Un percorso per le classi seconde Infinita...mente alcuni modi di vedere l’infinito in matematica Un percorso per le classi seconde testi e materiali originali di Gemma Gallino (presentazione Paolo Montanaro)

Hai davanti a te una torta. Puoi mangiarla seguendo queste regole: Attività 1a Hai davanti a te una torta. Puoi mangiarla seguendo queste regole: dividi la torta in due parti uguali e mangi in un sol boccone una delle due parti; dividi a metà la parte rimasta; mangi in un sol boccone una delle due parti e così via. Ai professori devi riservare la torta rimasta. Avanzerà qualche cosa ?…… Perché ?

Dividi il quadrato in quattro parti uguali, colorane una. Attività 1c (aiutati colorando il quadrato dell’allegato 1 che trovi nella pagina seguente) Dividi il quadrato in quattro parti uguali, colorane una. Applica lo stesso procedimento al quadrato non adiacente e continua così “infinite volte”. Che parte del quadrato grande hai colorato?……

Serie successione Lavorando con le torte si scopre che: E’ facile costruire alcune successioni numeriche costituite di infiniti termini, ove ogni termine è più piccolo del precedente e più grande del susseguente, e tali che la somma converge ad un valore finito. Serie successione Congettura!

Dovrà coprire una distanza costituito da infiniti tratti: Il paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga è analogo al problema delle torte, per esempio nell’ipotesi che Achille vada a velocità doppia della tartaruga e conceda metà strada come vantaggio alla tartaruga: … Dovrà coprire una distanza costituito da infiniti tratti: Sempre che la nostra congettura sulle torte sia esatta!

Alla dimostrazione della nostra congettura si può arrivare attraverso le curiose proprietà dei numeri periodici: essi non sono solo un altro modo di toccare l’infinito, ma sono anche una possibile chiave nella dimostrazione della nostra congettura. Dato un numero periodico è possibile risalire alla sua frazione generatrice, esempio: In particolare: Questa uguaglianza è vera se assumiamo come validi i principi di risoluzione delle equazioni. CONSIDERAZIONE: I principi di risoluzione restano veri indipendentemente dalla base in cui siano stati scritti i numeri che vi compaiono: 0,11111…; 1; 10;

Poiché l’ultima relazione è indipendente dalla base in cui sono scritti i numeri che vi compaiono: base n base 10 base 3 binaria se trascritta in base 10 significa: Nella base:

Cascata, Mauritz Cornelis Escher Costruzione a tre travi Modello per la costruzione a tre travi

Limite del quadrato, Maurits Cornelis Escher

I quadrati sono successivamente uno la metà del precedente. la figura completa contiene quadrati disposti con un lato orizzontale e con un lato lungo la diagonale del quadrato precedente. I quadrati sono successivamente uno la metà del precedente.

Il teorema di Pitagora e la diagonale del quadrato

Irrazionalità e incommensurabilità

La frazione continua di con il metodo geometrico possiamo individuare la frazione continua che permette di ottenere valori sempre più approssimati di Si ottiene che: ossia lo spettro:

Con il metodo aritmetico, sfruttando la proprietà dei radicali: L’uso della frazioni continue evidenzia un algoritmo molto pratico per la determinazione di 1+1 +2 1/x +1 Numero cicli inverso …….+1 0 cicli 0,5 0,5+1=1,5 1 ciclo 0,4 0,4+1=1,4 2 cicli