Equazioni differenziali ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE ‘E.MATTEI’ URBINO Equazioni differenziali Conoscenze Competenze Capacità Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Conoscenze: Equazione del I ordine, lineare e non lineare. Competenze. Risolvere equazioni differenziali del I ordine del II ordine e determinare soluzioni particolari di equ. differenziali del I e del II ordine. Capacità: Imparare a : Risolvere equaz. diff.del I ordine: - a variabili separate o separabili; lineari; di altri tipi particolari. Risolvere equaz. diff. del II ordine: omogenee a coeff. costanti; non omogenee a coeff. costanti. Equaz. Del I ordine : omogenee o do Manfredi e quelle di Bernoulli Prof.AnnaMaria Paolucci

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Introduzione al: concetto di equazione differenziale Sino ad ora si sono affrontati in Matematica temi il cui oggetto era la risoluzione di problemi che per soluzioni avevano il valore numerico di una certa grandezza. Ad esempio : la risoluzione dell’equazione , la determinazione dei max. e dei min. di una funzione, il calcolo di un’area o di un volume. Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Ma vi sono problemi in cui ciò che si deve trovare non è un numero bensì la legge secondo cui un insieme di variabili dipende da altre. L’ingegneria, la fisica, le scienze economiche hanno leggi di questo tipo e il grafico sotto è legato all’argomento EQUAZIONI DIFFERENZIALI Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Ad esempio: Se consideriamo un punto materiale di massa m che si muove sull’asse y di un sistema di riferimento a causa di una forza F la cui intensità dipende dalla posizione y del punto all’istante t, dalla sua velocità v e dal tempo t si ha L’azione della forza F provoca un’accelerazione del punto materiale secondo la legge F=ma, Se y(t) è la posizione del punto all’istante t sulla sua traiettoria , la velocità e l’accelerazione sono date dalle relazioni : v = e a = allora in un certo istante t del moto deve essere verificata la relazione: Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci L’equazione ha come variabile una funzione y(t) e le sue derivate y’(t) e y’’(t). RISOLVERLA significa trovare la funzione y(t) che con le sue derivate soddisfi all’equazione. Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Ad esempio: Se si ha la funzione f(x) =2x , la determinazione di tutte le sue primitive y=F(x) ci fa tradurre ciò nell’equazione: anche così si tratta di risolvere questa equazione dove la variabile è rappresentata da una funzione della variabile x , f(x) , Una equazione del tipo y’ = 2x è una EQUAZIONE DIFFERENZIALE Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Ad esempio: In figura è rappresentato un circuito elettrico in cui è inserita una batteria di pile in grado di fornire una differenza di potenziale costante V. Appena l’interruttore del circuito è chiuso all’interno del circuito non si genera immediatamente una intensità di corrente I data da : V = R I uguale a V/R Le grandezze elettriche R(resistenza), L (coeff.di autoinduttanza) e V (tensione) sono costanti Ma a causa della presenza dell’induttanza L, una corrente I(t), variabile nel tempo t, secondo la legge : (1) V = R I(t) + L dove dI(t) è la derivata della funzione I(t) rispetto a t. L’Induttanza L è una caratteristica essenziale di un circuito come la resistenza lo è per un conduttore e la capacità C per un condensatore. In figura è disegnato il simbolo di un induttore senza nucleo ferromagnetico.Qualunque circuito presenta una certa induttanza piccola o grande secondo la sua forma e la permeabilità del mezzo. Non è possibile ricavare l’incognita I(t) dalla (1) con semplici passaggi algebrici, oltre a I(t) si ha dI(t)/dt. UN TALE TIPO DI EQUAZ. È DETTA EQUAZIONE DIFFERENZIALE Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci DEFINIZIONI Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y e la sua derivata prima y’ del tipo F(x,y,y’ ) = 0 prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE. Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y’ = F(x,y) Ci deve essere la derivata prima y’ ,ma possono mancare y e x. Esempio: y’ = y, y’ = 2x, y’ = 2xy+3 Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci DEFINIZIONI Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima e y’’ la sua derivata seconda. Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y , la sua derivata prima y’ e la sua derivata seconda y’’, del tipo F(x, y, y’, y’’ ) = 0 prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE. Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y’’ = F(x, y, y’) Ci deve essere la derivata seconda y’’ ,ma possono mancare y’ ,y e x. Esempio: y’’ + 3y’ – 1 = 0 y’’ + y – x = 0 Prof.AnnaMaria Paolucci

generalizzando Una relazione tra la variabile x, una funzione incognita y e le sue derivate successive sino all’ordine n, del tipo : F(x,y,y’,y’’,……yn) = 0 e’ detta Equazione Differenziale di ordine n L’ordine di un’ equazione differenziale è dato dall’ordine massimo della derivata che vi figura. ESEMPI : Y’+2X=1 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL I ORDINE Y’’’+3Y’-2=0 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL III ORDINE 6Y’’+3Y’-Y=SENX EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL II ORDINE Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Ogni funzione y= f(x) che soddisfa l’equazione differenziale data si dice SOLUZIONE o INTEGRALE dell’equazione stessa , il suo diagramma è detto CURVA INTEGRALE. ESEMPIO: y’+2y = 2x(x+1) è un’equazione differenziale del I ordine e la funzione y = x2+e-2x e’ una sua soluzione Infatti essendo y’ = 2x – 2 e-2x si ha, sostituendo nell’equazione differenziale: y’+2y = 2x-2 e-2x +2(x2+e-2x) = 2x2+2x =2x(x+1) RISOLVERE o INTEGRARE un’equazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni .Le soluzioni di un’equazione differenziale sono in genere esse dipendono da un numero di costanti arbitrarie pari all’ordine n dell’equaz. stessa e sono così indicate: y = f(x,c1, c2, , cn), Prof.AnnaMaria Paolucci

dell’equazione differenziale, INTEGRALE PARTICOLARE. y = f(x,c1, c2, , cn) prende il nome di Integrale generale dell’equazione differenziale, Ogni funzione ottenuta dall’INTEGRALE GENERALE attribuendo particolari valori numerici alle costanti c1, c 2…..cn è chiamata INTEGRALE PARTICOLARE. In alcune situazioni può avvenire che l’integrale generale non comprenda tutte le soluzioni dell’equazione, ci può essere una soluzione che non è deducibile dall’integrale generale per alcun valore delle costanti. Si parla di INTEGRALE SINGOLARE. Prof.AnnaMaria Paolucci

L’equazione differenziale ammette tra le sue ESEMPIO: L’equazione differenziale ammette tra le sue soluzioni y = 0 ( per verificarlo è sufficiente sostituire), il suo integrale generale è e si vede che la funzione y = 0 non si può ottenere da esso per nessun valore di c finito o infinito. Allora y = 0 è un integrale singolare per questa equazione. Prof.AnnaMaria Paolucci

y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,………. Yn-1(x0)=yn-10 Data una equazione differenziale di ordine n il volere determinare l’integrale particolare y=f(x) che soddisfi n condizioni iniziali del tipo: y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,………. Yn-1(x0)=yn-10 dove x0,y0,y’0,……., yn-10 sono valori assegnati, Viene chiamata PROBLEMA di CAUCHY Prof.AnnaMaria Paolucci

Provate a rappresentarle graficamente Risolvere l’equazione differenziale del I ordine: Dopo aver isolato y’ si ha: 3y’= 12-6x; y’= 4-2x, integriamo ambo i membri rispetto alla variabile x: con c Le soluzioni cercate sono le funzioni: In questo caso le curve integrali sono parabole il cui vertice in funzione di c è V( 2; 4+c ) e l’asse ha equazione x = 2 . Provate a rappresentarle graficamente Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Quindi data l’equazione differenziale: Le soluzioni cercate sono le funzioni: Cerchiamo, tra le infinite soluzioni, una particolare soluzione la cui curva integrale passa per il punto (x0;y0) Per il nostro esempio il punto è P ( 2; 5 ) cioè 5 = f(2) Prendiamo la soluzione y=-x2+4x+c , sostituiamo a y=5 e x=2 Così la soluzione del problema di Cauchy è Prof.AnnaMaria Paolucci Integrale particolare

Prof.AnnaMaria Paolucci Equazione Differenziale di ordine 1 e teorema di Cauchy Un’equazione differenziale del I ordine è una equazione del tipo: In cui la x e la y possono anche non comparire F(x,y,y’ ) = 0 Una equazione differenziale del primo ordine si dice in forma normale se è espressa: y’ = F(x,y) Il suo integrale generale è la famiglia di funzioni y = f(x,c) e che i suoi integrali particolari si ottengono attribuendo a c determinati valori. supponiamo di voler determinare l’integrale particolare che soddisfi una certa condizione ad esempio che la curva integrale passi per un punto assegnato o abbia una certa tangente oppure si annulli all’infinito. QUANTI INTEGRALI TROVEREMO CHE SODDISFANO AD UNA TALE CONDIZIONE? Una risposta a questa domanda è fornita dal seguente teorema: Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Teorema di Cauchy: Sia F(x,y) una funzione di due variabili reali definita e continua in un sottoinsieme aperto D del piano supponiamo che anche F’y sia continua in D; sia poi P(x0; y0) un punto qualsiasi di D .Allora l’equazione differenziale y’ = F(x,y) di un intorno di x0 , ammette una e una sola soluzione y=g(x) che soddisfa la condizione y 0 = g(x0) Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci La condizione y 0 = g(x0) è detta CONDIZIONE INIZIALE ed esprime il passaggio della curva integrale per il punto assegnato P(x0;y0). Il teorema equivale a dire : per ogni punto P(x0;y0)passa una ed una sola curva integrale dell’equazione differenziale considerata. Prof.AnnaMaria Paolucci

Le equazioni della forma y’=f(x) Esse sono le equazioni più semplici da risolvere perché la funzione che rappresenta è la generica primitiva di f(x); si ha cioè che l’integrale generale è la funzione Risolvere l’equazione differenziale y’=2x e trovare l’integrale particolare che soddisfa alla condizione y(1) = 0 Ad esempio: L’integrale generale è: la condizione data ci dice che la funzione y=x2+c deve passare per il punto di coordinate (1;0) cioè 0 = 1+c c =-1 l’integrale particolare è così la parabola y=x2+c e il suo grafico è : Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci In figura 1 è rappresentato l’integrale particolare dell’equazione differenziale y’= 2x passante per il punto P ( 1; 0 ) Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci In figura 2 sono rappresentati alcuni integrali particolari dell’equazione differenziale y’=2x passanti per punti particolari,tutti derivano dallo stesso integrale generale y= x2+c Prof.AnnaMaria Paolucci

Prof.AnnaMaria Paolucci Esempi Risolvere l’equazione differenziale y’ = e3x con la condizione y(0) = 3. Risolvere l’equazione y’ = 1+tg2x con la condizione iniziale y(π/4) = 0 il simbolo π è il pi greco. La soluzione di y’=e elevato 3x è : (1/3) e elevato 3x +c con c= 8/3 L’integrale generale di y’= 1+tangx*tang x è y= tang x +c, c =-1 perché tang pi/4 = 1 Prof.AnnaMaria Paolucci