Procedimento per studiare una funzione 1 Procedimento per studiare una funzione Lo studio di una funzione, reale di una variabile reale y=f(x), consiste nel determinare gli elementi caratterizzanti la funzione che permettono di disegnarne il grafico;si può procedere con il seguente schema. 1.Determinazione del campo di esistenza (C.E.) : i casi che si possono presentare sono i seguenti. Funzioni razionali intere: il C.E.è costituito da qualunque valore della x. Funzioni razionali fratte: il C.E. è costituito da ogni valori della x , esclusi, se ci sono, quelli che rendono nullo il denominatore della funzione. Funzioni irrazionali:si devono distinguere due casi in relazione all’indice “n” della radice; se “n” è dispari il C.E. è formato da ogni x reale esclusi quelli, eventuali, che annullano denominatori, se “n” è pari il C.E. è costituito soltanto da quegli x che rendono positivo o nullo il radicando. Funzioni goniometriche: y=sen(x) e y=cos(x) esistono per ogni x reale; mentre y=tg(x) esiste per con k intero relativo , e y=ctg(x) esiste per ogni con k intero relativo. Funzioni esponenziali del tipo : la condizione che determina il C.E. è che la base sia positiva cioè, f(x)>0. Funzioni logaritmiche del tipo : le condizioni che individuano il C.E. sono le seguenti f(x)>0 e g(x)>0, . Avanti: continua il procedimento

y=arctg(x) e y=arcctg(x) esistono per ogni x reale. 2 g) Funzioni goniometriche inverse: y=arcsen(x) e y=arccos(x) sono definite per ,mentre y=arctg(x) e y=arcctg(x) esistono per ogni x reale. h) Funzioni iperboliche: sono definite per ogni x . Funzioni in valore assoluto: il valore assoluto non induce alcuna limitazione al C.E. della funzione. 2. Intersezioni con gli assi cartesiani per l’intersezione con l’asse x , si risolve il sistema formato dalle due equazioni: cioè si risolve l’equazione f(x)=0; per l’intersezione con l’asse y , si risolve il sistema formato da : . Può essere utile individuare anche le eventuali simmetrie rispetto all’asse y o all’origine e le eventuali periodicità. 3. Studio del segno della funzione La funzione è positiva quando il suo grafico si trova, rispetto agli assi cartesiani, dalla parte del semiasse positivo delle y ; l’intervallo di positività si determina risolvendo la disequazione : . Avanti: continua il procedimento Indietro:inizio del procedimento

5. Ricerca degli asintoti 3 4.Calcolo di limiti Si calcolano i limiti negli estremi del C.E. per vedere l’andamento della funzione; si trovano gli eventuali punti di discontinuità e si stabilisce la specie. 5. Ricerca degli asintoti Gli asintoti possono essere di tre tipi: verticali, orizzontali e obliqui. a) Asintoti verticali: una retta del tipo x=a è un asintoto verticale se è soddisfatta la condizione b) Asintoti orizzontali: una retta di equazione y=k è un asintoto orizzontale se c) Asintoti obliqui: la retta di equazione y=mx+q risulta un asintoto obliquo, per il grafico della funzione, se,dopo avere verificato che è soddisfatta la condizione , risultano finiti i valori dei due limiti Si noti che trattando lo studio di funzioni univoche la presenza di un asintoto orizzontale esclude la presenza di quello verticale e viceversa. Inizio procedimento Indietro:procedimento Avanti:continua procedimento

6. Studio del segno della derivata prima 4 6. Studio del segno della derivata prima La funzione è crescente negli intervalli che sono soluzione della disequazione mentre è decrescente per . Un punto di ascissa è un massimo relativo, , se sono soddisfatte le condizioni : Il punto è un minimo relativo se: 7. Studio del segno della derivata seconda La funzione ha la concavità rivolta verso l’alto negli intervalli che costituiscono la soluzione della disequazione mentre la concavità è rivolta verso il basso quando In un punto di massimo relativo risulta pertanto mentre in un minimo relativo si ha Un punto si dice di flesso, F , quando risulta : ;in un punto di flesso la retta tangente alla curva-grafico della funzione, attraversa la curva stessa. Quando la tengente inflessionale è parallela all’asse x ,deve essere: . Inizio del procedimento Indietro:procedimento Avanti:continua procedimento

8. Esame di situazioni particolari 5 8. Esame di situazioni particolari a) Punti in cui non esiste la derivata prima: flessi verticali, cuspidi, punti angolosi. b) Simmetrie rispetto a punti o rette particolari. Studiamo ora un esempio di funzione razionale fratta. Inizio procedimento Indietro. procedimento

Funzioni razionali fratte Sono funzioni razionali fratte quelle del tipo: in cui la x compare al denominatore. Sono caratterizzate dal fatto che generalmente presentano degli asintoti verticali del tipo per i valori della x in cui si annulla il denominatore. Cioè per gli x tali che risulta: ,tali valori sono esclusi dal C.E. Esempio 1: Torna a :procedimento studio funzioni

Esempio 1 Grafico Funzione: Campo di esistenza C.E. : 1 (Clic per visualizzare) 1 Avanti:pag.seguente Torna a procedimento Torna a funz.raz.fratte

Grafico Grafico Grafico Intersezione asse y Intersezioni asse x Segno della funzione Grafico Grafico (Clic per visualizzare) Grafico Procedimento Funz.raz.fratte Indietro:pag.precedente Avanti

Calcolo limiti in estremi C.E. (fare clic per visualizzare) Y=+1 Asintoti verticali: x=+1 X=+1 Asintoti orizzontali: y=+1 Asintoti obliqui:non ce ne sono Procedimento Funz.raz.fratte Indietro Avanti

Calcolo della derivata prima Studio del segno della derivata prima Intervalli di crescenza decrescenza La funzione è crescente per: 1<x<4 Massimi e minimi relativi C’è un massimo relativo in: Mr(4,4/3) Avanti Procedimento Funz.raz.fratte Indietro

Calcolo derivata seconda Studio segno derivata seconda Concavità verso l’alto e verso il basso La funzione ha la concavità verso l’alto per:x>11/2, verso il basso per: x<4 ma Punti di flesso:c’è un punto di flesso per x=11/2 Procedimento Funz.raz.fratte Indietro Avanti

Grafico della funzione: (fare clic per visualizzare gli elementi) X=+1 Y=+1 Flesso B(-2,0) C(+2,0) A(0,-4) Fine Procedimento Funz.raz.fratte Indietro