Densita’ degli stati di una particella in una buca di potenziale tridimensionale a pareti rigide l’energia di una particella confinata in una buca di potenziale tridimensionale cubica, ossia in una scatola cubica a pareti rigide di lato a, e’ data dalla relazione : dove i ki sono numeri interi positivi L’energia della particella e’ quantizzata in livelli energetici che dipendono dalla terna di numeri interi positivi k1 k2 e k3 . ad una fissata generica energia E corrispondono molti stati diversi, cioe’ molte diverse terne di numeri interi k1 k2 e k3 portano ad uno stesso stato energetico . ma quanti sono esattamente ? problema della degenerazione degli stati energetici per stimarlo immaginiamo uno spazio in cui ad ogni punto di coordinate k1 k2 e k3 sia associato un volumetto unitario posto il numero di stati diversi che hanno energia E e’ dato da quegli interi la cui somma dei quadrati vale k2 . Il luogo dei punti e’ la superficie di una sfera di raggio k2.
Fissata una generica energia E per determinare il numero di stati che possiedono energia compresa tra 0 ed E bastera’ stimare il volume di una sfera di raggio k2 dato che in conclusione : N(E) da’ il numero di stati con energia compresa tra zero ed E, per trovare il numero di stati con energia tra E ed E+ dE bisogna differenziare l’espressione precedente
g(E) e’ la densita’ degli stati ossia il numero di stati per attenzione: gli stati energetici sono quantizzati e a rigore non sarebbe corretto trattarli usare il calcolo differenziale. Tuttavia la densita’ dei livelli e’ di solito molto alta e la discretizzazione della energia puo’ essere in questi casi tralasciata trattando il problema come nel continuo. da notare : 1) al denominatore compare la costante di Planck h e non la costante ridotta 2) a3 e’ il volume della buca di potenziale. Posto a3 = V si ha: ovvero : g(E) e’ la densita’ degli stati ossia il numero di stati per intervallo unitario di energia, all’energia E.
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( Nota : non esiste una terna di interi per cui si abbia k12 + k22 + k3 2 = 13 ) E allora ??????????????