titolo Insiemi di livello e vettori

Controimmagine f B A b f (b) -1 f -1(b) controimmagine di b mediante f

A h Linee di livello h (1000) è la curva formata dai punti ALTITUDINE h 1000 h (1000) è la curva formata dai punti con altitudine 1000 m. ( linea di livello ) - 1

Insieme delle soluzioni A B f b f -1(b) controimmagine di b mediante f f (b) -1 insieme delle soluzioni dell’equazione f(x) = b Una funzione è biettiva se e solo se tutti i suoi insiemi di livello hanno un solo punto ( insieme di livello )

Importante per i calcoli f è biettiva se e solo se : , l’equazione : f (x) = b ha una e una sola soluzione: f (b) -1 x =

Esempio di funzione biettiva f : R R , definita da: f(x) = 2x + 3 è biettiva. Infatti, per ogni numero reale b , l’equazione: 2x + 3 = b ha l’unica soluzione:

f(x) = x - 1 x - 1 = 3 x - 1 = -2 x = -1 Controesempio f : R R , definita da: f(x) = x - 1 2 non è biettiva. x - 1 = 3 2 Infatti, l’equazione: ha due soluzioni: - 2 e 2 x - 1 = -2 2 Inoltre, l’equazione: non ha soluzioni in R , perché non esiste alcun numero reale x tale che: x = -1 2

3 2 -2

A p isobare p-1(1032) è la curva formata dai punti PRESSIONE BAROMETRICA 1032 p(x) = 1032 p-1(1032) è la curva formata dai punti in cui la pressione vale 1032 ( isobara ) x

Incrementi in due variabili Xo+ h h Xo k Xo+ k

f R2 R x y Xo+ h h h2 Xo h1

(2 , 3) Segmenti orientati spostamento segmenti orientati equipollenti componenti D segmento orientato CD B segmento orientato AB 3 3 a C a A 2 2 AB || CD AB = CD segmenti orientati equipollenti

Concetto di vettore (2 , 3) v vettore segmenti orientati equipollenti

v v = B - A (2 , 3) v = AB B = A + v A = (x , y ) B = (x+2 , y+3 )

v w v+w (2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1) (4 , 1) (2 , 3) Somma di vettori C B 1 3 A 2 4 (2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)

v w v+w (4 , 1) (2 , 3) C B A (2, 3)+(4, 1) = (2+4, 3+1)

v w v+w C B A

v w v+w B A C

Vettore nullo e opposto B A

v 2v 3v A -2v

Moltiplicazione per uno scalare v lv scalare C B lv2 A v2 lv1 v1 l(v1,v2) = (lv1 , lv2)

Operazioni in Rn Rn addizione: + moltiplicazione per uno scalare: l

R3 Rette in R3 X = A + tv r tv v f : R R3 z X = A + tv X r tv B v A f : R R3 y f( t ) = ( a1+ tv1 , a2+ tv2 , a3+ tv3 ) equazioni parametriche x

Risolvere l’esercizio 5.8 a pag. 46

R3 Piani in R3 lu lu + mv u X = A + lu + mv v mv f : R2 R3 z X lu B lu + mv u X = A + lu + mv v A C mv f : R2 R3 f(l, m) = ( a1+lu1+mv1 , a2+lu2+mv2 , a3+lu3+mv3) equazioni parametriche y x

Esercizio 5.11 a pag. 49

Concetto di iperpiano sottoinsieme di dimensione n-1 Un’equazione lineare in n variabili è del tipo: n = 2 retta in R2 n = 3 piano in R3 sottoinsieme di dimensione n-1 IPERPIANO

Modulo e distanza nel piano v | v | MODULO di v : = || v || R2 B v2 A v1 DISTANZA tra A e B : d(A,B) := |A- B|

Modulo e distanza in Rn Rn distanza tra due punti: d(A,B) := |A- B|

Media e scarti media aritmetica : vettore degli scarti scarto i-esimo

varianza Var(x) := sx2 Deviazione Standard (o scarto quadratico medio)

Varianza campionaria IPERPIANO n-1 gradi di libertà u := (u1, u2, ... , un)  u1 + u2 + ... + un = 0 IPERPIANO n-1 gradi di libertà Deviazione Standard Campionaria Varianza Campionaria

Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 57

Prodotto scalare Rn xRn R PRODOTTO SCALARE DOT PRODUCT

Pagina 134 Figura 5.1

Proiezione di un vettore || v || cos q

v || v || cos q u versore

Versori degli assi y2 v v2 e2 v1 e1 y1

Coefficiente di correlazione lineare

Misure su un campione X = (x1, x2, … , xn) Y = (y1, y2, … , yn) u = (u1, u2, … , un) v = (v1, v2, … , vn)

Coefficiente di correlazione xy Coefficiente di correlazione lineare tra x e y

Correlazione positiva xy = cos 0 = 1 m > 0 v J = 0 u

Correlazione negativa = cos p = -1 r xy m < 0 u v J J = p

Correlazione nulla = 0 r xy v J = p/2 J u

Covarianza r xy COVARIANZA

Risolvere gli esercizi 6.3 a pag. 144