Definizione Dati un punto O del piano α e un numero reale k ≠ 0, si dice omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione del piano in sé che associa ad ogni punto P di α il punto P’ di α tale che: O, P, P’ siano allineati OP’ ≅ |k| OP P’ appartenga alla semiretta OP se k > 0 (omotetia diretta) P’ appartenga alla semiretta opposta ad OP se k < 0 (omotetia inversa) L’omotetia diretta viene indicata con il simbolo ωo,k, quella inversa con ωo,-k. Se k = 1 l’omotetia coincide con l’identità, infatti quindi P’ coincide con P. Se k = -1 l’omotetia coincide con la simmetria centrale, infatti e i segmenti OP’ e OP sono opposti. 1

Esempio ESEMPIO Dato il triangolo ABC costruiamo A’B’C’ = ωo,-½ (ABC) OA’ = ½ OA OB’ = ½ OB OC’ = ½ OC Troviamo i corrispondenti dei vertici: Il rapporto di omotetia è negativo (-½), quindi i punti omotetici A’, B’, C’ si trovano sulle semirette opposte a OA, OB e OC. 2

3 Proprietà L’omotetia gode delle seguenti proprietà: trasforma un segmento AB in un segmento A’B’ ad esso parallelo tale che A’B’ ≅ |k| AB k > 0 k < 0 trasforma una retta r in una retta r’ ad essa parallela trasforma una semiretta in una semiretta parallela concorde se k > 0, parallela discorde se k < 0 k > 0 k < 0 trasforma un angolo in un angolo ad esso congruente con i lati paralleli e concordi se k > 0, paralleli e discordi se k < 0. 3

4 CONSEGUENZE: Proprietà se due poligoni si corrispondono in una omotetia, allora hanno i lati omologhi paralleli e di rapporto |k| e gli angoli omologhi congruenti. Inoltre: se |k| > 1 si ottiene un ingrandimento della figura se |k| < 1 si ottiene una riduzione se k ≠ 1 il solo punto unito della trasformazione è il centro O ogni retta passante per il centro è unita ma non è una retta di punti uniti il rapporto tra i perimetri di due poligoni omotetici è |k| il rapporto fra le aree di due poligoni omotetici è k2 4

Prodotto di omotetie Componendo due omotetie entrambe di centro O e rapporti rispettivamente h e k si ottiene ancora una omotetia di centro O e rapporto hk. Se le due omotetie hanno centri diversi P e Q, allora: se hk = 1 si ottiene una traslazione 5

Prodotto di omotetie se hk = -1 si ottiene una simmetria centrale il cui centro è allineato con P e Q se |hk| ≠ 1 si ottiene una omotetia di rapporto hk il cui centro è allineato con P e Q 6

7 ESEMPIO Prodotto di omotetie Dato un triangolo ABC e le omotetie ωP,2 e ωQ,⅓, costruiamo A’B’C’ = ωP,2 (ABC) e successivamente A’’B’’C’’ = ωQ,⅓ (A’B’C’). I triangoli A’’B’’C’’ e ABC si corrispondono nell’omotetia di rapporto k = 2 · ⅓ = ⅔ e di centro O, intersezione di AA’’ con BB’’. I punti P, O e Q sono allineati e CC” passa per O. 7