DIMENSIONE EPISTEMOLOGICA fine I NUMERI NATURALI DIMENSIONE EPISTEMOLOGICA Introduzione sui numeri naturali e sull'aritmetica. Enriques sostiene che: "il procedimento di associazione e di astrazione, che la mente infantile ripete nell'acquisto dei concetti aritmetici, con più largo sviluppo si osserva nella storia della scienza" ad esmpio, l'antica scrittura ieratica degli Egizi adoperava segni diversi per rappresentare numeri di oggetti o numeri d'ordine dei giorni del mese. In maniera assai significativa il processo di sviluppo del concetto di numero si palesa allo storico della scienza greca, poiché sembra che nel primo periodo costruttivo dell'aritmetica il numero stesso non venisse distinto da una collezione di oggetti ritenuti come indivisibili. Giamblico attribuisce a Talete di Mileto (600aC) la definizione di "numero è un sistema di unità", che si ritrova presso i Pitagorici. Ma l'unità … aveva originariamente … un significato cosmologico, come elemento o principio di tutte le cose, ovvero come "punto" fisico e geometrico insieme; e così il numero serbava ancora qualcosa della figura geometrica in cui le sue unità (punti) si pensavano disposte. Perciò i Pitagorici parlavano di numeri figurati: numeri lineari, triangolari, rettangolari, piramidali, ecc. Queste teorie rispondono ad un concetto di numero che tende a liberarsi per gradi dal concreto e pure vi resta in qualche modo attaccato: il concetto astratto di numero fu effettivamente raggiunto attraverso le speculazioni d'un razionalismo metafisico, su cui Platone ci porge le sue vedute (egli parla di "contemplare la natura" dei numeri; ai futuri capi di stato occorre insegnare l'aritmetica non alla maniera volgare - pratica ma in modo che l'intelligenza possa ... ).

Euclide Frege Enriques Peano Cos'è un numero naturale? fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Frege Definizioni dal Libro VII degli Elementi: Unità è ciò secondo cui ogni cosa è detta uno Numero è la moltitudine composta di unità Enriques La definizione di Euclide fu adottata per molti secoli, anche se alcune varianti furono ugualmente proposte e adottate. Essa esprime il tentativo di spiegare il concetto astratto di numero, distinguendolo dalla pluralità di oggetti. Queste definizioni furono tramandate nel Medio Evo da Boezio e ricompaiono in Fibonacci e Tartaglia. Il problema della definizione di numero naturale diventa importante alla fine del secolo scorso. Peano

di insiemi finiti equipotenti fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Approccio cardinale definizione di numero naturale come classe di equivalenza di insiemi finiti equipotenti Frege Enriques Il problema della definizione di numero naturale diventa importante alla fine del secolo scorso, in cui il matematico Frege (1848-1925) denunciava come scandaloso la mancanza di una definizione rigorosa di numero naturale. Il suo apporto alla risoluzione di tale problema riguarda la definizione di numero naturale come classe di equivalenza di insiemi finiti equipotenti. In altri termini, Frege mira a fondare il concetto di numero naturale sulle nozioni primitive di insieme e di corrispondenza biunivova tra insiemi. L'aritmetica è considerata un ramo della logica. Questo corrisponde a un approccio cardinale ai numeri. Peano

confronto tra grandezze fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Approccio con le grandezze confronto tra grandezze omogenee e unità Frege Enriques Enriques propone un approccio geometrico, riferito alla teoria delle grandezze commensurabili. Coinvolge la nozione di confronto tra grandezze omogenee et la nozione di unità convenzionale. Questo tipo di approccio s'inserisce nella tradizione euclidea delle grandezze Peano

Euclide Frege Enriques Peano Cos'è un numero naturale? fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Approccio ricorsivo descrizione assiomatica dell'aritmetica ciò che studieremo Frege Enriques Peano propone un approccio ricorsivo e, per primo, una descrizione assiomatica dell'aritmetica. Egli tende ad assumere i numeri naturali come prodotto di un'intuizione primaria, non ricavabile da nozioni più elementari. In queste lezioni, ci si occuperà maggiormente di questo approccio. Peano

lo spirito del lavoro Cos'è un numero naturale? fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! lo spirito del lavoro Poiché questi enti (numeri, punti, ecc.) hanno sempre sfidato ogni tentativo di una adeguata descrizione, lentamente sorse tra i matematici del XIX secolo l'idea che la questione del significato di questi oggetti come cose sostanziali, se pure ha senso, non lo avesse nel campo della matematica. Le uniche affermazioni rilevanti che li riguardano non si riferiscono alla realtà sostanziale, e stabiliscono soltanto delle relazioni tra gli oggetti matematicamente non definiti e le regole che governano le operazioni con essi. Lo spirito della ricerca dei fondamenti: ricerca e definizione di relazioni (Courant & Robbins)

lo spirito del lavoro Cos'è un numero naturale? fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! lo spirito del lavoro Nel campo della scienza,matematica, non si può e non si deve discutere ciò che i punti, le rette, i numeri sono effettivamente: ciò che importa e ciò che corrisponde a fatti verificabili sono la struttura e le relazioni, che due punti determinano una retta, che i numeri si combinano secondo certe regole per formare altri numeri, ecc.

Assiomatica di Peano idea fine Assiomatica di Peano Nel lavoro di sistemazione della matematica, presentava una descrizione assiomatica dell'aritmetica idea tra tutti i concetti aritmetici a disposizione, se ne scelsero alcuni senza darne una definizione esplicita e si utilizzarono per definire altri concetti. tra tutte le proposizioni aritmetiche vere, se ne scelsero alcune che sono accettate senza dimostrazione. Descrizione o impostazione Concetti primitivi Assiomi o postulati

Assiomatica di Peano idea domanda fine Assiomatica di Peano Nel lavoro di sistemazione della matematica, presentava una descrizione assiomatica dell'aritmetica idea Concetti primitivi Assiomi o postulati domanda La risposta è negativa. In generale, per definire un concetto A si ricorre ad un concetto B, per definire B si ricorre a C, e così via. Si possono presentare tre possibilità: - dopo un certo numero di passo si ritorna ad A, cioè si utilizza A per definire A. E' un circolo vizioso: non si definisce nulla. - nel processo di risalita non ci arresta mai. È un regresso all'infinito: anch'esso non porta a definire il concetto che interessa. - nel processo di risalita ci si ferma ad un certo punto, scegliendo uno o più concetti senza definirli e utilizzandoli per definire altri concetti. Nascono in questo modo i concetti primitivi. (p9) Il riferimento ad Euclide può permettere di legare quanto si sta affrontando con un altro settore della matematica e forse più noto di quello che si sta studiando. Inoltre, metterebbe in evidenza la generalità del procedimento introdotto e non la specificità all'aritmetica. Perché scegliere alcuni concetti senza definirli? Non si può definire ogni concetto? un caso forse noto: Euclide e la geometria

Assiomatica di Peano 3 numero zero successivo Sc Concetti primitivi fine Assiomatica di Peano Concetti primitivi 3 numero zero Concetti primitivi e simbolismo introdotto. Il concetto primitivo successivo scelto da Peano corrisponde alla nostra 'intuizione' secondo cui par passare da un numero al suo successivo basta aggiungere uno. successivo Sc

Assiomatica di Peano 5 Assiomi o postulati fine Ogni assioma viene precisato nelle pagine seguenti. Si accede alle pagine mediante un link sul numero

Assiomatica di Peano 5 1 2 3 4 5 Assiomi o postulati fine Assiomatica di Peano 5 Assiomi o postulati 1 Lo zero è un numero 2 Ogni numero ha un successivo ed uno solo 3 Lo zero non è successivo di alcun numero Ogni assioma viene precisato nelle pagine seguenti. Si accede alle pagine mediante un link sul numero Se due numeri hanno successivi uguali, allora sono uguali 4 Definizione operazioni 5 Principio d'induzione matematica

Assiomatica di Peano 5 1 numero zero Assiomi o postulati fine Assiomatica di Peano 5 Assiomi o postulati 1 Lo zero è un numero numero zero Questo assioma lega i concetti primitivi di numero e zero. esso dice che esiste almeno un numero naturale. In altri termini, si afferma che l'insieme dei numeri naturali non è vuoto.

Assiomatica di Peano 5 2 numero successivo Assiomi o postulati fine Assiomatica di Peano 5 Assiomi o postulati 2 Ogni numero ha un successivo ed uno solo numero Questo mette in relazioni due altri concetti primitivi: numero e successivo. Questo assioma afferma che il successivo è un'operazione unaria interna nell'insieme dei numeri naturali, perché ad ogni numero naturale si associa un altro numero naturale, il suo successivo. successivo

Assiomatica di Peano 5 3 zero successivo Assiomi o postulati fine Assiomatica di Peano 5 Assiomi o postulati 3 Lo zero non è successivo di alcun numero Esso stabilisce la relazione tra zero e numero. Si osserva che questo assioma non afferma che solo lo zero non è il successivo di alcun numero: questo fatto deve essere dimostrato. Si può dire che l'operazione di successivo non è suriettiva, perché lo zero non è il corrispondente di alcun numero zero successivo

Assiomatica di Peano 5 4 Assiomi o postulati fine Assiomatica di Peano 5 Assiomi o postulati Il quarto assioma afferma che l'operazione di successivo è iniettiva Se due numeri hanno successivi uguali, allora sono uguali 4

L’assioma afferma che: fine Assiomatica di Peano 5 Assiomi o postulati Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ). Questo assioma è il principale strumento usato da Peano per definire i concetti e per dimostrare teoremi. Sarà quello che anche noi studieremo e utilizzeremo. Link alle diapo con l'induzione. 5 Principio ( o metodo) d'induzione matematica

La definizione delle operazioni fine Assiomatica di Peano La definizione delle operazioni addizione moltiplicazione Addizione + per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero naturale a + b in modo che valgano le due proprietà seguenti: a + 0 = a a + Sc(b) = Sc(a + b) Osservazioni: questa è una definizione. Si può dimostrare che l'addizione così definita è unica. Essa gode delle proprietà associativa, … si può dimostrare che Sc(a)=a+1, con l'introduzione del numero 1 come successivo di zero.

La definizione delle operazioni fine Assiomatica di Peano La definizione delle operazioni addizione moltiplicazione Moltiplicazione x per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero naturale a x b in modo che valgano le due proprietà seguenti: a x 0 = 0 a x Sc(b) = (a x b) + a Osservazioni questa è una definizione. Si può dimostrare che la moltiplicazione così definita è unica. Essa gode delle proprietà associativa, … Si dimostra anche che a x 1 = a