Che cosa è un insieme convesso? fine POLIGONI (CONVESSI) Che cosa è un poligono? Che cosa è un insieme convesso?
Che cosa è un insieme convesso? fine POLIGONI (CONVESSI) Che cosa è un insieme convesso?
fine CONVESSI NON CONVESSI
fine CONVESSI NON CONVESSI
fine CONVESSI NON CONVESSI
fine CONVESSI NON CONVESSI
fine CONVESSI NON CONVESSI
fine CONVESSI NON CONVESSI
fine CONVESSO
CONVESSO Un insieme X di punti del piano (dello spazio) fine CONVESSO Un insieme X di punti del piano (dello spazio) con la seguente proprietà: se A e B sono punti qualsiasi di X il segmento AB è tutto contenuto in X
fine NON CONVESSO
NON CONVESSO Un insieme X di punti del piano (dello spazio) fine NON CONVESSO Un insieme X di punti del piano (dello spazio) con la seguente proprietà: ci sono almeno due punti A e B di X per i quali il segmento AB non è tutto contenuto in X
L’intersezione di due insiemi convessi è un insieme convesso. fine Teorema L’intersezione di due insiemi convessi è un insieme convesso. Dimostrazione Ipotesi: X è un insieme convesso Y è un insieme convesso Tesi X Y è un insieme convesso N. B. X Y è l’insieme dei punti che stanno contemporaneamente in X e Y
Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB. fine X Y X Y Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB.
Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB. fine X A Y B Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB. Poiché X è convesso, AB è tutto contenuto in X. Poiché Y è convesso, AB è tutto contenuto in Y. Allora AB è tutto contenuto in X Y .
POLIGONI (CONVESSI) Partiamo da: ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) fine POLIGONI (CONVESSI) Partiamo da: ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE
Questo (modello di) foglio fine Questo (modello di) foglio rappresenta il piano della geometria di Euclide
fine
fine piano
fine
fine retta
fine
fine
fine
fine Semipiano 1 Semipiano 2
fine Semipiano 1 Semipiano 2 I semipiani sono insiemi convessi
fine
fine
fine angolo
POLIGONI (CONVESSI) ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) fine POLIGONI (CONVESSI) ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE
POLIGONI (CONVESSI) ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) fine POLIGONI (CONVESSI) ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE Gli angoli (così definiti) sono insiemi convessi (Teorema)
POLIGONI (CONVESSI) TRIANGOLO fine POLIGONI (CONVESSI) TRIANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE dati A, B, C, si scelgono S(A) semipiano di origine BC contenente A S(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C
POLIGONI (CONVESSI) TRIANGOLO fine POLIGONI (CONVESSI) TRIANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE dati A, B, C, si scelgono S(A) semipiano di origine BC contenente A S(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C I triangoli sono insiemi convessi (Teorema)
fine
fine triangolo
QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD fine POLIGONI (CONVESSI) QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI A B C D sono scelti in modo che AB sono nello stesso semipiano di origine CD BC sono nello stesso semipiano di origine AD CD sono nello stesso semipiano di origine AB DA sono nello stesso semipiano di origine BC
QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD fine POLIGONI (CONVESSI) QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI A B C D sono scelti in modo che AB sono nello stesso semipiano di origine CD BC sono nello stesso semipiano di origine AD CD sono nello stesso semipiano di origine AB DA sono nello stesso semipiano di origine BC I quadrangoli così definiti sono insiemi convessi (Teorema)
fine
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
POLIGONI (CONVESSI) PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE (nell’ordine) fine POLIGONI (CONVESSI) PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI A B C D E sono scelti in modo che ABC sono nello stesso semip. di origine DE BCD sono nello stesso semip. di origine AE CDE sono nello stesso semip. di origine AB DEA sono nello stesso semip. di origine BC EAB sono nello stesso semip. di origine CD
POLIGONI (CONVESSI) PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE (nell’ordine) fine POLIGONI (CONVESSI) PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI A B C D E sono scelti in modo che ABC sono nello stesso semip. di origine DE BCD sono nello stesso semip. di origine AE CDE sono nello stesso semip. di origine AB DEA sono nello stesso semip. di origine BC EAB sono nello stesso semip. di origine CD I pentagoni così definiti sono insiemi convessi (Teorema)
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
fine convessi non convessi
POLIGONI (CONVESSI) DATI n VERTICI (in un dato ordine) fine POLIGONI (CONVESSI) DATI n VERTICI (in un dato ordine) A1 A2 ……….An-1 An diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti (diciamo che anche A1 e An sono adiacenti). Per costruire un poligono convesso, considero n punti con la proprietà seguente: ogni retta che contiene due vertici adiacenti non separa gli altri vertici, cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
fine
E ripeto per tutti i vertici! fine E ripeto per tutti i vertici!
E ripeto per tutti i vertici! fine E ripeto per tutti i vertici!
E ripeto per tutti i vertici! Ho trovato 2 vertici che separano! fine E ripeto per tutti i vertici! Ho trovato 2 vertici che separano!
POLIGONI (CONVESSI) DATI n VERTICI (in un dato ordine) fine POLIGONI (CONVESSI) DATI n VERTICI (in un dato ordine) A1 A2 ……….An-1 An diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti (diciamo che anche A1 e An sono adiacenti). Per costruire un poligono convesso, considero n punti con la proprietà seguente: ogni retta che contiene due vertici adiacenti non separa gli altri vertici, cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
il poligono convesso A1 A2 ……….An-1 An fine il poligono convesso A1 A2 ……….An-1 An è costituito dall’intersezione di tutti i semipiani che hanno le seguenti proprietà: 1) hanno come origine la retta per due vertici adiacenti; 2) contengono tutti gli altri vertici.
POLIGONI (CONVESSI) Lato del poligono: fine POLIGONI (CONVESSI) Lato del poligono: ogni segmento che congiunge due vertici adiacenti Diagonale del poligono: ogni segmento che congiunge due vertici non adiacenti Le rette per i lati non separano i vertici. Le rette per le diagonali separano i vertici.
Classificazione di alcuni insiemi fine Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi Triangoli
Classificazione di alcuni insiemi fine Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi Triangoli equilatero
Classificazione di alcuni insiemi fine Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi Trapezi: quadrangoli con (almeno) due lati paralleli; Parallelogrammi: Quadrangoli con due coppie di lati paralleli. Rettangoli: Parallelogrammi con 4 angoli congruenti (retti) Rombi: Parallelogrammi con 4 lati congruenti Quadrati: Parallelogrammi con 4 angoli congruenti (retti) e 4 lati congruenti Quadrangoli
Classificazione di alcuni insiemi fine Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi trapezi parallelogrammi rettangoli quadrati rombi Quadrangoli