A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Fenomeni Ondulatori una perturbazione e’ la variazione rispetto alla configurazione di equilibrio di una o piu’ grandezze caratteristiche di un sistema fisico un onda e’ una perturbazione che si propaga nel tempo e nello spazio attenzione : i fenomeni ondulatori non comportano il trasporto di materia : i costituenti del mezzo in cui si propaga l’onda oscillano intorno alla loro posizione di equilibrio cio’ che si propaga sono l’energia, la quantita’ di moto e il momento della quantita’ di moto trasportati dall’onda ma non viaggiano da un punto all’altro dello spazio Suono, luce, onde radio ... sono tutte: perturbazioni di una proprietà fisica, con origine in una sorgente mentre la velocità di propagazione dipende dalle caratteristiche del mezzo quali la sua elasticità, densità etc. la frequenza delle onde dipende dalla sorgente ma attenzione: l’affermazione che la velocità di propagazione dipende soltanto dalle caratteristiche del mezzo e’ vero, a rigore, solo nei mezzi non dispersivi Onde meccaniche: oscillazioni del mezzo in cui si propagano Onde elettromagnetiche: oscillazioni del campo e.m.

nel caso unidimensionale, di propagazione lungo l’asse delle ascisse A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli una perturbazione scalare viene rappresentata matematicamente dalla “funzione d’onda” nel caso unidimensionale, di propagazione lungo l’asse delle ascisse la traslazione di un onda che si propaghi senza distorsione ne’ attenuazione lungo l’asse delle x infatti se il profilo della perturbazione fa una pura traslazione si dovra’ avere: e’ descrivibile come con e affinche’ cio’ sia vero deve essere in tale caso infatti dato che se l’onda si sposta verso destra, onda progressiva, dovra’ essere descritta da una funzione del tipo f(x-vt) se si sposta verso sinistra, onda regressiva, da una f(x+vt)

equazione delle onde o di “D’Alambert” caso unidimensionale A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli equazione delle onde o di “D’Alambert” caso unidimensionale ovvero le soluzioni con opportune condizioni iniziali sono del tipo: f puo’ essere una funzione qualsiasi, purche’ abbia come argomento una combinazione lineare di spazio e tempo e cio’ significa che se f ha come argomento una dunque si avra’ combinazione lineare di spazio e tempo soddisfera’ sempre all’equazione di D’Alambert

w = kV = pulsazione dell’onda A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli nomenclatura: = funzione d’onda = fase dell’onda V = velocita’ di fase k = numero d’onda w = kV = pulsazione dell’onda j0 = fase iniziale segno negativo  onda progressiva segno positivo  onda regressiva fronte d’onda = luogo dei punti che hanno tutti la stessa fase

Perturbazioni scalari A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli la linearita’ dell’equazione di D’Alalmbert garantisce che valga il principio di sovrapposizione se e’ una soluzione e se e’ un’altra possibile soluzione per il principio di sovrapposizione anche e’ una possibile soluzione Perturbazioni scalari la perturbazione e’ una funzione scalare ossia una possibile soluzione all’equazione di D’Alambert unidimensionale e’ (solo parte progressiva): onda piana se in più si ha onda piana uniforme

Onde longitudinali e trasversali A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Perturbazioni vettoriali se la perturbazione ha carattere vettoriale la avra’ , in coordinate cartesiane, tre componenti e con ciascuna componente a sua volta funzione di x,y,z,t se la equivale alle tre equazioni scalari e Onde longitudinali e trasversali supponiamo che la perturbazione vettoriale si stia propagando lungo l’asse delle ascisse e si ha un onda longitudinale ( onda sonora in aria) se se e e/o si ha un onda trasversale ( onda e.m. nel vuoto)

^ Polarizzazione delle onde trasversali A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Polarizzazione delle onde trasversali ^ ^ è su un piano perpendicolare a i se in più l’ onda e’ polarizzata linearmente (può cambiare solo il modulo) Se l’estremo del vettore d’onda disegna un cerchio o un’ellisse nel piano trasversale: Polarizzazione circolare o ellittica.

Onde armoniche piane uniformi A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Onde armoniche piane uniformi descrivono una perturbazione periodica in cui la forma della funzione d’onda e’ di tipo sinusoidale, ad esempio per un onda che si propaghi lungo l’asse delle ascisse e’ del tipo : l’ ampiezza A e’ costante posto e si ha periodicita’ spaziale e temporale periodo temporale detto “periodo” periodo spaziale detto “lunghezza d’onda” da si ricava dove e’ la frequanza nota bene : l’onda piana armonica si estende tra - ∞ e + ∞ e il fronte d’onda e’ un piano Vai al Physlet  “ Ch 8.9.1”

onda piana e uniforme, progressiva, lungo x: A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli onda piana e uniforme, progressiva, lungo x: onda piana e uniforme, progressiva, lungo una direzione qualsiasi dello spazio individuata dal versore P i ^ onda piana e uniforme armonica, progressiva lungo la direzione individuata dal versore ^ P

Onde armoniche sferiche A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Onde armoniche sferiche sorgenti puntiformi producono onde sferiche il fronte d’onda e’ una sfera attenzione: anche se il fronte d’onda e’ una sfera in generale l’energia non e’ necessariamente distribuita in modo uniforme sul fronte d’onda sferico generica onda sferica: generica onda sferica armonica: onda sferica, armonica e uniforme: da notare come in tutti i casi l’ampiezza decresca come

onda armonica piana come limite di onda sferica per r  ∞ Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli a grande distanza dalla sorgente, presa una piccola porzione del fronte d’onda  onda piana onda armonica piana come limite di onda sferica per r  ∞ Onde cilindriche sorgenti rettilinee producono onde cilindriche sorgenti puntiformi producono onde sferiche; espressione di un onda armonica cilindrica uniforme

Velocita’ di fase e di gruppo A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Velocita’ di fase e di gruppo l’ onda armonica , detta anche monocromatica, si propaga con velocita’ V in particolare V è la velocità con cui si muove un qualsiasi punto (fase fissa) dell’onda, per esempio un massimo: V e’ detta anche velocita’ di fase Vf ma attenzione : la velocità di fase e’ utile solo nel caso di un onda armonica monocromatica in generale la velocita’ di propagazione dell’onda dipende dal numero d’onda K è la variazione di fase, per unità di tempo; k per unità di spazio (lungo l’onda) la velocità di fase ha senso solo per le monocromatiche. (esempio : luce nel vuoto ...)

pulsazione e quindi nemmeno dal numero d’onda k, se Vf = cost A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli nei mezzi non dispersivi la velocita’ di fase e’ una costante e non dipende dalla pulsazione e quindi nemmeno dal numero d’onda k, se Vf = cost vale a dire che w e k sono direttamente proporzionali nei mezzi dispersivi la velocita’ di fase dipende dalla frequenza e quindi anche dal numero d’onda k ossia Vf = Vf (k) le onde armoniche mantengono la loro forma anche in un mezzo dispersivo, ma viaggiano a velocità diversa (secondo k ) le onde di altra forma, invece, propagandosi in un mezzo dispersivo si deformano nei mezzi dispersivi vale la relazione dove

Richiamo sui numeri complessi A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Richiamo sui numeri complessi definendo l’unita’ dei numeri “immaginari” come i dove qualunque numero puo’ essere scritto come con e c e’ detto “numero complesso” grazie all’introduzione dei numeri complessi puo’ essere risolta ogni tipo di equazione algebrica da notare che siccome data una soluzione complessa , ne esiste sempre un’altra, detta complessa coniugata, ottenuta dalla prima sostituendo i con -i e’ il complesso coniugato di c si ha Rappresentazione nel piano complesso P(x,y) i 1 R I r asse immaginario un generico numero complesso puo’ essere rappresentato come un vettore nel piano complesso e asse reale dove r e’ il modulo e q l’ argomento, o fase, di z

dati i due numeri complessi e A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli dati i due numeri complessi e da cio’ si deduce che la somma di due numeri complessi equivale alla somma di due vettori nel piano complesso supponendo che lo sviluppo in serie dell’esponenziale valga anche se x = i q si ha quindi “ formula di Eulero “ in conclusione qualunque numero complesso puo’ essere scritto in termini o delle due coordinate sugli assi reale ed immaginario oppure di un modulo e di un argomento, detto fase quindi o come oppure come

se se e riesce che : e per cui quindi se A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli se per cui quindi se e riesce che : e se

Numeri complessi e funzioni trigonometriche A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Numeri complessi e funzioni trigonometriche sfruttando le proprieta’ della funzione esponenziale e la relazione di Eulero si ha uguagliando le parti reali ed immaginarie rispettivamente si ottiene se procedendo in modo identico a prima, da si ottiene e cosi’ via per e analogamente per

utilizzando la relazione di Eulero si ha e A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Nota 1: non si puo’ pensare di aver ottenuto un affermazione incoerente, ossia i = -i estraendo la radice quadrata di entrambi i membri nella uguaglianza perche’ la radice quadrata di un numero complesso non e’ una funzione univocamente determinata Nota 2: utilizzando la relazione di Eulero si ha e ma per le proprieta’ dell’ esponenziale cio’ significa che dividere un numero per i equivale a moltiplicarlo per –i ossia a ruotarlo nel piano complesso di 90 gradi in senso antiorario mentre moltiplicare un numero per +i equivale a ruotarlo nel piano complesso di 90 gradi in senso orario

Rappresentazione di grandezze armoniche con numeri complessi A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Rappresentazione di grandezze armoniche con numeri complessi se un vettore ruota con velocità angolare costante w = w0 , le sue proiezioni sugli assi cartesiani oscillano armonicamente. il moto armonico è descritto dalla parte reale del numero complesso, dove, in questo caso, r coincide con A : dove si e’ posto con ampiezza complessa per esempio, le equazioni integro-differenziali (con soluzione sinusoidale) diventano algebriche (lineare) cio’ comporta una notevole semplificazione dei calcoli:

A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli infatti: e per cui anziche’ derivare o integrare funzioni trigonometriche si opera su esponenziali complessi , poi, se occorre evidenziare il coseno, si conserva solo la parte reale del risultato, o la parte immaginaria se occorre evidenziare il seno metodo “simbolico” se x(t) puo’ essere considerata come la parte reale del numero complesso z(t) cioe’ se ad esempio eseguiremo le operazioni richieste direttamente su z(t) e solo alla fine dei calcoli prenderemo in considerazione la parte reale del risultato

secondo esempio: ad esempio: e quindi e’ vero che A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli ad esempio: e quindi e’ vero che secondo esempio: ed in effetti di nuovo si ha che

sono lineari nella funzione armonica A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli ma attenzione: questo metodo simbolico funziona solo se le equazioni considerate sono lineari nella funzione armonica solamente le operazioni lineari infatti commutano con l’operazione “prendere la parte reale” in particolare, sono lineari le equazioni di Kirchhoff, di Maxwell, e di D’Alambert

A.A. 2011-2012 Cambi-Piccinini-Semprini- Zucchelli Espressioni di un onda piana uniforme armonica progressiva di tipo sinusoidale: dunque y (x,t) puo’ essere considerata come la parte immaginaria del numero complesso quindi in generale si usa rappresentare l’onda piana armonica progressiva con una funzione d’onda del tipo mentre un onda piana armonica regressiva e’ rappresentata da come gia’ detto in precedenza se un vettore ruota con velocità angolare costante w = w0 , le sue proiezioni sugli assi cartesiani oscillano armonicamente quindi nel piano complesso la y (x,t) sara’ rappresentata geometricamente da un vettore rotante o “fasore”

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