6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA (ultima modifica 19/11/2012) Equazioni d’onda e loro soluzioni Le equazioni di Maxwell danno una descrizione completa delle relazioni tra i campi elettromagnetici, le cariche e le distribuzioni di correnti e costituiscono il modello matematico della teoria elettromagnetica. Speciali tecniche analitiche e numeriche forniscono procedimenti risolutivi, senza incrementare o modificare la struttura fondamentale delle equazioni di Maxwell sulle quali sono basate, ciò fa comprendere la loro importanza e potenzialità. M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti  Equazioni di Maxwell in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale  Legge di Faraday    Legge di Ampere   Legge di Gauss M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

Equazioni d’onda e loro soluzioni Attraverso le equazioni di Maxwell si definiscono: V potenziale elettrico scalare e potenziale magnetico vettoriale. La conoscenza dei due potenziali V e in funzioni delle sorgenti (cause) di campo  e , ↓ consente di definire in qualunque punto tutte le altre grandezze elettromagnetiche (effetti) a queste legate. c c M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA In generale risultano applicabili le equazioni d’onda non omogenee. Esse si riducono alle equazioni di Poisson nel caso di campi statici : Equazioni d’onda non omogenee  Equazioni di Poisson e soluzioni soluzioni di equazioni d’onda omogenee V potenziale elettrico scalare e potenziale magnetico vettoriale. M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

Equazioni d’onda non omogenee e loro soluzioni Ci si propone ora di studiare: le soluzioni delle equazioni d’onda non omogenee considerando a) prima il caso più semplice di un campo elettromagnetico generato da una carica elementare puntiforme al tempo t, b) estendendo poi il procedimento al caso più generale di una distribuzione di cariche qualsiasi, sommando gli effetti di tutte le cariche elementari in una regione data. Per una distribuzione continua di cariche si sostituisce all’operatore sommatoria l’operatore integrale. M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

Soluzione delle equazioni d’onda per potenziali Per determinare la soluzione della equazione non omogenea per il potenziale scalare: a) si consideri da prima la soluzione per il caso di una carica elementare puntiforme al tempo t, localizzata nell’origine degli assi. Si può ottenere una funzione omogenea unidimensionale. Infatti per la simmetria sferica della carica puntiforme é conveniente considerare le coordinate sferiche, così che, scegliendo un sistema di coordinate cilindriche, il potenziale V(R,t) dipende solo dalla coordinata della distanza R e dal tempo t. dv’ ρ(t) y x z P(x,y,z) R M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA La funzione potenziale V(R,t) soddisfa la seguente equazione omogenea per tutti i punti, fatta eccezione per l’origine dove è localizzata la carica elementare (per R=0 l’equazione non è valida) : Se si introduce una nuova variabile U(R,t) legata a V dalla relazione: si ottiene l’equazione d’onda omogenea unidimensionale in una forma più semplice. dv’ ρ(t) y x z P(x,y,z,t) R M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA Si può dimostrare per sostituzione diretta che ogni funzione f: due volte differenziabile, é una soluzione della equazione d’onda omogenea unidimensionale, quindi U si può esprimere come : Questa equazione rappresenta un’onda che viaggia in direzione radiale R con velocità . M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA Poiché se u è la velocità di propagazione : il tempo di trasmissione dell’onda dalla posizione della sorgente nell’origine degli assi al punto P distante R è: La funzione nel punto P’ distante R+R e nel tempo t+ t é : dv’ ρ(t) y x z P R P’ ΔR Quindi la funzione traslando nello spazio e variando nel tempo, conserva comunque la sua forma e si può quindi scrivere: M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

a) Potenziale scalare V per una carica elementare puntiforme Il potenziale V dovuto a una carica statica puntiforme disposta nell’origine, , con Δv’ volumetto elementare intorno all’origine occupato dalla carica, è pari a: Per i campi variabili nel tempo si adatta questo modello matematico tenendo conto del ritardo R/u con cui si sente l’effetto della densità di carica alla distanza R, in modo che sia soddisfatta anche l’espressione: ottenendo che: dv’ ρ(t) y x z P(R,t) R M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA Quindi la soluzione della distribuzione di potenziale V per una carica puntiforme ρ(t) Δv’, che tenga conto del ritardo di trasmissione è: b) In base a tale relazione si ottiene che il potenziale V dovuto a una distribuzione di carica in un volume V’, che tenga conto del tempo di propagazione dell’effetto sarà: M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA Questa equazione é chiamata equazione del potenziale scalare ritardato: essa infatti denota che il potenziale scalare V( R,t) in un punto P alla distanza R dalla sorgente e al tempo t, dipende dal valore che la densità di carica ha assunto all’istante precedente (t-R/u), ossia é richiesto un tempo R/u perché l’effetto della densità di carica sia sentito alla distanza R. M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

la funzione di (t+R/u) non può essere una soluzione fisica, Mentre la funzione di (t+R/u) non può essere una soluzione fisica, ma solo una soluzione matematica perché é impossibile che l’effetto della densità di carica sia sentito in un punto distante dalla sorgente prima che la sorgente abbia iniziato a trasmettere o abbia iniziato a variare nel tempo (non causalità). M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA Analogamente si deduce la soluzione della equazione dell’onda non omogenea per il potenziale magnetico vettoriale detta equazione del potenziale vettore ritardato: Per i campi statici o quasi statici velocità di trasmissione è infinita u=∞ Per i campi dinamici la velocità di trasmissione è finita M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA Riassumendo le equazioni del potenziale scalare V ritardato e del potenziale vettore ritardato sono rispettivamente uguali a : Le grandezze del campo elettromagnetico si ottengono differenziando le espressioni di e di V e risultano anch’esse funzione di (t-R/u), e quindi ritardate nel tempo. M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA

Nel modello approssimato quasi statico: In base alle considerazioni fatte si deduce che é richiesto un certo tempo per la trasmissione delle onde elettromagnetiche, perché si sentano gli effetti delle cariche e delle correnti variabili nel tempo in punti distanti da queste. Nel modello approssimato quasi statico: si trascura l’effetto del ritardo temporale (velocità di trasmissione u = ∞) e si assume una risposta istantanea (tempo di trasmissione Δt=0). Tale modello è assunto implicitamente nella trattazione dei problemi circuitali. M. Usai 6a_EAIEE EQUAZIONI D’ONDA