IL NUMERO …qualche idea… Michele Picotti Liceo Pedagogico e delle Scienze Sociali Carlo Montanari Verona

Da dove partire? Storia Etologia Forme Contare Numerazioni Idea intuitiva Definizione formale

Un po’ di storia Gli animali sanno «contare»? I numeri delle popolazioni primitive N = {1; 2; MOLTI}

E se provassimo a sottrarre? + 1 2 M E se provassimo a sottrarre?

L’aritmetica dei Greci Manca un segno che indichi zero Sviluppo modesto dell’aritmetica: mancano simboli appositi per le cifre. = 1  = 2  = 3  = 4  = 30  = 200 =30+2=32

I Romani Sistema di numerazione additivo sottrattivo: quando una cifra “piccola” precede una cifra “grande” occorre sottrarre anziché sommare.

Lo zero Arriva dal lontano oriente sunga: termine indiano che letteralmente significa «vuoto» tradotto con as sifr dagli arabi cifra in Italia: la cifra per eccellenza

Nirvana L’annullamento, uno dei capisaldi della dottrina Buddhista vuoto  mancanza di oggetti  mancanza di grandezze

Il bisogno di andare oltre N     0 1 2 3 | | | | 0,5 1,25 7/4 19/11 rQa rN N Qa Egiziani Sumeri Arabi

   0 1 2   -2 -1 rZ N Z Arabi

Analisi delle operazioni nei diversi insiemi numerici In N + , x sempre lecite – , : no! In Z + , x, – sempre lecite : no! Z amplia N In Qa + , x , : sempre lecite – no! Qa amplia N

In Q + , x , : , – sempre lecite Q amplia N Q amplia Qa Che operazione resta fuori?

La densità in Q    ? rQ

   | rQ ?

Ma allora TUTTI i numeri trovano posto sulla retta dei numeri razionali? Ciò è quanto credevano i pitagorici….

Per il Teorema di Pitagora

Dal punto di vista geometrico quella intersezione tra arco di circonferenza e rQ esiste. Dal punto di vista aritmetico un punto su rQ non c’è. Non esiste un numero razionale:

Oltre Q verso R La continuità: cosa significa intuitivamente che una linea è continua?

Numeri con la virgola (Qa) Numeri con una quantità finita di cifre dopo la virgola Numeri con una quantità infinita di cifre dopo la virgola che si ripetono con regolarità (periodici)

Numeri che hanno infinite cifre dopo la virgola ma che non si ripetono con regolarità: non si ottengono dividendo tra loro due naturali o due razionali. Si indicano con simboli: Senza questi la semiretta r dei numeri “non si riempie”! E’ densa ma non continua

La numerazione posizionale Esiste una cifra per indicare l’assenza di elementi Una cifra cambia di valore a seconda della posizione che occupa Il numero delle cifre usate indica la BASE

Nome Base dieci Base due Base cinque Base dodici Zero Uno 1 Due 2 10 Tre 3 11 Quattro 4 100 Cinque 5 101 Sei 6 110 Sette 7 111 12 Otto 8 1000 13

Nome Base dieci Base due Base cinque Base dodici Nove 9 1001 14 Dieci 10 1010 20 A Undici 11 1011 21 B Dodici 12 1100 22 Tredici 13 1101 23 Quattordici 1110 24 Quindici 15 1111 30 Sedici 16 10000 31 Cento 100 110100 400 84

Le «forme» dei numeri (Pitagora)

25 = 1+3+5+7+9 36 =…………… Un numero n al quadrato è uguale alla somma dei primi n dispari consecutivi Ogni numero dispari nasce dalla differenza dei quadrati di numeri consecutivi

Numeri triangolari

Ogni numero triangolare è della forma

I numeri primi Sono i numeri divisibili esattamente per due numeri Sono infiniti? Non è ancora stata formulata una legge che descriva tutti i numeri primi 1 è numero primo?

Il crivello di Eratostene (III sec. A.C.) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

La congettura di Goldbach Ogni numero pari maggiore di 2 è uguale alla somma di due numeri primi 4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 14 = 11+3 16 = 11+5 ……