Funzioni di due variabili Definizioni e dominio

Funzioni reali di due variabili reali Ad integrazione dello studio delle funzioni di due variabili vengono trattate brevemente le disequazioni e i sistemi di disequazioni in due incognite; viene anche introdotto il sistema di riferimento cartesiano ortogonale tridimensionale che permette di esprimere in termini analitici gli enti fondamentali della geometria dello spazio.

Argomenti trattati: Definizione di funzione di due variabili Dominio e codominio di una funzione Rappresentazione grafica di alcune funzioni Richiami sulle coordinate cartesiane nel piano Cenni sulle coordinate cartesiane nello spazio Richiami sulle disequazioni lineari in due incognite Richiami sulle disequazioni non lineari in due incognite Richiami sui sistemi di disequazioni Test di autoverifica sul dominio delle funzioni di due variabili

Richiami sulle coordinate cartesiane nel piano Nel piano  fissiamo un punto O detto origine, due rette orientate fra loro perpendicolari e passanti per O che prendono il nome di asse delle x e asse delle y e un segmento u che costituisce l’ unità di misura. P P’ P’’ x y O Consideriamo un punto P qualunque del piano e sia P’ il punto in cui la parallela condotta da P all’asse y incontra l’asse x, e P’’ il punto in cui la parallela condotta da P all’asse x incontra l’asse y.

Indichiamo con x la misura del segmento orientato OP’ e con y la misura del segmento orientato OP’’. I due numeri reali relativi x e y sono individuati da P e si chiamano rispettivamente ascissa e ordinata di P. Viceversa, fissati comunque due numeri reali relativi x e y, risultano determinati i punti P’ e P’’ che a loro volta individuano il punto P del piano che ha x come ascissa e y come ordinata. In altri termini, si viene a stabilire una corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali. Per indicare che un punto P ha coordinate x e y si scrive P(x, y).

Ricordiamo che una funzione y = f(x) viene rappresentata graficamente mediante tutti e soli i punti di coordinate (x, y) che soddisfano la sua equazione. Es. la rappresentazione grafica della funzione y = x3-x è quella riportata nel grafico accanto. (Fig. 1) dove le coordinate di tutti i punti di questo grafico soddisfano l’equazione y = x3-x

Coordinate cartesiane ortogonali nello spazio Fissiamo nello spazio: -un punto O detto origine -tre rette orientate non complanari passanti per O e a due a due perpendicolari che prendono il nome di asse x, asse y, asse z -un segmento u che chiamiamo unità di misura. L’insieme degli elementi O, x, y, z, u costituisce un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio. O P’’(b) y z P(a; b; c) P’’’(c) Q(a; b) x P’(a)

Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio individua: - su ciascuno dei tre assi il riferimento cartesiano che ha O per origine e u per unità di misura; - su ciascuno dei tre piani xy, xz e yz un riferimento cartesiano che ha O per origine e u per unità di misura;

Consideriamo un punto qualunque P dello spazio. Il piano passante per P e parallelo al piano yz incontra l’asse x nel punto P’ Il piano passante per P e parallelo al piano xz incontra l’asse y nel punto P’’ Il piano passante per P e parallelo al piano xy incontra l’asse z nel punto P’’’ (vedi figura) Indichiamo con a la coordinata di P’ sull’asse x, con b la coordinata di P’’ sull’asse y e con c la coordinata di P’’’ sull’asse z. I tre numeri reali relativi a, b, c sono individuati dal punto P e si chiamano coordinate di P. O P’’(b) y z P(a; b; c) P’’’(c) Q(a; b) x P’(a)

Viceversa, fissati comunque tre numeri reali relativi a, b, c risultano individuati i punti P’, P’’, P’’’ sugli assi cartesiani e questi tre punti individuano il punto P che ha come coordinate i numeri a, b, c. Si deduce che: fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, ad ogni punto corrisponde una terna ordinata di numeri reali relativi ( a, b, c ) , e viceversa ad ogni terna ordinata di numeri reali relativi corrisponde un determinato punto dello spazio. Si è così stabilita una corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri reali relativi. Per indicare che il punto P ha coordinate a, b, c scriveremo P( a, b, c ) .

Analogie tra il piano e lo spazio Nel piano fissata una qualunque retta r esiste una equazione lineare in x e y ax+by+c = 0 tale che i punti del piano che appartengono alla retta sono tutti e soli quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione.  Ricordiamo i seguenti casi particolari: ·       x = 0 rappresenta l’equazione dell’asse y ( in quanto l’asse y è formata da tutti e solo i punti la cui ascissa è zero) ·       y = 0 rappresenta l’equazione dell’asse x ( in quanto l’asse x è formata da tutti e solo i punti la cui ordinata è zero) ·       x = k rappresenta una retta parallela all’asse delle y, costituita da tutti e solo i punti che hanno ascissa uguale a k ·       y = h rappresenta una retta parallela all’asse delle x, costituita da tutti e solo i punti che hanno ordinata uguale ad h

Ricordiamo i seguenti casi particolari: Nello spazio fissato un qualunque piano  esiste una equazione lineare in x y e z ax+by+cz+d = 0 tale che i punti dello spazio che appartengono al piano  sono tutti e soli quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione. Ricordiamo i seguenti casi particolari:  ·  x = 0 rappresenta l’equazione del piano Oyz ( ovvero l’insieme di tutti e soli i punti P(0; y; z) di ascissa zero con y e z numeri reali variabili ) z x y O

y = 0 rappresenta l’equazione del piano Oxz ( ovvero l’insieme di tutti e soli i punti P(x; 0; z) con x e z numeri reali ) z y x O z = 0 rappresenta l’equazione del piano Oxy ( ovvero l’insieme di tutti e soli i punti P(x; y; 0) con x e y numeri reali ) y x z O

x = k rappresenta l’equazione di un piano parallelo al piano Oyz la cui distanza da esso è data dal valore assoluto di k ( ovvero l’insieme di tutti e soli i punti P(k; y; z) di ascissa k con y e z numeri reali variabili ) y = h rappresenta l’equazione di un piano parallelo al piano Oxz la cui distanza da esso è data dal valore assoluto di h ( ovvero l’insieme di tutti e soli i punti P(x; h; z) di ordinata h con x e z numeri reali variabili)   z = t rappresenta l’equazione di un piano parallelo al piano Oxy la cui distanza da esso è data dal valore assoluto di t ( ovvero l’insieme di tutti e soli i punti P(x; y; t) con t fissato e x e y numeri reali variabili )

z = f(x; y) oppure : f : (x , y)  z Definizione:   Si dice funzione reale di due variabili reali x e y una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x, y) uno ed un solo numero reale z Per indicare che la variabile z è funzione delle variabili x e y si scrive:  z = f(x; y) oppure : f : (x , y)  z con (x ; y)  D e z  R dove D è un sottoinsieme di RxR x e y si dicono variabili indipendenti, z si dice variabile dipendente.

Dominio e codominio: Data la funzione z = f(x; y) con (x , y)  D e z  R Il sottoinsieme D di RxR è detto dominio o insieme di definizione o campo di esistenza della funzione. L’insieme C dei valori assunti dalla variabile z si dice codominio della funzione.

Ricerca del campo di esistenza di una funzione Si ricorda che: Si dice campo di esistenza o dominio di una funzione z = f(x; y) l’insieme di tutte le coppie (x; y) appartenenti a RxR per le quali la funzione è definita Per determinare il dominio di una funzione reale di due variabili reali, come nel caso delle funzioni di una sola variabile, dobbiamo tenere presenti le principali regole di esistenza: Una funzione razionale intera esiste per qualunque (x; y) appartenente a RxR

O Una funzione razionale fratta esiste se il suo denominatore è diverso da zero O Una funzione irrazionale (con l’indice della radice pari) esiste se il suo argomento è positivo o nullo O Una funzione irrazionale (con l’indice della radice dispari) esiste qualunque sia il valore del suo argomento Una funzione logaritmica esiste se il suo argomento è positivo

determinarne il dominio Esempi 1. Determinare il campo di esistenza della funzione z = 5x+2y-5 Si tratta di una funzione di due variabili razionale intera dove ciascuna delle due variabili può assumere tutti i valori reali, quindi il campo di esistenza è: (x; y)  RxR 2. Data la funzione determinarne il dominio Trattandosi di una funzione irrazionale il radicando deve essere positivo o nullo, quindi si deve porre xy 0. Questo si verifica quando x e y sono entrambe positive o entrambe negative. Quindi il dominio è rappresentato da tutti i punti che appartengono al primo ed al terzo quadrante compresi i punti degli assi coordinati.

3. Calcolare il dominio della funzione: Essendo una funzione razionale fratta il denominatore deve essere diverso da zero. Quindi il dominio è rappresentato da tutti i punti del piano che non appartengono alla circonferenza con centro nell’origine e raggio 5 Per calcolare il dominio delle funzioni di due variabili è necessario saper operare con le disequazioni e i sistemi di disequazioni in due variabili

Rappresentazione grafica: La rappresentazione grafica della funzione z = f(x; y) viene fatta mediante un sistema di riferimento ortogonale nello spazio Il grafico o diagramma della funzione z = f(x; y) è l’insieme di tutti e soli i punti dello spazio di coordinate (x; y; z) per i quali sussiste la relazione z = f(x; y). Cominciamo a considerare i grafici di alcune funzioni:

  Notiamo che il dominio di questa funzione è RxR in quanto il denominatore della frazione non è mai nullo

Paraboloide ellittico Il dominio di questa funzione è RxR

Paraboloide iperbolico Il dominio di questa funzione è RxR

Richiami sulle Disequazioni lineari in due incognite Ogni disequazione del tipo ax+by+c  0 ( oppure ax+by+c  0 ) rappresenta un semipiano individuato dalla retta r ( o di bordo r) formato da tutti e solo i punti che con le loro coordinate verificano la disequazione. Il valore del trinomio lineare ax+by+c dipende dalle coordinate del punto P ( x; y ) nel quale esso si calcola.

Ricordiamo che ogni equazione lineare del tipo ax+by+c = 0 rappresenta una retta r del piano alla quale appartengono tutti e solo i punti che con le loro coordinate verificano l’equazione. Tale retta divide il piano in due semipiani di bordo r. N.B. Per verificare l’appartenenza di un punto ad una retta basta sostituire le coordinate del punto nell’equazione della retta. Es. data la retta di equazione x –2y +4 = 0; il punto P( 2; 3) appartiene alla retta perché sostituendo le sue coordinate rispettivamente al posto di x e y si ha: 2-2*3+4 = 0 ; mentre P( 1; 5) non appartiene alla retta in quanto sostituendo le sue coordinate nell’equazione della retta si ha: 1 – 2*5 + 4  0

Per individuare il semipiano dove risulta, per esempio, ax+by+c > 0 , basta: considerare un qualsiasi punto P ( x; y ) che non stia sulla retta (altrimenti ax+by+c = 0 ) determinare il segno che il trinomio ax+by+c assume in tale punto. Se risulta ax+by+c > 0 allora il semipiano cercato è quello di bordo r e contenente P; altrimenti è il semipiano opposto.

y > q ; y  q ; y < q ; y  q Casi particolari: · Se a = 0 e b  0 la disequazione viene espressa da una delle seguenti forme: y > q ; y  q ; y < q ; y  q   Consideriamo i seguenti esempi tenendo conto che la retta y = q è parallela all’asse x

ESEMPI    La disequazione y > 3 è verificata da tutti i punti del piano di ordinata maggiore di 3, ovvero da tutti i punti del semipiano che si trova “sopra” la retta r di equazione y = 3, esclusi i punti della retta r ( deve essere y > 3 e non y  3 quindi y non può essere uguale a 3. La linea tratteggiata in figura indica che sono esclusi i punti della retta ). 3 x y O

O x y -2 La disequazione y  - 2 è verificata da tutti i punti del piano di ordinata maggiore o uguale a - 2, ovvero da tutti i punti del semipiano che si trova“sopra” la retta r di equazione y = - 2, compresi i punti della retta ( deve essere y  -2 quindi y può anche essere uguale a – 2. La retta r di equazione y = -2 non è tratteggiata perché sono compresi i punti della retta ).

La disequazione y < 1 è verificata da tutti i punti del piano di ordinata minore di 1, ovvero da tutti i punti del semipiano che si trova “sotto” la retta r di equazione y = 1 esclusi i punti della retta r. 1 O x y

La disequazione y  - 3 è verificata da tutti i punti del semipiano di ordinata minore o uguale a – 3 ovvero da tutti i punti del semipiano che si trova “sotto” la retta r di equazione y = -3, compresi i punti della retta r. - 3 y x O

x > p ; x  p; x < p ; x  p Casi particolari:  · Se a  0 e b = 0 la disequazione viene espressa da una delle seguenti forme: x > p ; x  p; x < p ; x  p Analogamente al caso precedente si considera qualche esempio tenendo conto che la retta x = p è parallela all’asse y  

Esempi 2 x y O La disequazion x > 2 è verificata da tutti i punti del piano di ascissa maggiore di 2, ovvero dai punti del semipiano “a destra” della retta r di equazione x = 2, esclusi i punti della retta ( perché deve essere x > 2 e non x  2 )

La disequazione x  4 è verificata da tutti i punti del piano di ascissa minore o uguale a 4, ovvero da tutti i punti del semipiano “a sinistra” della retta r di equazione x = 4, compresi i punti della retta 4 x y O

Consideriamo ora il caso in cui a  0 e b  0 La disequazione è del tipo ax+by+c  0 ( o ax+by+c  0 )     Vedremo con un esempio come si risolve una disequazione di questo tipo

Per risolvere la disequazione x + 3y – 6  0 si considera: l’equazione della retta r x + 3y – 6 = 0 ad essa associata . Si calcolano le coordinate dei punti in cui essa interseca gli assi cartesiani : [Si ricorda che per calcolare l’intersezione della retta con l’asse x si pone y = 0, l’equazione diventa x – 6 = 0 che ha soluzione x = 6, quindi la retta incontra l’asse x nel punto di coordinate ( 6; 0 ) Per calcolare l’intersezione della retta con l’asse y si pone x = 0, l’equazione diventa 3y – 6= 0 che ha soluzione y = 2, dunque la retta incontra l’asse y nel punto di coordinate(0; 2)]

Si deduce che l’origine non è soluzione della disequazione. Si disegna ora nel piano cartesiano la retta r che passa per i punti (6; 0) e (0; 2); le soluzioni della disequazione sono date da tutti i punti appartenenti ad uno dei due semipiani individuati dalla retta r. Per stabilire di quale semipiano si tratta, si considera un punto qualunque appartenente ad uno dei due semipiani, per esempio O(0; 0) , il valore che il trinomio x + 3y – 6 assume in tale punto è : - 6 < 0. Si deduce che l’origine non è soluzione della disequazione. Il semipiano richiesto è quello individuato da r (compresi i punti della retta ) e non contenente l’origine degli assi 6 x y O 2

Prima di affrontare lo studio delle disequazioni non lineari in due incognite è opportuno ricordare le equazioni della circonferenza e della parabola.   CIRCONFERENZA Definizione Si dice Circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

Dalla definizione e dalla formula della distanza tra due punti segue che: l’equazione cartesiana della circonferenza è: dove C(α ; β) è il centro della circonferenza, r la misura del raggio e P(x; y) un generico punto della circonferenza. La precedente equazione, dopo aver sviluppato i quadrati, e dopo aver posto a = - 2α, b = -2 β, e c = α 2 + β2- r2 si può scrivere nella forma:

r2 > 0 ovvero α 2 + β2- c > 0 (1) x2 + y2 + ax + by + c = 0 che è: un’equazione algebrica di secondo grado nelle variabili x e y dove i coefficienti di x2 e y2 sono uguali tra loro e manca il termine in xy Si ricorda inoltre che non sempre un’equazione del tipo (1) rappresenta una circonferenza reale; la condizione perché essa sia l’equazione di una circonferenza è:  r2 > 0 ovvero α 2 + β2- c > 0 dove Quindi:

dove le coordinate del centro sono L’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0  rappresenta una circonferenza solo se risulta dove le coordinate del centro sono ed il raggio

PARABOLA   Definizione Si dice Parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Si dimostra che: rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y con: vertice e fuoco

il cui asse di simmetria è la retta di equazione: e la cui direttrice è la retta, parallela all’asse x, di equazione: Si ricorda inoltre che la parabola volge la concavità verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 .

L’equazione rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x con: vertice e fuoco il cui asse di simmetria è la retta di equazione: e la cui direttrice è la retta, parallela all’asse y, di equazione

DISEQUAZIONI NON LINEARI IN DUE INCOGNITE Vediamo un esempio tenendo presente che il procedimento per risolvere le disequazioni non lineari è simile a quello per le disequazioni lineari. Esempio Risolvere la disequazione x2 – 6x + 5 – y  0. Si rappresenta la curva di equazione x2 – 6x + 5 – y = 0 ovvero la curva di equazione y = x2 – 6x + 5

che è l’equazione di una parabola che volge la concavità verso l’alto, ha il vertice nel punto V( 3; - 4 ) incontra gli assi cartesiani nei punti ( 0; 5 ), ( 1; 0 ) e ( 5; 0 ) Essa divide il piano in due parti una delle quali contiene l’origine (dato che la parabola non passa per l’origine) Una di queste due parti è costituita dai punti le cui coordinate (x; y ) soddisfano la disequazione .

Consideriamo il punto O (0; 0) come punto di “ prova” e sostituiamo le sue coordinate nella disequazione si ha: 0 – 6*0 + 5 – 0 > 0 ; quindi verifica la disequazione. Si conclude dicendo che:   L’insieme delle soluzioni della disequazione è rappresentato da una delle due parti in cui la parabola divide il piano, ed esattamente dalla parte contenente l’origine ( la parte di piano colorata nella figura della pagina successiva).

3 -4 5

SISTEMI DI DISEQUAZIONI L’insieme delle soluzioni di un sistema di due o più disequazioni in due incognite è dato dalle soluzioni comuni alle disequazioni del sistema. Per risolvere un sistema di disequazioni bisogna: -   risolvere le singole disequazioni che lo compongono -   rappresentare le soluzioni nel piano cartesiano -  determinare le intersezioni delle soluzioni delle singole disequazioni.

Esempio: Risolvere il seguente sistema di disequazioni: x+2y-20 x-y+40 Si risolvono separatamente le due disequazioni (vedi disequazioni lineari in due incognite) e si rappresentano le soluzioni nel piano cartesiano.

Le soluzioni della prima disequazione del sistema: x+2y-2 0 sono: 1

Le soluzioni della seconda disequazione del sistema: x-y+40 sono date dai punti del seguente semipiano: - 4 x y O 4

L’ intersezione dei due precedenti semipiani rappresenta la soluzione del sistema 2 1 - 4 x y O 4

Test di Autoverifica 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente: a) z = x2-y; b) z = 2x+3x2-2y+4

2. Il dominio della funzione è dato da: L’insieme di tutti i punti del piano L’insieme di tutti i punti del piano escluso l’origine L’insieme dei punti del piano “sopra” la parabola con vertice nel punto (0,-1) e concavità rivolta verso l’alto L’insieme dei punti del piano “sotto” la parabola con vertice nel punto 3. Data la funzione f(x,y) = (2x + y)2 - 4 f(-1; -h) è uguale a: q       h2 - 4h q       h2 + 4h +8 q       h ( h + 4) q       h2 + 4h - 8

4. Il dominio della funzione è dato da: L’insieme di tutti i punti del piano L’insieme di tutti i punti del piano escluso l’origine L’insieme dei punti del piano interni alla circonferenza con centro nell’origine e raggio 3 L’insieme dei punti del piano che non appartengono alla circonferenza con centro nell’origine e raggio 3 5. Il dominio della funzione è dato da: L’insieme di tutti i punti del piano L’insieme di tutti i punti del piano escluso l’origine L’insieme dei punti del piano interni alla circonferenza con centro nell’origine e raggio 4 L’insieme dei punti del piano esterni alla circonferenza con centro Soluzioni

1. a) e b) l’insieme di tutti i punti del piano, c) x0 (tutti i punti del piano esclusi i punti dell’asse y) d) tutti i punti del piano escluso l’origine e) tutto il piano esclusi i punti appartenenti agli assi coordinati f) tutto il piano esclusi i punti della bisettrice del secondo e del quarto quadrante g) tutto il piano esclusi i punti delle due bisettrici h) tutti i punti del piano esterni alla circonferenza con centro nel punto C(3, -2) e raggio 5 2. L’insieme dei punti del piano “sopra” la parabola con vertice nel punto (0,-1) e concavità rivolta verso l’alto. 3. h ( h + 4) 4. L’insieme di tutti i punti del piano 5. L’insieme dei punti del piano interni alla circonferenza con centro nell’origine e raggio 4