L’ IPERBOLE

ARGOMENTI TRATTATI L’equazione canonica dell’iperbole Questioni basilari Questioni relative alle rette tangenti Curve deducibili dall’iperbole La funzione omografica Discussione di sistemi di 2° grado con parametro Proprietà ottica dell’iperbole

L’EQUAZIONE CANONICA DELL’IPERBOLE Definizione Si dice iperbole I il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi. Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’iperbole. Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della I . Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

Osservazioni e altre definizioni Gli insiemi d’appartenenza di x e y indicano che l’iperbole è una curva illimitata, cioè le coordinate dei suoi punti possono assumere valori comunque grandi. L’iperbole è una curva che ha due asintoti di equazione y = ± (b/a)x . Per tracciare il grafico è conveniente tracciare il rettangolo come in figura, avente i lati lunghi 2a e 2b, i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) e le diagonali appartenenti agli asintoti. Il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c . Simmetrie nell’iperbole con equazione canonica: F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0); F(-x;y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ; F(x;-y) = F(x;y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x . Considerazione sul grafico per ricordare la relazione c2 – a2 = b2 oppure c2 = a2 + b2 : applicare il teorema di Pitagora sul triangolo OA2H. Coordinate dei fuochi di un’iperbole di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0), oppure F1(0 ;-c ), F2(0 ; c). Se a = b l’iperbole si dice equilatera; il rettangolo del punto ‘c’ diventa un quadrato e gli asintoti hanno equazione y = ± x . Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la distanza fra i vertici di un’iperbole è detto eccentricità:

QUESTIONI BASILARI Date le seguenti equazioni canoniche di iperboli, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’asse trasverso, l’eccentricità, gli asintoti.

Dato il fascio di curve di equazione: kx2 + (2 - 3k )y2 = 1 , con k  R - {0 ; 2/3}, determinare per quali valori di k l’equazione rappresenta: a) un’ellisse ; b) una circonferenza ; c) un’iperbole con i fuochi sull’asse x ; d) un’iperbole con i fuochi sull’asse y ; e) un’iperbole equilatera.

3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’iperbole 3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’iperbole. Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’iperbole significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio: • conosco a o b o b/a (coordinate dei vertici o lunghezza del semiasse trasverso o equazione asintoti) • conosco c (coordinate dei fuochi) • passaggio per un dato punto P(xp ; yp)  (xp)2 /a2 - (yp)2 / b2 = ± 1 • conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q  vedi Iperbole tangente ad una retta .

QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: determinare le equazioni delle rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto di note coordinate; determinare l’equazione dell’iperbole tangente ad una retta di nota equazione. Rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento. Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’iperbole. Esempi a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x2 - 9y2 = 9 e parallele alla bisettrice del 2° e 4° quadrante.

Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equaz Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equaz. 16x2 - 3y2 = 1 nel suo punto A, del secondo quadrante, di ascissa -1/2 . Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x2 - 4y2 = 9 , condotte dal punto P(9/5;0). Verifico se P appartiene all’iperbole: 81/ 25  9  P non appartiene all’iperbole, quindi posso avere due soluzioni.

Grafici relativi agli esempi 1a, 1b, 1c

2. Iperbole tangente ad una retta di nota equazione Esempio

CURVE DEDUCIBILI DALL’ IPERBOLE Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 - y2/b2 = ± 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono otto equazioni, quattro per i fuochi sull’asse x e quattro per i fuochi sull’asse y, con coppie di equazioni del tipo 1, 2, 3, 4, scritte sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiiperboli.

Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

LA FUNZIONE OMOGRAFICA Iperbole equilatera riferita agli asintoti L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è x2 - y2 = a2 . Mediante una rotazione del sistema di riferimento di un angolo  = ± 45° , gli asintoti diventano i nuovi assi cartesiani e l’equazione dell’iperbole diventa xy = k (*) , con k  R0 , x0 e y0 . (Vedi i grafici in coda al capitolo)

Osservazioni L’equazione xy = k , ovvero y = k/x , indica che fra le variabili x e y c’è proporzionalità inversa e k è la costante di proporzionalità. Gli assi di simmetria dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e quindi i fuochi e i vertici appartengono a tali rette. Le coordinate dei vertici reali sono le soluzioni del sistema:

Le coordinate dei fuochi sono:

2. Iperbole equilatera traslata – funzione omografica traslata Mediante una traslazione del sistema di riferimento dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene l’equazione della funzione omografica che ha per grafico una curva non centrata nell’origine:

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO IPERBOLE – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’iperbole nel caso (1), o la retta interseca le iperboli nel caso (2). In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1). Esempi

PROPRIETA’ OTTICA DELL’IPERBOLE L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponiamo di avere un riflettore di forma iperbolica e poniamo una sorgente luminosa in uno dei due fuochi (F): i raggi vengono riflessi lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco (F’) con il punto di riflessione, si comportano cioè come se provenissero dall'altro fuoco. Specchio iperbolico