1 L’equivalenza delle figure piane Qualunque sia il suo contorno, ogni figura piana occupa sempre una superficie. DEFINIZIONE. Per area di una figura piana si intende la misura della sua superficie. Per misurare la superficie di una figura occorre confrontarla con un’unità di misura. L’unità di misura delle superfici è il metro quadrato (m2) con i suoi multipli e sottomultipli: km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 L’equivalenza delle figure piane Esaminiamo un altro concetto fondamentale della geometria piana: l’equivalenza delle superfici. Accostando fra loro un triangolo equilatero, un quadrato e un rettangolo è possibile ottenere le seguenti figure che, essendo composte dagli stessi poligoni, occupano la stessa superficie.

A = B e si legge: “A equivalente a B” 1 L’equivalenza delle figure piane In generale DEFINIZIONE. Due superfici A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa parte di piano, si dicono equivalenti. In simboli: A = B e si legge: “A equivalente a B”  PROPRIETÀ. Due figure congruenti sono sempre equivalenti. Due figure equivalenti non sono, in generale, congruenti. DEFINIZIONE. Tra due poligoni con diversa superficie, il poligono con l’estensione maggiore prende il nome di prevalente, quello con l’estensione minore di suvvalente.

1 Figure equicomposte PROPRIETÀ. Due figure equicomposte sono necessariamente equivalenti. Si possono presentare due casi. Primo caso Equiscomponibilità mediante somma di figure PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante somma di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti.

1 Figure equicomposte Secondo caso Equiscomponibilità mediante differenza di figure PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante differenza di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti.

2 L’area del rettangolo A = (5  4) cm2 = 20 cm2 REGOLA. L’area del rettangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse: A = (5  4) cm2 = 20 cm2

3 L’area del quadrato A = 42 cm2 = 16 cm2 REGOLA. L’area del quadrato si ricava moltiplicando la misura del lato per se stessa. In simboli: Da questa formula ricaviamo la seguente formula inversa: A = 42 cm2 = 16 cm2

4 L’area del parallelogrammo PROPRIETÀ. Il parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza. Di conseguenza possiamo concludere: REGOLA. L’area del parallelogrammo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

5 L’area del triangolo PROPRIETÀ. Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogrammo avente la stessa base e la stessa altezza. Di conseguenza: REGOLA. L’area del triangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza ad essa relativa e dividendo il risultato ottenuto per due. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

5 La formula di Erone REGOLA. L’area di un triangolo, di cui si conoscono le misure dei lati, è uguale alla radice quadrata del prodotto del semiperimetro per le singole differenze tra il semiperimetro stesso e ciascun lato. In simboli: a b c

6 L’area del rombo PROPRIETÀ. Il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alle sue diagonali. Pertanto: REGOLA. L’area del rombo si calcola moltiplicando fra loro la misura delle due diagonali e dividendo il prodotto per due. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

6 L’area del rombo Come caso particolare possiamo considerare il quadrato come un rombo avente le diagonali congruenti e utilizzare la stessa formula per calcolare l’area nota la misura della sua diagonale: Da questa formula possiamo ricavare la seguente formula inversa:

6 L’area del deltoide PROPRIETÀ. Il deltoide è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alla diagonale maggiore e alla diagonale minore del deltoide stesso. Pertanto: REGOLA. L’area del deltoide si calcola moltiplicando la misura della diagonale maggiore per quella della diagonale minore e dividendo il prodotto per due. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

7 L’area del trapezio PROPRIETÀ. Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogrammo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza. Di conseguenza: REGOLA. L’area del trapezio si ricava moltiplicando la somma delle basi per la misura dell’altezza e dividendo il prodotto ottenuto per due. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

8 L’area di un poligono circoscritto ad una circonferenza REGOLA. L’area di un poligono circoscritto ad una circonferenza è data dal prodotto del semiperimetro del poligono per la misura del raggio della circonferenza. In simboli: Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

8 L’area di un poligono regolare Oltre le formule precedenti per un poligono regolare vale la seguente REGOLA. L’area di un poligono regolare è uguale al prodotto del quadrato della misura del lato per il valore del relativo numero fisso φ. In simboli: Da questa formula ricaviamo la seguente formula inversa: Nella seguente tabella è riportato il numero fisso caratteristico di ciascun poligono regolare. n° lati Numero φ 3 0,433 4 1 5 1,720 6 2,598 7 3,634 8 4,828 9 6,182 10 7,694 12 11,196

9 L’area di un poligono irregolare Dovendo calcolare l’area del poligono scomponiamo il poligono: Abbiamo ottenuto i triangoli T1, T2, T3, il rettangolo R e il trapezio rettangolo Tr. Pertanto: