MATEMATICA PER L’ECONOMIA Docente: Luca Vincenzo Ballestra Testi: 1) Aversa, Vincenzo (2010), Metodi quantitativi delle decisioni. LIGUORI 2) Simon, Blume (2002), Matematica Generale. EGEA Per colmare ecentuali lacune sulla matematica di base è consigliato il libro Giorgi-Morro, Introduzione alla Matematica, Maggioli (questo libro è solo propedeutico al corso e non sostituisce il libro di testo) Orario di ricevimento: 1) Martedì ore 9:30 - 11:30 2) Lunedì ore 10:00 - 12:00 (SOLO FINO A FINE CORSO)

INSIEMI INSIEME = “gruppo” di oggetti qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito se e solo se viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o meno all’insieme. Potrebbe non essere definito un ordine tra gli elementi.

SIMBOLOGIA Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole: A, B, X, Y, … Gli elementi degli insiemi sono indicati con lettere minuscole: a, b, x, y,…

Un insieme A si rappresenta: - elencando tutti o alcuni degli elementi che appartengono all'insieme Esempi: A = {1, 4, 6, Mario} B = {1, 3,5,7,9,…} - indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x: x è un numero intero divisibile per 12}

DIAGRAMMA DI EULERO-VENN Rappresentare grafica (intuitiva) di un insieme. Carlo Giacomo Maria Laura A

APPARTENENZA Per indicare che un dato elemento a è un elemento dell’insieme A si scrive: a Î A (a appartiene ad A). Per indicare che un dato elemento b non è un elemento dell’insieme A si scrive: b Ï A (b non appartiene ad A).

ALTRI SIMBOLI ⊆: incluso in o uguale a ⊂ incluso in senso stretto | (oppure “:”) tale che  implica se e solo se esiste ∄ non esiste ∀ per ogni :

SOTTOINSIEMI B Í A B è incluso in o è uguale ad A oppure Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B Í A B è incluso in o è uguale ad A oppure A Ê B A include o è uguale a B se ogni elemento di B è un elemento di A

Insieme vuoto : Æ Insieme con nessun elemento Æ Í A qualunque sia A L’insieme vuoto è per definizione un sottoinsieme di tutti gli insiemi

OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA INSIEME COMPLEMENTARE PRODOTTO CARTESIANO

UNIONE L'unione di due insiemi, che si indica col simbolo È, è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A È B = {x : x Î A oppure x Î B} Se A  B A È B = B

UNIONE Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} A È B = {0,1,2,3,4,5} 1 5 1 5 2 3 4 A B

INTERSEZIONE L'intersezione di due insiemi A e B che si indica col simbolo Ç è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B A Ç B = {x : x Î A e x Î B } Se A  B A Ç B = A Se A Ç B =  A e B sono disgiunti.

INTERSEZIONE Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} A Ç B = {1,2} 1 5 2 1 5 2 3 4 A B

DIFFERENZA La differenza di due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme e che non appartengono al secondo insieme A - B = {x : x Î A , x Ï B } Se A  B A - B = 

DIFFERENZA Esempio: A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5} A - B = {0} 1 5 2 3 4 1 5 2 3 4 A B

INSIEME COMPLEMENTARE Introduciamo l’insieme universo U ovvero un insieme su cui effettuare le operazioni (U potrebbe essere, per esempio, l’insieme dei numeri reali, oppure l’insieme delle funzioni). Se A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA = U - A = {x : x Î U e x Ï A}

INSIEME COMPLEMENTARE Esempio: U = {0, 1, 2, 3, 5, 6}, A = {1, 2, 6} CUA = U - A = {0, 3, 4, 5} 0 3 4 5 1 2 6 U A

PRODOTTO CARTESIANO COPPIA ORDINATA: una coppia di elementi in cui viene distinto l’ordine in cui si considerano i due elementi (c’è un primo e un secondo elemento): (x,y)  (y,x) Dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A e B, che si indica A ´ B, è l’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B: A ´ B = {(x, y) : x Î A, y Î B}

PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2, 3}, B = {3, 7} B ´ A = {(3,1), (3,2), (3,3), (7,1), (7,2), (7,3)}

INSIEMI NUMERICI NUMERI NATURALI NUMERI RELATIVI NUMERI RAZIONALI NUMERI IRRAZIONALI NUMERI REALI NUMERI COMPLESSI

NUMERI NATURALI N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} In N sono definite le seguenti operazioni: - Addizione (0 è l’elemento neutro) - Moltiplicazione (1 è l’elemento neutro)

NUMERI INTERI RELATIVI Problema: nell’insieme dei numeri naturali non si può definire la sottrazione, ovvero l’operazione inversa della addizione Z = {…, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, …} N è incluso in Z

NUMERI RAZIONALI Q = {(x,y): x  Z, y  Z-{0}} Problema: nell’insieme dei numeri naturali non si può definire la divisione, ovvero l’operazione inversa della moltiplicazione Q = {(x,y): x  Z, y  Z-{0}} Possiamo anche scrivere (x,y) come Un numero razionale è in realtà una coppia di interi relativi (x,y). Può però essere pensato come il risultato della divisione di x per y e essere rappresentato in “notazione decimale con virgola”

NUMERI RAZIONALI Q è denso: dati due qualsiasi numeri razionali esiste (almeno) un altro numero razionale intermedio Se però si rappresenta Q come un insieme di punti su una retta, allora Q ha dei “buchi”: ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ●

NUMERI REALI Problema: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 Numeri reali: R = Q È   è l’insieme dei numeri irrazionali, che per noi è l’insieme di quei punti della retta che non sono numeri razionali

NUMERI COMPLESSI Problema: non vi è nessun numero reale x tale per cui x moltiplicato per x dia come risultato -1(il quadrato di un numero reale non può essere un numero reale negativo). Noi (e solo noi) chiamiamo UNITÀ IMMAGINARIA il numero i il cui quadrato è uguale a – 1: i2 = – 1

NUMERI COMPLESSI Un numero complesso z può essere definito come segue: a: parte reale; b: parte immaginaria L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C

NUMERI COMPLESSI (solo un accenno) SOMMA: DIFFERENZA: PRODOTTO:

Gli insiemi di numeri sopra descritti sono inclusi uno nell’altro: N Z Q R C

RELAZIONI Si chiama relazione tra l’insieme X e l’insieme Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R  X x Y = (x,y): xX, yY L’insieme costituito dai primi elementi di ciascuna coppia viene chiamato dominio. L’insieme costituito dai secondi elementi di ciascuna coppia viene chiamato codominio.

FUNZIONE Una funzione è una relazione tra due insiemi X e Y tale che comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y

RELAZIONE Anna non è in relazione con nessun elemento del codominio Ida Y X Anna Ugo Paola Mario Fabio Anna non è in relazione con nessun elemento del codominio Ida è in relazione con due elementi del codominio

A Mario non corrisponde nessun elemento del dominio FUNZIONE Y X Anna Ugo Paola Mario Fabio A Mario non corrisponde nessun elemento del dominio

FUNZIONE X f Y Si indica come 1 4 2 5 6 3 o più brevemente 4 è l’immagine di 1 (f(1)=4) 1 è la controimmagine di 4 L’insieme {2,3} è la controimmagine di 5 {4, 5}è l’insieme immagine di f: sottoinsieme del codominio formato da tutti gli elementi immagine (ovvero da tutti gli elementi che hanno un corrispondente elemento nel dominio)

GRAFICO DI UNA FUNZIONE Grafico di f : Il grafico di una funzione è un insieme, che ha anche una rappresentazione grafica: y x

INIETTIVA NON INIETTIVA INIETTIVITÀ 1 1 4 4 2 2 6 5 5 3 INIETTIVA NON INIETTIVA Una funzione si dice INIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine, al più, di un SOLO elemento del dominio

SURIETTIVA NON SURIETTIVA SURIETTIVITÀ 4 1 1 4 2 5 6 3 2 6 SURIETTIVA NON SURIETTIVA Una funzione si dice SURIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine di ALMENO un elemento del dominio

FUNZIONE INVERSA Sia f : X → Y iniettiva e suriettiva. Allora è invertibile, ovvero esiste la funzione inversa 1 4 1 4 2 6 2 6

FUNZIONE INVERSA Esempio:

FUNZIONE INVERSA Il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

FUNZIONE COMPOSTA Y X A -2 g f 3 5 1 B 2 4 6 8 X Y g ○ f 5 1 2 6

FUNZIONE COMPOSTA

FUNZIONE COMPOSTA – ESEMPIO