Le coniche Elena tarantino 3°e Marzo 2011

Le coniche Le coniche analitiche Le coniche geometriche Curve nel piano cartesiano Le coniche geometriche Coniche nel piano

Le Coniche analitiche… Le coniche possono essere costruite nel modo seguente: sia data una retta l ed un punto F non appartenente alla retta l. Ciascuna conica può essere descritta come il luogo dei punti P tali che il rapporto tra la distanza di P da F con la distanza di P da l sia costante. Ovvero detto il punto D di intersezione tra la retta e la perpendicolare ad l passante per il punto P si ha: dove la costante e viene detta eccentricità, F fuoco e l direttrice della conica.

Primo caso: 0< e <1 Ellisse Il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi;

Applicazioni delle coniche alla Fisica Premessa: Eudosso di Cnido fu il primo astronomo greco del 5°-4°a.C. secolo a scoprire che il moto dei pianeti non era circolare. Duemila anni dopo… Keplero dimostrò nel 1609 che i pianeti descrivevano un’orbita intorno alla stella solare di forma ellittica, di cui uno dei fuochi era proprio il Sole. (Leggi di Keplero)

Curiosità… alcune nozioni sull'ellisse Keplero scoprì che, ovunque fosse il pianeta (P) nella sua orbita, si poteva ottenere in ogni momento la sua distanza dal Sole (F) per mezzo della seguente relazione: Ora, questa è la relazione per un punto di una ellisse avente il Sole in uno dei due fuochi. Il valore e rappresenta l'eccentricità dell'orbita cioè il rapporto FO/OL.

L’ellisse rinascimentale Ètienne Dupérac nel 1569 progettò questa particolare piazza ellittica decorata in modo minuzioso.

L’ellisse nell’arte scultorea Domenico Rambelli, 1925. La scultura del viso è perfettamente contornata da una linea ellittica.

Secondo caso: e=1 Parabola la parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto F detto fuoco e da una retta L detta direttrice della parabola, ossia FP = PQ

Moto uniformemente accelerato Se assumiamo i tempi come ascisse, e i corrispondenti spazi come ordinate, il moto naturalmente accelerato è rappresentato graficamente da un ramo di parabola avente il vertice nell’origine degli assi.

Moto Parabolico o di caduta Il moto parabolico è un tipo di moto esprimibile attraverso la combinazione di due moti diversi: Moto uniformemente decellerato (verticale) Moto rettilineo uniforme (orizziontale) La Gittata è lo spazio percorso dall’oggetto prima di toccare terra.

La Quadratura della parabola C Archimede nell'opera Quadratura della parabola è calcolata l'area di un segmento di parabola, ossia la figura delimitata da una parabola e una linea secante. Trovò che valeva i 4/3 dell'area del massimo triangolo in esso inscritto. B A

La parabola nella pittura Modigliani dipinse Donna con cravatta nera. la figura della donna ha la testa leggermente inclinata a sinistra in perfetta linea col viso il quale ha come contorno , sicuramente, la forma di una parabola.

La parabola nell’architettura Il tetto di una deposito di sale a Tortona, in Piemonte. Dalla sezione si nota come la struttura portante e la copertura hanno come profilo una parabola.

Terzo caso: e>1 Iperbole Il luogo dei punti del piano in cui è costante la differenza delle distanze dai fuochi.

Nell’architettura: città di Sabari Possiamo osservare come il complesso architettonico si sviluppa dai due rami di iperbole a cui si innestano due archi di circonferenza, due testate terminali della piazza strutturate a forma di teatro greco all’aperto.

L’iperbole nell’arte In una delle 28 formelle che Lorenzo Ghilberti creò per il prtale al battistero di Firenze, notiamo che la Maddalena e l’Angelo annunciatore creano due rami di un’iperbole…

Le coniche geometriche… La superficie conica si ottiene facendo ruotare una retta r, detta Generatrice, con un angolo b, detto angolo del cono, attorno ad un’altra retta g, detta Asse del cono.

Caso generale Le sezioni coniche, o semplicemente coniche, sono il risultato di un’ intersezione tra la superficie conica e un piano inclinato. A seconda dell’inclinazione del piano rispetto all’asse del cono avremo coniche differenti.

Caso ellittico L’apertura del cono è minore dell’inclinazione del piano. Se il piano è perpendicolare alla retta avremo una circonferenza, un particolare ellisse.

Caso parabolico L’inclinazione del piano è esattamente uguale all’apertura del cono.

Caso iperbolico L’apertura del cono è maggiore dell’inclinazione del piano.

Coniche degeneri Il piano può anche passare per V e creare Coniche degeneri: Un punto Una retta Una coppia di rette

Un po’ di storia… Le coniche furono scoperte e studiate per la prima volta da Menecmo di Apeconesso, vissuto nel 4° secolo a.C.. Purtroppo non ci è pervenuto nulla direttamente, ma solo testimonianze da altri intellettuali greci come Platone. Due secoli dopo Menecmo, un’altro grande geometra greco s’impadronì dell’argomento facendone uno dei campi più sottili della geometria… Apeconesso era una località della Tracia, Parte dell’odierna Turchia.

Apollonio di Perga Apollonio di Perga, vissuto nel 3° secolo a.C., riprese le ricerche che aveva condotto Menecmo perfezionandole. Scrisse tutto ciò che scoprì in una vera e propria enciclopedia: Le Coniche. Si devono a lui i nomi delle coniche: Hyper = Troppo (iperbole) Para = Uguale (parabola) Ekléipein = lasciare (ellisse) Perga fu la capitale della Panfilia, corrispondente all'attuale provincia di Antalia, sulla costa mediterranea sud-occidentale della Turchia.

Le coniche di Apollonio L’opera è divisa in 8 libri: Nei primi cinque libri il Geometra studia le coniche, tratta e risolve il problema di Pappo, trova le tangenti e le normali alle coniche. Nel settimo libro tratta diverse questioni trascurate da coloro che sono venuti prima di lui. L’ottavo libro purtroppo è andato perduto, ne conosciamo solo alcuni cenni tramite testimonianze.

Renato Cartesio Cartesio e prima di lui Fermat, nell’opera Géométrie, dalla risoluzione del problema di Pappo nella sua generalità, derivò l’equazione generica di una conica passante per l’origine, che rappresentava il punto di vista più unitario che fosse mai stato applicato all’analisi delle sezioni coniche.

Sitografia… www.progettomatematica.dm.unibo.it www.electroyou.it www.liceartcs.it www.wikipedia.it