CON CONTAMINAZIONI TRATTE DAI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA DI D.HILBERT IL SISTEMA EUCLIDEO CON CONTAMINAZIONI TRATTE DAI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA DI D.HILBERT

ENTI PRIMITIVI Punto Retta Piano Spazio

Relazioni primitive Stare su (o appartenere) Stare tra Essere uguale a

ASSIOMI Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra di loro Se a cose uguali si aggiungono cose uguali allora i totali sono uguali Se a cose uguali si tolgono cose uguali allora le differenze sono uguali Cose che si sovrappongono sono uguali Il tutto è maggiore di una sua parte

POSTULATI DI INCIDENZA Per due punti passa una ed una sola retta Tre punti non allineati sono contenuti in uno e un solo piano Se due punti contenuti in una retta stanno in un piano allora la retta appartiene al piano Se due piani contengono lo stesso punto, allora esiste almeno un altro punto contenuto in entrambi Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati, esistono almeno quattro punti non complanari

POSTULATI DI ORDINE Se un punto A sta tra B e C, A sta tra C e B ed i tre punti sono allineati. Dati due punti distinti A e C, allora esistono un terzo e un quarto punto B e D nella retta passante per A e C tali che B sta tra A e C e C sta tra A e D. Dati tre punti distinti e allineati ce n’e esattamente uno che giace tra gli altri due

POSTULATI DI ORDINE Dati quattro punti A, B, C, D distinti e allineati tali che B sta tra A e C e inoltre C sta tra A e D, allora B sta tra A e D e inoltre C sta tra B e D Assioma di Pasch: siano tre punti A, B, C non allineati, contenuti in un piano Σ, sia r una retta contenuta in Σ, ma non contenente nessuno dei tre punti A, B, C; se r contiene un punto del segmento AB, allora contiene anche un punto dei due segmenti AC e BC

POSTULATI DI CONGRUENZA Siano A, B e A’ tre punti su una retta r. Esistono e sono unici due punti C e D sulla retta r tali che A’ sta tra C e D e ABA’C e ABA’D. La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A’B’ e A”B” sono congruenti ad AB allora A’B’  A”B”

POSTULATI DI CONGRUENZA Siano AB e AC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni e siano A’B’ e B’C’ segmenti su una retta r’ privi di punti interni comuni. Se AB  A’B’ e BC  B’C’, allora AC  A’C’. Dati un angolo ABC ed una semiretta B’C’, esistono e sono uniche due semirette B’D e B’E, tali che l’angolo DB’C’ è congruente ad ABC e l’angolo EB’C’ è congruente all’angolo ABC

POSTULATI DI CONGRUENZA La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se A′B′C′ e A′′B′′C′′ sono congruenti ad ABC, allora A′B′C′ ≡ A′′B′′C′′.

ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO Ogni retta r di un piano divide l’insieme dei punti del piano in due parti non vuote, tali che: A) se i punti A e B appartengono a parti opposte, allora il segmento AB taglia la retta r; B) se i punti C e D appartengono alla stessa parte, allora il segmento CD è incluso in questa.

POSTULATO DELLE PARALLELE (Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r.

POSTULATI DI CONTINUITA’ 1. (Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste un valore n (naturale) tale che n volte il segmento AB supera il segmento CD