DIDATTICA A DISTANZA “CARRELLATA” SULLE CONICHE CON ESERCITAZIONI

Mappa della presentazione LE CONICHE BREVE STORIA DELLE CONICHE PROPRIETA’: Circonferenza Ellisse Parabola Iperbole LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE Circonferenza ellisse Parabola iperbole Come risolvere i problemi ESERCIZI RISOLTI E NON Mappa della presentazione

Quadro riassuntivo delle formule Percorso logico Quadro riassuntivo delle formule Coniche Classificazione

La STORIA delle CONICHE Classificazione

I MATEMATICI GRECI Le curve non venivano definite come luoghi del piano che soddisfano una certa condizione, ma con il seguente ordine: Coniche Classificazione

APOLLONIO la biografia Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti. Coniche Classificazione

APOLLONIO il pensiero Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, semplicemente variando l’inclinazione del piano d’intersezione. Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti. Coniche Classificazione

I trattati di Apollonio “Le coniche” (1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse stato fatto negli scritti degli altri autori. (2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e delle tangenti. (3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti. (4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra. Coniche Classificazione

I trattati di Apollonio “Le coniche” (5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica. (6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni trascurate da altri autori. (7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri coniugati e contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse. (8°libro)Tratta problemi simili. Coniche Classificazione

CLASSIFICAZIONE Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso. Indichiamo con  l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con  l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono. Se:  >   = 90°  =   <  L’equazione generale di una conica è: ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f  R Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole Coniche Classificazione

inclinazione del piano Circonferenza b = 90° Ellisse b > a Parabola b = a Iperbole b < a ellisse circonferenza inclinazione del piano iperbole parabola Coniche Classificazione

LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare all’asse di rotazione del cono . Coniche Classificazione

CIRCONFERENZA Definizione Equazione Casi particolari Formule Coniche Classificazione

CIRCONFERENZA definizione: Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r. Coniche Classificazione

CIRCONFERENZA equazione: x2 + y2 + ax + by + c = 0 a , b , c  R Coniche Classificazione

CIRCONFERENZA formule: x2 + y2 + ax + by + c = 0 a, b, c  R centro: C (a/2  b/2) raggio: r = Coniche Classificazione

CIRCONFERENZA casi particolari: . C( x2 + y2 = r2 x2 + y2 + ax + ay+c = 0 x2 + y2 + ax + by = 0 Coniche Classificazione

L’ ELLISSE DA UNA SEZIONE CONICA L’ellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo maggiore di quello della retta generatrice del cono. Coniche Classificazione

ELLISSE Definizione Equazione Grafici Formule Ellisse traslata Coniche Classificazione

ELLISSE definizione: Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi. PF1+ PF2= k k  R+ y x Coniche Classificazione

ELLISSE equazione canonica: x2 y2 + = 1 a2 b2 Caso in cui l’asse focale è l’asse x: y a: semiasse maggiore b: semiasse minore c: F1F2 / 2 x Coniche Classificazione

ELLISSE TRASLATA Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ). (x - )2 (y - )2 a2 b2 vettore V (; )  centro C (; ) vertici: A’(a ; ) B’( ; b) fuochi: a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2 a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2 y + =1 x Coniche Classificazione

ELLISSE grafici: y y x x C(0;0) a>b C(0;0) b>a Coniche Classificazione

ELLISSE formule: a2 = b2 + c2 Fuochi:a>b  F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/a a<b  F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b Intersezioni:  asse x  A (±a;0)  asse y  B(0;±b) L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore. 0<e<1  ellisse Coniche Classificazione

LA PARABOLA DA UNA SEZIONE CONICA La parabola si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo uguale a quello della retta generatrice del cono. Coniche Classificazione

PARABOLA Definizione Equazione Formule Casi particolari concavità Coniche Classificazione

PARABOLA definizione: Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.  y F  x d Coniche Classificazione

PARABOLA equazione: y=ax2+bx+c x=ay2+by+c  y   y x  x Coniche Classificazione

PARABOLA formule: vertice V fuoco F direttrice d equazione asse . Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura. PARABOLA formule: Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura y=ax2+bx+c x=ay2+by+c vertice V (-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a) fuoco F (-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a) direttrice d y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a) equazione asse x=-b/(2a) y=-b/(2a) Coniche Classificazione

PARABOLA y= ax2+bx+c casi particolari: b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx c=0 e b=0 y=ax2  x y    y x   x y Coniche Classificazione

PARABOLA concavità: a>0 a<0 y y x x y y x x Coniche Classificazione

Sezione iperbole L’ IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA L’iperbole si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo minore di quello della retta generatrice del cono. Coniche Classificazione

IPERBOLE Definizione Equazione Formule I. Equilatera I. Traslata Coniche Classificazione

IPERBOLE definizione: Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi. PF1- PF2 = k k  R+ Coniche Classificazione

IPERBOLE equazione: x2 y2 - = +1 a2 b2 x2 y2 - = -1 a2 b2 I caso c = semidistanza F1 -F2 asse focale: 2c x2 y2 - = +1 a2 b2 II caso x2 y2 - = -1 a2 b2 Coniche Classificazione

IPERBOLE formule: I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0) II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2) asintoti: y= (b/a) x eccentricità e = c/a e =0  circonferenza 0<e<1  ellisse e>1  iperbole Coniche Classificazione

Iperbole equilatera: a=b x2 - y2 = -a2 o x2 - y2 =a2   asintoti: y =  x c = a2 e = 2 Coniche Classificazione

Iperbole traslata Traslazione di vettore: v (  ; ) I caso: vertici: (  a ;  ) fuochi: (  c ; ) e = c/a II caso: vertici: ( ;   b ) fuochi: ( ;   c) e = c/b asintoti: y -  =  (b/a) (x- ) Coniche Classificazione

La COSTRUZIONE delle CONICHE Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket, una torcia e un piano bianco sul quale proiettare l’ombra del pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e osserviamo cosa succede... Coniche Classificazione

Torcia a livello della sommità della palla... Parabola Coniche Classificazione

Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla... … Circonferenza Coniche Classificazione

Spostando la torcia verso destra... … Ellisse Coniche Classificazione

Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla... … Iperbole Coniche Classificazione

Eccentricità 0<e<1 Quadro riassuntivo PARABOLA y=ax2+bx+c x=ay2+by+c vertice V (-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a) fuoco F (-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a) direttrice d y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a) equazione asse x=-b/(2a) y=-b/(2a) CIRCONFERENZA x2 + y2 + ax + by + c = 0 a, b, c  R Centro: C (a/2  b/2) raggio: r = ELLISSE a2 = b2 + c2; Intersezioni:  asse x A (±a;0)  asse y B(0;±b) vertici (-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b), fuochi F a>b a<b (- a2 - b2 ;0), (+ a2 - b2 ;0) (0;- b2 - a2 ), (0;+ a2 - b2 ) Eccentricità 0<e<1 e=c/a e= c/b IPERBOLE a2 +b2= c2; a>b a<b vertici (-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b), fuochi F (- a2 + b2 ;0), (+ a2 + b2 ;0) (0;- b2 + a2 ), (0;+ a2 + b2) Eccentricità e>1 e=c/a e= c/b asintoti: y= (b/a) x Coniche Classificazione

Coniche Classificazione C1)Come riconoscere se una equazione è quella di una circonferenza? a)I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere uguali; b)Non vi deve essere il termine misto in xy; c)Il calcolo del raggio deve risultare positivo. tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza. C2)Come verificare se un punto P(x, y),del quale sono note le coordinate, è esterno, interno o appartenente alla circonferenza? Se la somma dei quadrati delle coordinate di P(x,y) risulta minore del quadrato del raggio allora il punto è interno al cerchio; se la suddetta somma è maggiore del quadrato del raggio allora il punto è esterno al cerchio; se tale somma è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza. C3) Come si trovano i punti d’incontro (intersezione) tra una circonferenza e una retta? Come si determinano gli eventuali punti d’intersezione tra due circonferenze? E nel caso più generale? Basta risolvere (come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dalle equazioni della circonferenza e retta o delle 2 circonferenze. In generale, con il sistema, si trovano sempre le intersezioni. interno al cerchio; C4) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una circonferenza? I procedimenti possono essere due: Si cerca la distanza del (punto) centro C(α,β), della circonferenza alla retta: se tale distanza è maggiore del raggio allora la retta è esterna; se tale distanza è uguale al raggio allora la retta è tangente; infine se tale distanza è minore del raggio allora la retta è secante. Si risolve il sistema tra l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(Δ = b2 -4ac). Se Δ <0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione); Se Δ =0 allora la retta è tangente(due intersezioni coincidenti); Se Δ >0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte).è uguale al quadrato del raggio allora il punto appartiene alla circonferenza. C5)Come posso scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P(x0,y0), assegnato, e che sia tangente alla circonferenza? Si premette che se il punto è esterno ad una circonferenza allora le tangenti sono due; se il punto appartiene invece alla circonferenza allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla circonferenza allora non esistono le tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l'equazione della circonferenza e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y0= m(x- x0)]. Si troverà alla fine un'equazione parametrica di secondo grado (parametro m). Si impone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se il punto appartiene alla circonferenza. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla circonferenza. eC6) Come trovare l’equazione di una circonferenza di centro C(α,β), noto, e passante per un punto P(x,y) noto? Dopo aver trovato la distanza (raggio) si scrive l'equazione della circonferenza, in quanto sono noti centro e raggio C7) Come scrivere l’equazione di una circonferenza se conosco le coordinate di due punti, estremi del diametro? Si determinano le coordinate del punto medio che sarà il centro C(α,β). La distanza tra il centro e uno dei due punti dati sarà il raggio. Coniche Classificazione

Coniche Classificazione C8)Come scrivere l’equazione di una circonferenza sapendo che essa passa per tre punti A(xA, yA), B(xB, yB) C(xC,yC) di coordinate note? I procedimenti possibili sono due: si scrivono le equazioni degli assi di AB e di BC. Si svolge il sistema tra questi 2 assi e si trova il centro della circonferenza; Si cerca quindi la distanza tra centro e uno dei punti dati e si trova il raggio. Si scrive l'equazione canonica della circonferenza; si risolve il sistema nelle tre 3 incognite (a,b,c, da porre nell’equazione della circonferenza). Infatti si otterranno tre equazioni in queste incognite sostituendo nell’equazione canonica, per tre volte, le coordinate dei 3 punti A(xA, yA), B (xB, yB) C(xC,yC). Poi si scriverà l’equazione della circonferenza ponendo i tre valori di a, b, c trovati. P1)Come riconoscere se una equazione canonica è quella di una parabola? I gradi delle variabili x e y devono essere diversi (1, 2) P2) Come rappresentare graficamente una parabola? Necessita trovare almeno le coordinate del Vertice e le intersezioni con gli assi P3) Come posso scrivere l’equazione di una parabola sapendo che essa passa per tre punti A(xA, yA), B(xB, yB) C(xC,yC) di coordinate note? Si procede in modo simile a quanto detto per la circonferenza al punto C8. Si scrive l'equazione della parabola. Si sostituiscono in x e y le coordinate dei 3 punti e si ottiene un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Si trovano i valori e quindi si sostituiscono nell'equazione generica. P4) Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate del vertice e quelle di un punto che le appartiene? Si scrive l'equazione generica della parabola; creando un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c). Nella prima si sostituiscono in x e y le coordinate del Vertice; nella seconda equazione le coordinate del punto e nella terza equazione si uguaglia l'ascissa(ordinata) del vertice alla relativa formula. Si ricorda che se l’equazione della parabola è y=ax2+bx+c allora l'asse della parabola sarà verticale e il vertice avrà ascissa come da formula. Se invece l’equazione della parabola è x=ay2+by+c allora l'asse sarà orizzontale e il vertice avrà ordinata come da formula. P5) Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e l’equazione dell’asse ? Si procede in modo simile al precedente punto: si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone . Trovati a,b,c si sostituiscono nell'equazione generica. P6)Come posso scrivere l’equazione della parabola se sono note le coordinate di due punti e l’equazione della direttrice? Si procede in modo simile al precedente problema:Si scrive l'equazione generica della parabola; si crea un sistema di 3 equazioni a 3 incognite (a,b,c) nelle quali si sostituiscono in x e y le coordinate dei 2 punti e nella terza si impone . P7) Come posso trovare l’intersezione i punti d’incontro (intersezione) tra una retta e una parabola o tra la parabola e una qualunque altra curva? Problema simile a quanto detto per la circonferenza al punto C3. Basta risolvere il sistema composto dalle equazioni della parabola e retta o delle 2 parabole, o della parabola con la circonferenza, o della parabola con l’ellisse, ecc. .. P8) Come posso stabilire se una retta è esterna, tangente o secante ad una parabola?: Problema ' simile al punto C4 ) della circonferenza. Si risolve il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione della retta e si trova una equazione di secondo grado della quale si trova il discriminante(Δ = b2 -4ac). Se Δ <0 allora la retta è esterna(nessuna intersezione); Se Δ =0 allora la retta è tangente (due intersezioni coincidenti); Se Δ >0 allora la retta è secante(due intersezioni distinte). Coniche Classificazione

Coniche Classificazione P9) Come posso scrivere l’equazione di una retta passante per un punto P(x0,y0), assegnato, e che sia tangente alla parabola? Si premette che se il punto è esterno alla parabola allora le tangenti sono due; se il punto appartiene invece alla parabola allora vi è una sola tangente; se infine il punto è interno alla parabola allora non esistono le tangenti. Si procede risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e il fascio proprio di rette uscenti dal punto[y- y0= m(x- x0)]. Si troverà alla fine un’equazione parametrica di secondo grado (parametro m). S’impone Δ =0. Se il punto è esterno si trovano 2 valori distinti di m. Un solo valore di m se il punto appartiene alla parabola. Si sostituiscono questi valori di m nel fascio e si trovano le tangenti alla parabola. E1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di un’ellisse? I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere concordi nel segno ma diversi tra loro; x e y devono avere lo stesso grado 2. Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado; E2) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco la misura di un asse e le coordinate di un punto che le appartiene? Sapendo che l'ellisse ha equazione canonica e che 2a e 2b sono le misure dei 2 assi (il primo sull'asse x e il secondo sull'asse y), si calcola a oppure b dimezzando il valore dato; Si sostituiscono ad x e y le coordinate del punto P e quindi si trova il valore incognito b oppure a.   E3) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Se il vertice e il fuoco stanno sullo stesso asse, per esempio sull'asse x, allora si conosce il valore del semiasse a e di c (op.di -c). Si calcola b con la formula relativa . E4) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco la misura dell’eccentricità e le coordinate di un fuoco? Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b. E5) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?: Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del  punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c (che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a2-b2 (oppure b2- a2) e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b. E6) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di due suoi punti? Nell'equazione dell'ellisse si pone e . Si scrive un sistema sostituendo ad x e y di ogni equazione le coordinate di ogni punto. Ottenuto il sistema lineare di 2 equazioni nelle incognite u e v. Trovati i valori, si pone a=1/u e b=1/v e si può scrivere l'equazione dell'ellisse. Questo problema si può ripetere identicamente per l'iperbole. E7) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse in forma canonica se m’imbatto nella forma implicita mx2+py2=q ? Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a2 e q/p=b2 . In questo modo si trova l'equazione. E8) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad un’ellisse? Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto C5 della circonferenza o P9 della parabola. Coniche Classificazione

Equilatera rif. agli assi Equilatera rif. ai propri asintoti xy=k I1) Come riconoscere se una equazione canonica è quella di un’iperbole? I coefficienti dei termini di secondo grado della x e della y devono essere discordi nel segno. Se l’iperbole non è equilatera riferita ai propri asintoti allora x e y devono avere lo stesso grado 2. Non vi devono essere termini misti in xy o di primo grado; I2)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate dei fuochi? Sapendo che gli asintoti hanno equazione x e che dato un fuoco viene conosciuto il valore di c il cui quadrato è uguale ad tale che c2 = a2+b2, si risolve un sistema ponendo in una equazione b/a= valore ottenuto dall’asintoto e nell'altra equazione a2+b2= c2. I3) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le equazioni dei suoi asintoti e le coordinate di un suo punto? Si procede come nel caso precedente impostando un sistema di 2 equazioni ponendo nella prima b/a= valore ottenuto dall’asintoto e nella seconda sostituendo nell'equazione,al posto di x e y, le coordinate del punto. I4) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole equilatera (riferita agli assi) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli assi) è , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trovano i valori di a. I5)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole equilatera(riferita agli asintoti) se conosco coordinate di un suo punto? Sapendo che l'equazione dell'iperbole equilatera (con equazione riferita agli asintoti) è xy=k , si sostituiscono le coordinate del punto in x e y e si trova il valore di k. I6) Come posso scrivere le equazioni delle rette passanti per un punto e tangenti ad un’iperbole? Il procedimento è identico a quello illustrato nel punto 5 della circonferenza o 9 della parabola. I7)Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco le coordinate di un vertice e di un fuoco? Si calcolano a o b con la formula relativa .  I8) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole se conosco la misura dell’eccentricità e le coordinate di un fuoco? Sapendo come eccentricità e fuoco siano in relazione è possibile determinare il coefficiente incognito, cioè a o b.   I9) Come posso scrivere l’equazione di un’ellisse se conosco le coordinate di un suo punto e le coordinate di un fuoco?: Si sostituiscono nell'equazione a posto di x e y le coordinate del  punto. Si trova così una equazione nelle incognite a e b. Si eleva al quadrato il valore di c (che è la coordinata del fuoco diversa da zero) e si uguaglia ad a2+b2 e si crea un sistema dal quale si ricavano a e b. I10) Come posso scrivere l’equazione di un’iperbole in forma canonica se m’imbatto nella forma implicita mx2-py2=q ? Si divide ogni termine per q e si porrà q/m=a2 e q/p=b2 . In questo modo si trova l'equazione. I11) Come si trovano i punti d’incontro (intersezione) tra una iperbole e una retta? Come si determinano gli eventuali punti d’intersezione tra due iperbole? E nel caso più generale? Basta risolvere(come per ogni altra coppia di curve) il sistema composto dall’ equazione dell’iperbole con le equazioni delle altre curve. Coniche Classificazione

Coniche Classificazione Problema 1 Determinare l'equazione della circonferenza passante per P(–1;0) e Q(0; –1). Osservando la figura, si nota che la circonferenza è tangente agli assi cartesiani in A e in B. Dunque il centro della circonferenza si ottiene dalla intersezione delle rette perpendicolari agli assi passanti per A e per B e quindi il centro risulta C (–1 ; –1). Il raggio della circonferenza è r = 1. Dunque l'equazione della circonferenza è x2 + y2+2x +2y +1= 0 . Problema 2 Determinare l'equazione della circonferenza avente centro nel punto di intersezione delle rette y = x e x + y + 2 = 0 e passante per l'origine degli assi . Risolvendo il sistema formato dalle due rette date, si trova il centro C(–1;–1). Il raggio della circonferenza è dato dal segmento CO . Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene Dunque l'equazione della circonferenza è x2 + y2+2x +2y =0 Problema 3 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 – 4x – 6y = 0 determinare l'equazione della retta t tangente alla curva nel punto O ( 0 ; 0 ) Si scrive l'equazione y = mx del fascio proprio di rette di centro O. Si ricava il centro C della circonferenza ; si ha C (2 ;3). Si trova il coefficiente angolare della retta CO; si ottiene m = 3/2.. Poiché la retta CO è perpendicolare alla tangente, in quanto il raggio della circonferenza appartiene alla retta CO, imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette, si ha m = –2/3. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y = (–2/3)x. Dunque l'equazione della retta è 2x + 3y = 0. Problema 4 Determinare l'equazione della parabola di vertice V(–2;0) e passante per P(0;4). Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c; basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del vertice V alla parabola e 3)la coincidenza dell'ascissa del vertice della parabola con l'ascissa di V. Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 4, c = 4. Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 + 4x + 4 Problema 5 Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, passante per P(0; 1), per B (–1 ; –1 ) e ivi tangente alla retta y – x = 0 . Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c, basta imporre: 1)l'appartenenza del punto P alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B alla parabola e 3)la condizione di tangenza tra la parabola e la retta y = x. Si ottengono le tre equazioni c = 1, , a – b + c = –1, (b–1)2– 4a c = 0 Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 3, c = 1. Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 +3x + 1. . Coniche Classificazione

Coniche Classificazione Problema 6 Determinare l'equazione della parabola passante per A (–4 ; 1 ), per B (–1 ; 4 ) e avente vertice V (–3 ; 0 ) . Considerata l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c basta imporre: 1)l'appartenenza del punto A alla parabola, 2)l'appartenenza del punto B e 3)l'appartenenza del vertice V. Si ottengono le tre equazioni : 16a–4b+c = 1, a–b+c = 4, 9a–3b+c = 0. Risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni si ottengono i valori a = 1, b = 6, c = 9. Dunque l'equazione della parabola è : y = x2 + 6x + 9 Problema 7 Determinare l'equazione della parabola con asse coincidente con l'asse x, avente il vertice nel centro della circonferenza di equazione x2+y2–4x=0 e passante per A(–2;1). Essendo il vertice sull'asse x, si ha –b/2a = 0 da cui b = 0. Considerata l'equazione della parabola x = ay2+c basta imporre: 1) l'appartenenza del centro della circonferenza C ( 2 ; 0 ) alla parabola e 2) il passaggio per il punto A . Si ottengono le due equazioni: c = 2, –2 = a + c, Risolvendo il sistema formato da queste equazioni si ottengono i valori a = – 4 , c = 2. Dunque l'equazione della parabola è : x = – 4y2 +2 Problema 8 Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola di equazione y = x2 – 4x nel punto A(1; –3) Si scrive l'equazione y +3 = m(x – 1) del fascio proprio di rette di centro A. Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio e si impone la condizione di tangenza Δ = 0. Si ottiene (4+m) 2 – 4(m+3) = 0 , cioè m2 + 4m + 4 = 0 da cui m = –2. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene y + 3 = – 2(x – 1). Dunque l'equazione della retta è 2x + y +1= 0. Problema 9 Determinare l'equazione della retta t tangente alla parabola y = x2+ 2x + 1 e parallela alla retta 4x + y + 4 = 0. Si scrive l'equazione 4x + y + k = 0 del fascio improprio di rette parallele a 4x + y + 4 = 0. Si mettono a sistema l'equazione della parabola e l'equazione del fascio e si impone la condizione di tangenza Δ= 0. Si ottiene 8 – k = 0 da cu i k = 8. Sostituendo tale valore al posto di k nell'equazione del fascio si ottiene l'equazione della retta cercata: 4x + y + 8 = 0. y = x2 + 4x + 4 Problema 10 Trovare le intersezioni della retta y = x + 4 con la parabola y = – x2 + 6x. Si pongono a sistema le due equazioni y = x + 4 e y = -x2 + 6x . Coniche Classificazione

Coniche Classificazione Problema 11 Una parabola con l’asse parallelo all’asse delle y, passa per il punto G(1,0) ed ha il vertice V(4,9). Scriverne l’equazione e rappresentarla. La retta passante per (0,3), e di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in A e B. Da A e B si conducono le perpendicolari all’asse delle x che intersecano l’asse stesso in D e C. Calcolare la misura del perimetro e l’area del quadrilatero ABCD. Problema 12 Scrivere l’equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta x = 2 e tangente nel punto A (4,0) ad una retta r parallela ad r1 di equazione 4x + y – 10 = 0. Inscrivere un rettangolo nella parte di piano limitata dell’arco di parabola giacente nel I° quadrante e calcolare le coordinate dei vertici B e C del rettangolo che stanno sulla parabola, conoscendo la lunghezza 2p = 10 del perimetro del rettangolo. Scrivere le equazioni delle rette tangenti in B e C alla parabola e calcolare l’area del triangolo da essa formato con la retta r1. Problema 13 Nel piano cartesiano Oxy sono date le rette r) x + 2y – 4 = 0 ed s) x(√5 – 1) + 2y – 4√5 = 0. Detti A e B i punti in cui la retta r incontra gli assi, si determinino le coordinate dei punti C e D che appartengono alla retta s e che con A e B formano triangoli rettangoli di cui AB è l’ipotenusa. Determinare infine l’equazione di una parabola, con asse parallelo all’asse y, tale da avere il vertice in uno dei punti A,B,C,D, opportunamente scelto e che passi per due degli altri punti. Problema 14 Si consideri la parabola con asse parallelo all’asse y, passante per i punti A(2, – 1) ; B(8,2) e C(10,7). Determinare : 1) l’equazione della parabola ; 2) le coordinate del vertice 3) il grafico della parabola dopo averne determinato alcuni punti 4) le equazioni delle tangenti alla parabola, passanti per il punto D(6, – 2) 5) le coordinate dei punti di tangenza 6) l’area del triangolo che ha per vertici il punto D e i punti di tangenza. . Coniche Classificazione

Coniche Classificazione L’ELLISSE E LE SUE APPLICAZIONI Problema 15 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse maggiore di lunghezza 2a = 10 e fuochi nei punti F’(– 4 ; 0) ed F(4 ; 0). Essendo 2a = 10 si ottiene a = 5 e quindi a2 = 25. Dalla relazione c2 = a2 – b2, poichè c2 = 16 , si ottiene b2 = 25 – 16 = 9. Dunque l'equazione dell'ellisse è :9x2+25y2=225 Problema 16 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente vertici nei punti A(4 ; 0) e B(0 ; – 2). Essendo a = 4 e b = -2 si ottiene 4x2+16y2=64 Problema 17 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente un fuoco nel punto F(– 3 ; 0) ed avente un vertice in V(0 ; 4). Problema 18 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, avente asse minore di lunghezza 2b = 8 e un fuoco nel punto F (– 4 ; 0) Problema 19 Determinare l'equazione dell'ellisse con asse maggiore sull'asse x, passante per A (0;2) e B(3;1). Problema 20 Determinare l'equazione dell'ellisse avente l'asse maggiore sull'asse x, l'asse minore di lunghezza 2b = 8 e tangente alla circonferenza di equazione x2 + y2 = 25. Problema 21 Determinare l'equazione dell'ellisse avente asse maggiore sull'asse y, eccentricità e = 4/5 e un fuoco nel punto F(0 ;– 4). Problema 22 Scrivere l’equazione dell’ellisse di fuochi F(0, ± 3) e di semiasse maggiore lungo 4. Trovare le intersezioni di essa con la curva x2 + y2 = 16. Problema 23 Trovare le equazioni delle tangenti all’ellisse 4x2 + y2 = 4 uscenti dal punto P(2,2). Problema 24 Determinare i punti comuni all’ellisse, di semiassi lunghi 5 e 2, con la circonferenza di centro O(0,0) e raggio lungo 3. Problema 24 Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi e l’eccentricità delle seguenti ellissi che soddisfano le seguenti condizioni : a) Il semiasse maggiore è uguale a 5 e l’ellisse passa per il punto A( 0,-5 /4 ) b) Il semiasse minore è uguale a √2 e l’ellisse passa per il punto B(– 1,2) c) Il semiasse minore è uguale a 5 e uno dei fuochi è il punto F(3,0) . Coniche Classificazione

Coniche Classificazione L’IPERBOLE E LE SUE APPLICAZIONI Problema 25 Stabilire per quali valori del parametro k l’equazione rappresenta un ellisse ed in particolare una circonferenza e per quale valori rappresenta una iperbole ed in particolare una iperbole equilatera. Per stabilire quanto richiesto ci avvaliamo della definizione di eccentricità, cioè e=c/a. Studiamone il segno avremo : e=c/a >1 iperbole . e=c/a=1 circonferenza . e=c/a<1. ellisse Basterà studiare il primo caso con c2 = a2 + b2 e discutere il grafico, quindi in generale avremo: nel nostro caso il segno del numeratore e del denominatore sono discordi con – 1 < k < 0 questo comporta che nell’espressione dell’equazione uno dei denominatori è negativo e saremo in presenza di una iperbole. Inoltre saremo in presenza di una iperbole equilatera quando a = – b cioè :k = 1 il segno del numeratore e del denominatore sono concordi con: k > 2 questo comporta che nell’espressione dell’equazione saremo in presenza di coefficienti entrambi positivi, cioè una ellisse Inoltre saremo in presenza di una circonferenza quando a = b cioè : 2k – 4 = k + 1 2k – k = 4 + 1 k = 5 k < – 1 non accettabile Problema 26 Determinare l’equazione dell’iperbole avente come asse focale l’asse x, come asintoti le rette y =±3/4x e passante per il punto A(2;1). ESERCIZI IN CUI SONO PRESENTI PIU’ CURVE E LORO RELAZIONI Problema 27 Scrivere l’equazione della parabola l con asse di simmetria parallelo all’asse delle y sapendo che ha vertice V(2;– 1), e passa per il punto A(1,0). Indicare con B l’ulteriore punto di intersezione della parabola con l’asse delle x. Condurre la normale n (cioè la perpendicolare alla tangente) in B alla curva, indicando con D l’ulteriore intersezione di n con la parabola. Determinare sull’arco BD un punto R in modo che l’area del triangolo RBDsia 15/8 Scrivere l’equazione della circonferenza g sapendo che è tangente all’asse delle x, passa per E(– 1;2) e il suo centro appartiene alla retta di equazione x + y – 3 = 0. Esistono due circonferenze che soddisfano queste condizioni: scegliere quella che giace nel semipiano positivo delle ordinate. Una retta del tipo y = k interseca l in P e Q e g in M ed N. Determinare k in modo che sia MN = PQ. Coniche Classificazione