezione invece equivalente Thevenin V0 ZA ZL ZL A A’

Regioni di campo Campo vicino reattivo: fino a circa R= Nel caso del dipolo è circa l/6 Campo vicino radiativo (o regione di Fresnel): regione intermedia in cui esiste ancora una componente radiale e il campo dipende da r; non esiste in radiatori piccoli Campo lontano (o regione di Fraunhofer): domina 1/r, componenti lungo r trascurabili; limite a circa

Campo lontano Sappiamo che le distribuzioni di campo approssimano localmente onde piane; nel caso più generale le onde piane sono Vediamo come: esplicitiamo Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

Campo lontano: Onde piane in direzione arbitraria L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione generale per l’onda piana Cioè, il vettore d’onda k che ha modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a kx, ky, kz

Onde piane in direzione arbitraria Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana che si propaga lungo una direzione generica:

Campo lontano: Onde piane in direzione arbitraria In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno Come verificare che sono onde piane? Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano” Sia E che H ortogonali a k

Onde piane in direzione arbitraria Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima ovvero Dove h è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza l’espressione che avevate trovato per una direzione

Campo lontano Ora possiamo sfruttare il fatto che in campo lontano le onde sono localmente piane per “algebrizzare” anche le equazioni del potenziale In particolare nel nostro caso k è diretto lungo r Per cui

Campo lontano: esempio dipolo Hertziano Avevamo visto nella prima lezione che L’unico impiccio è trasformare le coordinate cartesiane in sferiche: introduciamo una matrice di trasformazione del tutto generale È una matrice di trasformazione molto comoda: se applicata su un vettore cartesiano restituisce il vettore in coordinate sferiche

Campo lontano: esempio dipolo Hertziano Nel nostro caso A è diretto lungo z, quindi Da cui Ar=Azcosq Aq=-Azsinq Af= 0 Avendo trascurato le componenti i r per l’ipotesi di campo lontano Per cui ritroviamo banalmente

Campo a grande distanza (ma non campo lontano) Possiamo fare approssimazioni meno “spinte”, che valgano anche in zona di Fresnel: prendiamo l’espressione del potenziale vettore P V r r’ r-r’ J(r’) dV’ A grande distanza: Per cui possiamo approssimare: nel denominatore La funzione esponenziale invece necessita di una approssimazione migliore (è rapidamente oscillante) Infine considereremo il vettore r-r’ circa parallelo ad r

Campo a grande distanza (ma non campo lontano) quindi Funzione vettoriale f(j,f) funzione scalare solo di r

Teorema di reciprocità Potentissimo teorema, conseguenza diretta delle equazioni di Maxwell per mezzi isotropi, lineari e passivi nel suo senso più semplice, un teorema di reciprocità stabilisce che la risposta di un sistema ad una sorgente non cambia se si scambiano sorgente e misuratore della risposta In senso più generale, i teoremi di reciprocità pongono in relazione una risposta ad una sorgente -risposta dovuta ad una seconda sorgente- con la risposta alla seconda sorgente, dovuta alla prima… Il teorema di reciprocità per le equazioni di Maxwell è molto fecondo: è alla base del Metodo dei Momenti (Harrington), alle proprietà di ortornormalità dei modi di una guida ecc.

Teorema di reciprocità Consideriamo due insiemi di sorgenti armoniche Ja, Ma e Jb,Mb, alla stessa frequenza, nello stesso mezzo; indichiamo inoltre con Ea,Ha i campi prodotti dalle sole sorgenti a, ed Eb,Hb quelli prodotti dalle sorgenti b; scriviamo le equazioni di Maxwell nelle due situazioni Moltiplichiamo (scalarmente) la prima per Eb e l’ultima per Ha, e sommiamo

Teorema di reciprocità Ora, solita identità Scambiando a e b si ha anche Sottraiamo l’una all’altra…. Integriamo in un volume V, delimitato da una superficie S ed applichiamo il th. Della divergenza

Teorema di reciprocità Nel caso di superficie distante dalle sorgenti, sappiamo che Per cui i due termini a primo membro si cancellano. Resta quindi I termini di sopra si definiscono “reazioni” Per cui il teorema diventa semplicemente

Teorema di reciprocità Che possiamo leggere dicendo che del campo a alla sorgente b è uguale alla reazione del campo b alla sorgente a Se consideriamo un’antenna filiforme Per cui Supponiamo di considerare per esempio a e b due antenne, e di schematizzare il collegamento tra loro con una rete sue porte, per esempio una matrice Z Ebbene, la relazione di reciprocità implica evidentemente che

Teorema di reciprocità Quanto detto ovviamente non vale solo per le antenne ( e di fatto si estende senza grosse difficoltà ad ogni tipo di antenna) e dimostra che ogni rete cistruita da materia isotropa e lineare ha matrice di impedenza simmetrica L’implicazione più importante per le antenne è che i diagrammi di radiazione in ricezione o trasmissione sono identici. In pratica il comportamento in trasmissione ed in ricezione sono indistinguibili Per dimostrare quest’ultima affermazione dobbiamo prima riconsiderare il diagramma di radiazione: esso può anche essere definito come la tensione (funzione angolare, ovviamente) ai capi dei terminali dell’antenna dovuta ad un’onda piana che incide su di essa

Teorema di reciprocità Se si ha quindi un’antenna in trasmissione a, e si muove intorno ad essa un’antenna in ricezione b, la tensione ricevuta ai capi dell’antenna in ricezione sarà Dove Vb è la tensione a vuoto; la caratteristica di radiazione sarà il rapporto tra Vb ed il suo valore max

Teorema di reciprocità Se ora invece si pone al centro l’antenna in ricezione (ora indicata come a) e si muove quella in trasmissione (b), la tensione a vuoto sarà E la caratteristica di radiazione sarà Tuttavia essendo Z21=Z12, la caratteristica risulta la stessa

Altezza efficace In zona lontana sappiamo che il campo decresce come 1/r Se nell’antenna è possibile individuare facilmente dei morsetti ai quali si possa misurare una corrente di riferimento Io (come nelle antenne filiformi), si può porre E la funzione vettoriale h (dimensionalmente una lunghezza) prende il nome di altezza efficace Per il dipolo elementare o Hertziano, essendo L’altezza efficace sarà: La caratteristica o l’altezza efficace descrivono totalmente l’andamento angolare del campo irradiato

Altezza efficace in ricezione Consideriamo un’antenna filiforme su cui incida perpendicolarmente un’onda piana, con il campo elettrico polarizzato lungo l’asse del filo Ei Hi La tensione indotta nel gap dipende dal campo elettrico incidente ed è certamente proporzionale, così si può porre h è l’altezza efficace in ricezione Più in generale, se il campo incide con un angolo J diverso da 90° e con polarizzazione arbitraria, sarà utile definire Il teorema di reciprocità consente di dimostrare che l’altezza efficace in ricezione è uguale a quella precedentemente introdotta (in trasmissione)

Altezza efficace Noto il campo elettrico incidente sull’antenna, l’altezza efficace consente il calcolo della tensione ai capi del carico: infatti varrà il circuito equivalente Thevenin ZL Zg ZL L’altezza efficace è poi facilmente legata alla direttività: infatti

Fattore di Antenna (AF) Simile all’altezza efficace, ma consente il calcolo diretto della tensione indotta ai capi del carico, supposto noto (solitamente 50W). Quindi non si misura ora la tensione a vuoto, ma quella con l’antenna chiusa sul carico

Area efficace Quando l’individuazione di una corrente di riferimento non è semplice o è artificiosa (come nelle antenne ad apertura) si preferisce far riferimento alle potenze Si introduce allora una quantità che lega la densità di potenza incidente Si sull’antenna con la potenza disponibile sul carico (condizione di massimo adattamento) PL: l’area efficace A tale che Ora vale per la densità di potenza incidente Mentre per la massima potenza consegnata al carico Essendo Ri la parte reale dell’impedenza di ingresso dell’antenna Quindi

Area efficace dove abbiamo definito Fattore di depolarizzazione o efficienza di polarizzazione, che varia tra 0 ed 1 Si noti però che così l’area efficace dipende non solo dalle caratteristiche dell’antenna, ma anche dalla polarizzazione del campo incidente Si è soliti quindi adottare come definizione il caso di efficienza 1 (in pratica massimo trasferimento di potenza e massima efficienza di polarizzazione) In tal modo la potenza ceduta ad un carico adattato risulta

Relazione tra Area Efficace e Guadagno Il guadagno abbiamo visto è il rapporto tra la densità di potenza irradiata in una direzione e la densità di potenza che irradierebbe se fosse isotropica e senza perdite ma sappiamo che il campo è legato all’altezza efficace da per cui il guadagno diventa

Relazione tra Area Efficace e Guadagno ricordando la relazione tra guadagno ed altezza efficace si ottiene l’importantissima relazione

Implicazioni: Il collegamento radio Problema fondamentale: calcolo della potenza ricevuta Pr dall’antenna ricevente quando sia nota la potenza trasmessa dalla trasmittente Pt Soluzione: formula del collegamento Antenna trasmittente Antenna ricevente Sia il guadagno dell’antenna trasmittente all’angolo con cui vede l’antenna ricevente La densità di potenza che incide sull’antenna ricevente è quindi

Implicazioni: Il collegamento radio Sia l’area efficace dell’antenna ricevente all’angolo con cui vede l’antenna trasmittente La potenza trasferita ad un carico adattato (in adattamento di polarizzazione) sarà Nel caso più generale in cui il collegamento non sia nello spazio libero, di introduce un fattore di attenuazione F

Antenne filiformi: sottile rettilinea z +L -L dz r r' q' q P Useremo la sovrapposizione degli effetti immaginando che l’antenna sia la sovrapposizione di tanti dipoli elementari di lunghezza dz: il campo lontano risulta quindi dalla sovrapposizione di supporremo di essere in campo lontano, cioè ed utilizziamo le approssimazioni introdotte all’inizio della lezione

Antenne filiformi: sottile rettilinea ovvero Nel denominatore Nell’esponenziale denominatore Infine considereremo il vettore r circa parallelo ad r’ (e quindi J circa J’) Quindi

Antenne filiformi: sottile rettilinea Se avessimo usato l’espressione approssimata per il potenziale vettore? Non sarebbe cambiato nulla: infatti Ricordando ..come prima...

Antenne filiformi: Osservazioni Possiamo definire, come fatto nel caso delle onde piane E riscrivere (visto che la corrente è non nulla solo sull’antenna) E l’integrale risulta fondamentalmente una trasformata di Fourier della corrente: quindi il campo lontano è legato alla trasformata di Fourier della corrente

Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen Come determinare la corrente? Bisogna far riferimento al meccanismo con cui alimenteremo l’antenna Immaginiamo di avere un generatore di tensione bilanciato, e di applicare tale tensione ad un taglio infinitesimo dell’antenna Per quel che abbiamo detto parlando dell’altezza efficace, il campo elettrico applicato sarà l 2a z Ipotizziamo poi, di nuovo, l’antenna sottile, ovvero con rapporto 2l/a>150 In particolare, si è soliti introdurre un parametro definito parametro di “snellezza” che per un’antenna sottile deve essere maggiore di 10

Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen In tali condizioni, potremo considerare tutta la corrente concentrata sull’asse del cilindro Imponendo che il campo elettrico tangenziale sia nullo tranne che nel gap, dove vale quanto assegnato, si ottiene una equazione integrale (in cui la corrente è sotto il segno di integrale) Nell’ipotesi di antenna sottile (quindi anche il potenziale vettore orientato solo lungo z) ed usando le approssimazioni di campo lontano per il potenziale vettore, si ottiene una versione particolare dell’equazione integrale, equazione integrale di Hallen La soluzione (approssimata) di tale equazione fornisce per la corrente con

Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen Si noti che l’impedenza di ingresso dell’antenna verrebbe puramente immaginaria! Come se non irradiasse del resto appare come l’impedenza di ingresso di un tratto di linea in circuito aperto con impedenza caratteristica Questo avviene perché nell’equazione di Hallen abbiamo usato le formule per il campo lontano, ed il risultato è un’approx accettabile per il campo lontano ma non per l’impedenza di ingresso

Schematizzazione di un’antenna Del resto possiamo immaginare l’antenna come limite di una linea di trasmissione in circuito aperto fin tanto che i due conduttori sono vicini, l’effetto delle correnti all’esterno si cancella quando i conduttori si allontanano del campo viene irradiato, ma la distribuzione di corrente rimane simile (sinusoidale)