Rette perpendicolari Due rette r e s si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli fra loro congruenti; ciascuno di questi angoli è un angolo retto. Teorema. La perpendicolare condotta per un punto a una retta data esiste sempre ed è unica.

Rette perpendicolari Il concetto di perpendicolarità permette di introdurre le seguenti definizioni: Distanza di un punto P da una retta r : segmento di perpendicolare condotto da P su r. Il segmento PH è il segmento di minima lunghezza che congiunge P con r. H: piede, ossia proiezione ortogonale di P su r. Consideriamo un segmento PQ e siano P’ e Q’ le proiezioni ortogonali di P e Q su r; il segmento P’Q’ si dice proiezione ortogonale di PQ su r.

Perpendicolarità Asse di un segmento AB: retta a ad esso perpendicolare passante per il suo punto medio. × K Ogni punto dell’asse è equidistante dagli estremi del segmento stesso.

Triangolo ottusangolo Perpendicolarità Dato un triangolo, di dice altezza relativa ad un lato il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto su quel lato. Triangolo ottusangolo Triangolo acutangolo Triangolo rettangolo Teorema. In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza.

L’esistenza di tali rette è garantita dal teorema: Rette parallele Due rette si dicono parallele se non si intersecano oppure se sono coincidenti. L’esistenza di tali rette è garantita dal teorema: Teorema. Se due rette distinte s e t sono perpendicolari ad una stessa retta r, allora non hanno alcun punto in comune. La relazione di parallelismo è: Riflessiva: ogni retta è parallela a se stessa perché questo equivale a considerare due rette coincidenti Simmetrica: se r ⁄⁄ s anche s ⁄⁄ r Transitiva: se r ⁄⁄ s e s ⁄⁄ t anche r ⁄⁄ t. r s t

Quinto postulato di Euclide Rette parallele Direzione è la caratteristica comune a tutte le rette che sono tra loro parallele. L’insieme di tutte le rette che hanno la stessa direzione si dice fascio di rette parallele o fascio di rette improprio. Quinto postulato di Euclide A13. Dati una retta r ed un punto P, la parallela ad r per P è unica. r P

Rette parallele Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale t : Alterni interni: γ e α’ o δ e β’ Alterni esterni: α e γ’ o β e δ’ Corrispondenti: α e α’ o β e β’ o γ e γ’ o δ e δ’ Coniugati interni: γ e β’ o δ e α’ Coniugati esterni: β e γ’ o α e δ’

angoli coniugati supplementari. angoli alterni congruenti; Rette parallele Criterio generale di parallelismo. Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano: angoli coniugati supplementari. angoli alterni congruenti; angoli corrispondenti congruenti; Angoli alterni congruenti Angoli corrispondenti congruenti Angoli coniugati supplementari

Triangoli SECONDO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO Teorema. In ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti. ACD ≅ ABC + BAC Teorema. La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto. ABC + BAC + ACB = π

Poligoni Da questa proprietà discende che: Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari. La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente a n – 2 angoli piatti.

Poligoni La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre congruente a due angoli piatti. Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, hanno congruente anche il terzo angolo. r s P Q Si chiama distanza fra due rette parallele la distanza PQ di un punto qualunque di una di esse dall’altra.

Criteri di congruenza per i triangoli rettangoli Poligoni Criteri di congruenza per i triangoli rettangoli Teorema. Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti: l’ipotenusa e un cateto. i due cateti, oppure un cateto e un angolo acuto, oppure l’ipotenusa e un angolo acuto, oppure Ipotenusa e angolo acuto congruenti Cateti congruenti Cateto e angolo acuto congruenti Ipotenusa e cateto congruenti