Esempi di campi magnetici e calcolo di induttanze. 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI (ultima modifica 21/11/2011) Esempi di campi magnetici e calcolo di induttanze. M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

Conduttore rettilineo indefinito Si consideri un conduttore omogeneo cilindrico rettilineo di grande lunghezza, percorso dalla corrente I. Con un flussometro é possibile calcolare in ogni punto della regione circostante il vettore . Se lo spazio circostante é omogeneo e isotropo il vettore induzione per r > ro (ro raggio del conduttore) ossia all’esterno del conduttore, risulta: il modulo direttamente proporzionale ad I ed inversamente proporzionale alla distanza r del punto considerato dall’asse del conduttore e dipendente dalla natura del mezzo; la direzione normale al piano determinato dal conduttore e dal punto considerato; il verso definito dal senso di rotazione della vite destrogira, avanzante nel senso positivo della corrente. M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

Convenzioni di segno: regola di Maxwell Il verso positivo dell’asse dell’induttore é quello in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di percorrenza della filo: I I  + + I  M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente dalla seguente relazione: Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla grandezza , ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo. Il fattore 1/2 é utilizzato per ottenere formule semplificate dette “razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà: in modulo  I r P M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI La relazione trovata: che esprime la legge di Biot e Savart, mostra che il campo magnetico non dipende dalla natura del mezzo quando questo é omogeneo ed isotropo in tutto lo spazio. Quindi nella regione dello spazio esterna al conduttore, per r > ro, H(r) ha l’andamento di una iperbole equilatera. All’interno del conduttore, nella ipotesi di densità di corrente uniforme (basse frequenze), in ogni sezione generica di raggio r < ro sarà: e il campo in un punto distante r sarà: r ro M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Quindi nella regione dello spazio interna al conduttore, per r < ro , H(r) ha l’andamento di una retta. Nella regione interna al conduttore, per r < ro: nella regione esterna al conduttore, per r > ro: ro r H M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Autoinduttanza di un provino toroidale con N spire strettamente avvolte intorno con sezione rettangolare. Per la geometria é consigliabile usare un sistema di coordinate cilindriche: calcolando la circuitazione al vettore lungo un percorso circolare di raggio r con a < r < b: b a r dr h I N M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Il flusso sarà: il flusso concatenato e l’autoinduttanza saranno: Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I L’autoinduttanza non dipende dalla corrente I (per un mezzo a permeabilità costante) e neanche dalla intensità del flusso M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Induttanza per unità di lunghezza di un solenoide molto lungo in aria Per determinare B in funzione della corrente I, si applica la legge della circuitazione lungo un percorso rettangolare C lungo l, che si sviluppa parzialmente all’interno e parzialmente all’esterno del conduttore. Lungo C si ha: H l =NI  (B/o) l = NI  B l = oNI che per l =1 B = oNI , costante all’interno del solenoide, con N: n° ci spire concatenate con il percorso C é parallelo all’asse del solenoide con il verso positivo dato da una vite destrogira che ruota nel verso di percorrenza della corrente nella spira, secondo la regola di Maxwell. I C l  M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

dove S é sezione trasversale del solenoide. Il flusso sarà: dove S é sezione trasversale del solenoide. Il flusso concatenato per unità di lunghezza sarà: Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I Quindi l’induttanza per unità di lunghezza é: L’autoinduttanza risulta proporzionale al quadrato del numero di spire N2. Il valore effettivo della induttanza é minore di quello ottenuto, poiché sono state fatte le seguenti approssimazioni: assumere il solenoide di lunghezza infinita e trascurare l’effetto dei bordi alle due estremità del solenoide. M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Induttanza per unità di lunghezza di un linea di trasmissione coassiale avente un conduttore interno di raggio a e un conduttore esterno di spessore molto sottile di raggio b. All’interno del conduttore Tra i due conduttori per 0  r  a, l’induzione per a  r  b, si ha: in un punto P distante r è: in un punto P distante r è: a b I M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Si assuma: che la corrente I fluisca nel conduttore interno e ritorni attraverso il conduttore esterno e che sia uniformemente distribuita sulla sezione del conduttore interno. Se si considera un anello anulare nel conduttore interno con raggio compreso tra r e r+dr, il flusso legato alla corrente nel conduttore anulare di lunghezza unitaria può essere ottenuto integrando le espressioni della induzione trovate per r che varia da r a b: M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Poichè la corrente nell’anello anulare è pari a una aliquota della corrente totale I pari a : [ (r+dr)2-  r2]/ a2 ≃rdr/ a2 = = rdr/ a2, il flusso concatenato con questo anello anulare é: Il flusso concatenato totale, per unità di lunghezza sarà: M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI L’induttanza per unità di lunghezza della linea di trasmissione coassiale é: Il primo termine della induttanza Li é dovuto al flusso concatenato internamente al conduttore detto induttanza interna per unità di lunghezza del conduttore interno. Il secondo termine della induttanza Le é dovuto al flusso concatenato che esiste tra il conduttore interno ed esterno detto induttanza esterna per unità di lunghezza della linea coassiale. M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Nelle applicazioni in alta frequenza la corrente in un buon conduttore tende a concentrarsi verso la superficie esterna del conduttore (effetto pelle), dando luogo a una corrente nulla nella sezione interna del conduttore interno e a una modifica del valore della induttanza interna. Al limite per frequenze elevate le linee di flusso della corrente si concentrano sul bordo della superficie della sezione del conduttore interno e l’induttanza interna diventa nulla. M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Induttanda interna ed esterna di una linea di trasmissione realizzata con due conduttori paralleli con sezione circolare di raggio a distanti d. Si ipotizza che: il campo entro il conduttore sia trascurabile d sia grande rispetto al raggio dei conduttori, ciò comporta la trascurabilità del campo dovuto al secondo conduttore quando si valuta l’induttanza interna del primo. y x z I d a M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI L’autoinduttanza interna per unità di lunghezza per i due fili sarà doppia rispetto a quella relativa a ciascun filo: Per determinare l’autoinduttanza esterna per unità di lunghezza, si determina il flusso concatenato magnetico per unità di lunghezza della linea di trasmissione per una corrente I. Sul piano x-z dove giacciono i due conduttori, il contributo all’induzione dovuto alle due correnti uguali e opposte nei due fili presentano una sola componente nella direzione y: M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Il flusso concatenato per unità di lunghezza é quindi: Quindi: e l’induttanza totale per unità di lunghezza della linea bifilare é: M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Due bobine con N1 e N2 spire avvolte concentricamente intorno ad un supporto cilindrico di raggio a e permeabilità . Lo spazio tra le due bobine è in realtà nullo e la sezione delle bobine è trascurabile rispetto al raggio del supporto, per cui si può considerare per entrambe le bobine lo stesso raggio di supporto a Si assume che la corrente I1 fluisca nella bobina interna. Dalla relazione valida per un solenoide di lunghezza molto grande : quindi il flusso che si concatena con la spira esterna, nella ipotesi di flusso disperso trascurabile sarà uguale al flusso prodotto dalla bobina interna: l2 l1 N2 N1 a M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI

5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI Il flusso concatenato con la bobina esterna é: Quindi la mutua induttanza é: M. Usai 5b_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI