fine RUBLI. Si hanno a disposizione biglietti di 3 e 5 rubli. Un qualunque numero intero di rubli maggiore di 7 può essere pagato con solo tali biglietti? La congettura è di fatto già formulata. In termini aritmetici può essere scritta così Ogni numero naturale M maggiore di 7 può essere scritto come somma di un multiplo di 3 e di un multiplo di 5 M > 7 M = h • 3 + k • 5 Vediamo alcuni casi

fine M = h • 3 + k • 5 h k 8 1 • 3 + 1 • 5 1 1 3 • 3 + 0 • 5 3 0 0 • 3 + 2 • 5 0 2 11 2 • 3 + 1 • 5 2 1 12 4 • 3 + 0 • 5 4 0 13 1 • 3 + 2 • 5 1 2 14 3 • 3 + 1 • 5 3 1 15 5 • 3 + 0 • 5 5 0 16 2 • 3 + 2 • 5 2 2 17 4 • 3 + 1 • 5 4 1 18 6 • 3 + 0 • 5 6 0

fine M = h • 3 + k • 5 h k h k h k 8 1 • 3 + 1 • 5 1 1 3 • 3 + 0 • 5 3 0 0 • 3 + 2 • 5 0 2 11 2 • 3 + 1 • 5 2 1 12 4 • 3 + 0 • 5 4 0 13 1 • 3 + 2 • 5 1 2 14 3 • 3 + 1 • 5 3 1 15 5 • 3 + 0 • 5 5 0 16 2 • 3 + 2 • 5 2 2 17 4 • 3 + 1 • 5 4 1 18 6 • 3 + 0 • 5 6 0

fine M = h • 3 + k • 5 h k h k h k 8 1 • 3 + 1 • 5  1 1 3 • 3 + 0 • 5  3 0 0 • 3 + 2 • 5  0 2 11 2 • 3 + 1 • 5  2 1 12 4 • 3 + 0 • 5  4 0 13 1 • 3 + 2 • 5  1 2 14 3 • 3 + 1 • 5  3 1 15 5 • 3 + 0 • 5  5 0 16 2 • 3 + 2 • 5  2 2 17 4 • 3 + 1 • 5  4 1 18 6 • 3 + 0 • 5  6 0

 Se M è un multiplo di 3, in M + 1 si può associare fine  Se M è un multiplo di 3, in M + 1 si può associare 3 • 3 + 1 = 10 = 2 • 5 Nella riga successiva della tabella: h  h - 3 k  k + 2  Se M non è un multiplo di 3, in M + 1 si può associare 1 • 5 + 1 = 6 = 2 • 3 h  h + 2 k  k - 1

8  9     10     11     12     fine 8  9     10     11     12     13     14     15     16     17    

 M multiplo di 3  fine  M multiplo di 3  aggiungo 1  M + 1 cambio  Tutti 

 M multiplo di 3  fine  M multiplo di 3  aggiungo 1  M + 1 cambio   M non multiplo di 3   M + 1 

La congettura è stata verificata:  Per il primo multiplo di 3 (9) fine Riassumendo La congettura è stata verificata:  Per il primo multiplo di 3 (9)  Per il primo non-multiplo di 3 (8) Si è poi dimostrato che:  Se la congettura vale per M (multiplo di 3) allora vale per M + 1  Se la congettura vale per M (non-multiplo di 3) Dunque la congettura vale per ogni M