Modelli meccanicistici: il serbatoio MCSA 07/08 L08 Andrea Castelletti Politecnico di Milano

Lo sbarramento di Itaipu sul Parana Corpo diga Condotte forzate e sala macchina Sfioratore in azione

La diga dell Tre Gole (Cina)

Localizzazione tipica Clan canyon dam Colorado river

Sezione trasversale di un serbatoio opera di presa a torre sfioratore superficiale bocche di derivazione quota di massimo invaso scarico di fondo livello del pelo libero quota minima di derivazione condotta adduttrice invaso diga di sbarramento

Scaricatori superficiali in funzione

Scaricatore di fondo in funzione Loch Lagghan dam Scozia

Sbarramento: componenti Condotta forzata Sfioratore superficiale

Dispositivi di regolazione Paratoie: a) a ventola b) verticale c) radiale

I serbatoi idroelettrici sono spesso interconnessi in gruppi Sistema Piave - S.Croce Gruppi di serbatoi I serbatoi idroelettrici sono spesso interconnessi in gruppi Planimetria generale e profilo schematico del sistema Piave - S.Croce

Caratteristiche di un serbatoio Dal punto di vista gestionale un serbatoio è caratterizzato: dal volume utile di regolazione; dalla scala di deflusso complessiva degli sfioratori; dalla scala di deflusso dell’opera di presa.

Scala di deflusso: sfioratore a calice commentare

Rete causale st = volume invasato all’istante t at+1 = volume di afflusso in [t ,t+1) rt+1 = volume effettivamente erogato in [t , t+1)

Rete causale Cosa manca ? - l’evaporazione - r dipende da a ed e

Modello meccanicistico superficie Cosa manca alla rete? - l’evaporazione - r dipende da a ed e

Modello meccanicistico superficie evaporazione

Modello meccanicistico evaporazione superficie invaso

Modello meccanicistico evaporazione superficie invaso livello

Modello meccanicistico evaporazione superficie invaso livello rilascio

Equazione di bilancio bilancio Semplificazione: invaso cilindrico S(st) = S afflusso netto bilancio Vantaggio stimatore degli afflussi netti Attenzione Se usato quando l’invaso non è cilindrico si commette errore

Relazione invaso - livello Ipotesi implicita: lo specchio liquido è in ogni istante orizzontale. Esiste una relazione biunivoca tra il livello misurato in un punto e l’invaso. L’inversa di h(.) consente di determinare il valore dell’invaso misurando il livello: l’unica misura effettivamente eseguibile. Ad esempio: nel caso di invaso cilindrico Un invaso negativo esprime il volume mancante per portare lo specchio liquido al livello cui corrisponde invaso nullo. costante arbitraria

Relazione invaso – livello Ipotesi implicita: lo specchio liquido è in ogni istante orizzontale. Esiste una relazione biunivoca tra il livello misurato in un punto e l’invaso. L’inversa di h(.) consente di determinare il valore dell’invaso misurando il livello : l’unica misura effettivamente eseguibile. Invaso non cilindrico L’identificazione di h(.) segue vie diverse, a seconda che sia nota: calcolo numerico per punti batimetria del serbatoio (DEM) serie storica interpolazione

Relazione invaso-quota Campotosto È fatto a clessidra

Relazione invaso-quota Piaganini

Ricalibrazione scala

Relazione invaso - superficie Si determina con le medesime tecniche.

Modello tempo-continuo del serbatoio s(t) = volume invasato all’istante t [m3] a(t) = portata di afflusso all’istante t [m3/s] i(t,s(t)) = infiltrazione [m3/s] e(t) = evaporazione per unità di superficie all’istante t [m/s] S(s(t)) = area dello specchio liquido [m2] r(t,s(t),p(t)) = rilascio quando l’apertura delle paratoie è p [m3/s]

Semplificazioni n(t) dipende dalle scale di deflusso e dalla posizione p degli organi di scarico i = 0 quasi sempre vera, perlomeno in serbatoi artificiali Invaso cilindrico n(t) = a(t)-e(t)S afflusso netto

Scale di deflusso istantanee massimo rilascio paratoie aperte  minimo rilascio è limitato sfioratore  s min s max s* s(t) s* : invaso corrispondente alla quota dello sfioratore s min , s max : limiti fascia di regolazione

Scale di deflusso di Campotosto portata [m3/s] invaso [m3] N max (•) N min (•) ~

Un modello per la gestione Il modello tempo-continuo non serve per la gestione, perché: le decisioni si assumono in istanti temporali discreti non sempre possediamo dati tempo-continui discretizzare

Modello discreto del serbatoio nt+1 = volume di afflusso netto in [t ,t+1) +nt+1 st = volume invasato all’istante t st rt+1 = volume effettivamente erogato in [t , t+1) -rt+1 st+1 = st +nt+1 -rt+1 nt+1= volume di afflusso netto in [t , t+1) lo supporremo distribuito uniformemente nt+1 t t +1

La funzione di rilascio decisione di rilascio rt+1 = Rt (st ,nt+1 ,ut) con con Massimo volume erogabile in [t , t+1) Minimo volume erogabile in [t , t+1) 45° fissato st, nt+1 fissato st e ut rt+1 rt+1 Vt ut vt nt+1 ut

Minimo e massimo rilascio di Campotosto n = 50 m3/s n = 0 m3/s

Insieme dei controlli ammissibili U(st) dipendono dall’afflusso! NO

Insieme dei controlli ammissibili U(st) fissato st 45° rt+1 Vt (st,max{nt+1}) Vt (st,min{nt+1}) vt(st,max{nt+1}) vt(st,min{nt+1}) ut U(st)

NO Commenti vt(st ,nt+1) rt+1  Vt(st ,nt+1) vincolo ridondante incluso in Rt(•) NO vt(st ,nt+1) ut  Vt(st ,n t+1) rilasci di interesse Se nt+1 noto rt+1 = ut Forme alternative dell’equazione di continuità ht = livello all’istante t rt+1 = Rt(st ,nt+1 ,ut) = Rt (ht ,nt+1 ,ut) rilascio effettivo in [t , t +1) nt+1= afflusso netto espresso in livello rt+1= rilascio effettivo espresso in livello

CONCLUSIONE Modello di un serbatoio in esercizio transizione di stato uscite controlli ammissibili

CONCLUSIONE Modello di un serbatoio in progetto Ad esempio se la scala di deflusso è già definita, si tratta solo di stabilire quale debba essere la sua capacità allora la variabile è questa. Naturalmente possiamo variare la cosa e complicarla ad esmpio la centrale oppure la scala di deflusso degli sfioratori. Fare notare che l’inisme delle capacità ammissibili deriva da considerazioni di tipo idrografico e geologico.

Leggere MODSS Cap. 5 VERBANO Cap. 6

o è uniforme o è periodico. Il passo temporale La maggior parte delle variabili (livelli, disturbi, afflussi, ...) varia nel tempo con continuità. Solo le decisioni di gestione (i controlli) vengono assunte in istanti discreti (reti irrigue, centrali idroelettriche, ...). L’intervallo di tempo che intercorre tra una decisione e la successiva è detto passo decisionale. Si potrebbe credere che la sua durata dipenda dalla rapidità con cui varia lo stato del sistema, ma in realtà non è così! o è uniforme o è periodico. Il passo decisionale deve essere uguale al passo di modellizzazione.

Il passo temporale Come fissare la durata del passo temporale? Due opposte esigenze: abbastanza breve da permettere il tempestivo adeguamento della decisione alle variazioni del sistema. Rappresentabilità del sistema fisico abbastanza lungo da consentire che tutti i fenomeni fisici ed economici che la decisione influenza si adattino a essa. Accettabilità sociale della alternativa La decisione non si cambia in tempo nullo e comporta dei costi.

Il passo temporale Quando il sistema è già in esercizio il passo temporale esistente è quasi sicuramente un buon compromesso tra le due esigenze; se così non fosse il regolatore farebbe fatica a gestire il sistema. Quando il sistema è realizzato ex-novo è necessario considerare: - i vincoli imposti dalla dinamica del sistema - la frequenza con cui sono misurate le variabili idrologiche - le esigenze di stabilità dei Portatori d’interesse

Il passo temporale Quando assumere un passo temporale periodico? quando il passo D che si vorrebbe adottare non è un sottomultiplo del periodo T del sistema. Esempio: T = anno D = giorno: è un sottomultiplo, il passo può essere costante D = settimana: non è un sottomultiplo, passo non costante Porre Dt uguale a 7 giorni per le prime 52 settimane e a 1 o 2 giorni alla fine dell’anno

Il passo temporale D = decade: non è un sottomultiplo, passo non costante Definire Dt uguale a 10 giorni, in corrispondenza del primo e dell’undicesimo giorno del mese, e di durata pari alla restante parte del mese in corrispondenza del ventunesimo. D = mese: il passo è naturalmente periodico

Il passo temporale: due difficoltà L’anno non è periodico per la presenza degli anni bisestili. Spesso periodicità diverse agiscono sullo stesso sistema. Esempio 1 In un distretto irriguo l’eliofania ha periodicità annuale, mentre le attività agricole settimanale. Esempio 2 In un impianto idroelettrico la domanda ha una componente periodica annuale, a causa della temperatura, e una settimanale, a causa della distribuzione delle attività antropiche.

Soluzione: tempo naturale e antropico Si definisce un ANNO STANDARD  anno non-bisestile che inizia di lunedì Al giorno corrente si associano due indici: Tempo naturale: il numero ordinale che lo contraddistingue a partire dal primo giorno dell’anno corrente (giorno 0) Tempo antropico: il tempo naturale del giorno più vicino nell’anno standard che ha lo stesso nome (Lunedì, Martedì, ...) del giorno corrente.

Un esempio 1gen04 4gen04 3gen04 2gen04 0 1 2 3 3 4 5 6 3 6 5 4 3 2 1 domenica sabato venerdì giovedì 1gen04 4gen04 3gen04 2gen04 0 1 2 3 tempo naturale 3 4 5 6 tempo antropico 3 ANNO STANDARD lunedì domenica sabato venerdì giovedì mercoledì martedì 6 5 4 3 2 1

Leggere MODSS Par. 4.8 e pag. 241

Laghi in regime naturale s hmin afflusso netto o efficace scala di deflusso r s N(s(t)) smin a(s - smin)b 0 se ssmin N(s) =

Linearizzazione e costante di tempo smin Sistema lineare a tempo continuo Formula di Lagrange a(s - smin) t t+1 D Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se D<< T = a-1. T è detta costante di tempo del serbatoio.

Linearizzazione e costante di tempo smin a(s - smin) Significato di T t t+1 D Ponendo D=T=1/a si ottiene Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se D<< T = a-1. T è detta costante di tempo del serbatoio. T è il tempo impiegato dall’invaso per portarsi a circa 1/3 del suo valore iniziale.

Linearizzazione e costante di tempo smin a(s - smin) t t+1 D Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se D<< T = a-1. T è detta costante di tempo del serbatoio. Una buona modellizzazione richiede D<<T . Teorema di Shannon o del campionamento

Costanti di tempo dei laghi lombardi LAGO S T= a-1 [km2] [giorni] Maggiore 212.0 7.4 Lugano 48.9 8.7 Varese 15.0 34.7 Alserio 1.5 8.0 Pusiano 5.2 15.0 Como 146.0 7.7 Iseo 61.0 7.8 Garda 370.0 86.6 Per la maggior parte dei laghi T è di circa 8 giorni. Sono tutti laghi con bacini imbriferi piccoli rispetto alla superficie del lago. La loro bocca non ha ancora raggiunto la condizione di equilibrio. Il passo temporale di modellizzazione dei laghi con T = 78 è di circa 1 giorno.

Laminazione ossia smorzamento w dB 1/T Diagramma di Bode Le ampiezze di onde entranti con frequenza minore di 1/T non vengono attenuate. Es.: onde di piena da scioglimento nivale. Onde con frequenza maggiore di 1/T vengono attenuate. Es.: onde di piena prodotte da temporali.

Il passo temporale dipende dallo stato Per la rappresentabilità del sistema fisico: D  0,1* T a Il modello non è lineare: T non definita. a Linearizzare il sistema T varia con il punto s in cui si linearizza D varia con s Sarebbe quindi opportuno avere modelli con passo D variante con s, ma gli algoritmi oggi disponibili non lo permettono Unica possibilità: utilizzare modelli con D diversi in momenti diversi

Confronto tra due laghi livello medio a2 >a1 hmax h t

Confronto tra i due laghi soggetti a una piena impulsiva livello medio risposta a una piena impulsiva Comunità rivierasca Utenti di valle h t r t CONFLITTO più soddisfatta dal lago 2 ( T piccolo ) più soddisfatti dal lago 1 ( T grande )

Scale di deflusso diverse in tempi diversi Regolazione del lago Comunita’ rivierasche a grande Utenze di valle a piccolo Quale compromesso? Lago naturale Lago regolato r h Scala in regime libero Scale di deflusso diverse in tempi diversi Scale per diverse posizioni delle paratoie Scala naturale

Regolazione del lago at h(t) r Mesi Utenti di valle at bt Rivieraschi