Introduzione alla Teoria dei Giochi Parte prima Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2 (teoria degli oligopoli) Introduzione alla Teoria dei Giochi Parte prima

TEORIA dei GIOCHI Oggetto di studio Le scelte di agenti razionali in un contesto di interazione strategica Contesto di scelta Un contesto di scelta è detto strategico quando le conseguenze di un’azione per un agente dipendono: non soltanto dalle azioni da lui compiute ma anche dalle azioni compiute da altri agenti

Il termine gioco Il termine gioco è utilizzato per definire un generico contesto strategico Gioco cooperativo I giocatori possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare Gioco non cooperativo I giocatori non possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare Le imprese prima di competere sul mercato stabiliscono accordi vincolanti I giocatori scelgono le proprie strategie indipendentemente (non agiscono in modo concertato)

DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO FORMA NORMALE o STRATEGICA CLASSIFICAZIONI GIOCHI STATICI I giocatori scelgono contemporaneamente GIOCHI DINAMICI I giocatori effettuano la loro scelta secondo una sequenza prestabilita di mosse DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO FORMA NORMALE o STRATEGICA FORMA ESTESA

DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE G(N, S, u) La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi: Un insieme di giocatori N = {1, 2, ..,n} Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) Si a disposizione di ciascun giocatore iN si  Si indica una generica strategia pura S = S1  S2  …  Sn indica l’insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure s = (s1 , s2 , … , sn )  S indica una generica combinazione di strategie pure Una funzione di payoff ui : S  R per ciascun giocatore i  N ui (s) è il payoff del giocatore i se i giocatori scelgono la combinazione di strategie s = (s1 , s2 , … , sn )

DILEMMA DEL PRIGIONIERO   TACERE CONFESSARE -1, -1 -9, 0 0, -9 -6 , -6 Numero dei giocatori Insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) a disposizione di entrambi i giocatori

PAYOFF DEI GIOCATORI

DUOPOLIO DI COURNOT E BERTRAND

GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA Dilemma del Prigioniero Modelli di Cournot e Bertrand GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA I giocatori scelgono le loro strategie “simultaneamente" (è sufficiente che ciascun giocatore scelga la propria strategia senza conoscere la scelta dell'altro) IMPORTANZA DELLA STRUTTURA INFORMATIVA DEL GIOCO Un gioco G è caratterizzato da informazione completa se tutti i giocatori conoscono gli elementi che caratterizzano il gioco. N = {1, 2, ..,n} S = S1  S2  …  Sn ui : S  R i N

Informazione Completa Nel Dilemma Del Prigioniero Entrambi i giocatori conoscono la (bi)matrice del gioco PREDIZIONE SULL'ESITO DEL GIOCO Procedura risolutiva: eliminazione iterata di strategie strettamente dominate   TACERE CONFESSARE -1, -1 -9, 0 0, -9 -6 , -6

NOTAZIONI

DEFINIZIONI

giocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominate LA PROCEDURA La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che giocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominate nessuna credenza da parte di un giocatore, e relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima

ESEMPIO 1 Giocatore 2   TACERE CONFESSARE -1, -1 -9, 0 0, -9 -6, -6 Giocatore 1

ESEMPIO 2 Giocatore 2   SINISTRA CENTRO DESTRA SU 1, 0 1, 2 0, 1 GIU’ 0, 3 2, 0 Giocatore 1

ESEMPIO 3 a3 a2 b2 a1 4, 4, 4 3, 5, 3 b1 5, 3, 3 5, 4, 1 b3 3, 3, 5 1, 5, 4 4, 1, 5 2, 2, 2

ESEMPIO 3 a3 a2 b2 a1 4, 4, 4 3, 5, 3 b1 5, 3, 3 5, 4, 1 b3 3, 3, 5 1, 5, 4 4, 1, 5 2, 2, 2

giocatori "razionali" non scelgono strategie strettamente dominate. RAZIONALITA’ DEI GIOCATORI La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che: giocatori "razionali" non scelgono strategie strettamente dominate. Nessuna credenza da parte di un giocatore, relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima. L'applicazione del procedimento per un numero arbitrario di passi richiede la seguente assunzione: la "razionalità" dei giocatori è conoscenza comune (common knowledge) tutti i giocatori sono razionali; tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali; tutti i giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali, ecc..

PROBLEMA DI FREE-RIDING ESEMPIO 4 Impresa 2   D ND 4, 4 2, 11 11, 2 3, 3 Impresa 1 Due imprese scaricano su un lago Profitto delle due imprese = 10 milioni di euro Costo per il depuratore = 6 milioni di euro Multa per avere superato i limiti di inquinamento previsti dalla nuova normativa = 7 milioni di euro PROBLEMA DI FREE-RIDING

non ci sono strategie dominate da eliminare ESEMPIO 5 Impresa 2   B1 B2 B3 A1 0, 4 4, 0 5, 3 A2 A3 3, 5 6, 6 Impresa 1 non ci sono strategie dominate da eliminare In questo caso l’eliminazione delle strategie strettamente dominate non risolve il gioco, in generale non risolve tutte le classi di problemi Ci serve un criterio di soluzione più forte Il criterio con maggiore forza di predizione è l’equilibrio di Nash

EQUILIBRIO DI NASH Una combinazione di strategie è un equilibrio di Nash se per ogni giocatore i e per ogni strategia ammissibile un equilibrio di Nash richiede che la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto alle strategie ottimali degli avversari

EQUILIBRIO DI NASH risolve il problema: Per ogni giocatore i la strategia si* e la migliore risposta del giocatore i alle strategie prescritte per gli altri n-1 giocatori Nessun giocatore, preso singolarmente, desidera deviare dalla strategia prescritta L'equilibrio di Nash è una predizione sull'esito del gioco strategicamente stabile o autovincolante (self-enforcing)

EQUILIBRIO DI NASH Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne s'= (s’i, s’-i), allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash Le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma non e vero il contrario Non è detto che una strategia che sopravvive alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate faccia parte di un equilibrio di Nash

Non ci sono strategie dominate da eliminare ESEMPIO 5 Impresa 2   B1 B2 B3 A1 0, 4 4, 0 5, 3 A2 A3 3, 5 6, 6 Impresa 1 Non ci sono strategie dominate da eliminare Per determinare l’equilibrio di Nash si procede per ispezione Si marcano le strategie pure di ciascun giocatore che sono risposte ottime alle strategie pure dell’avversario sottolineando il payoff corrispondente Se in una casella risultano sottolineati entrambi i payoff, allora è stata individuata una combinazione di strategie caratterizzata dal fatto che ciascuna è la risposta ottima all’altra (equilibrio di Nash)

OSSERVAZIONE tutte le strategie sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma solo la combinazione (A3, B3) soddisfa le seguenti condizioni: Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne , allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash PROPOSIZIONE

ESEMPIO 6 e 7   B1 B2 B3 A1 1, 0 1, 2 0, 1 A2 0, 3 2, 0   B1 B2 B3 B4 A1 0, 3 2, 2 1, 3 1, 0 A2 2, 1 3, 1 2, 3 A3 5, 1 1, 4 A4 0, 2

LEI Partita Balletto 2, 1 0, 0 1, 2 LUI ESEMPIO 8 (BATTAGLIA DEI SESSI) Entrambi i giocatori desiderano trascorrere la serata insieme piuttosto che da soli, tuttavia “Iui" preferisce la partita mentre “Iei" preferisce il balletto Ciascun giocatore consegue: un payoff pari a 2 se entrambi vanno allo spettacolo da lui/lei preferito un payoff pari a 1 se entrambi vanno allo spettacolo preferito dall'altro un payoff pari a 0 se ognuno trascorre la serata da solo LEI   Partita Balletto 2, 1 0, 0 1, 2 LUI

Definizione: ESISTENZA DELL'EQUILIBRIO DI NASH Teorema. (Nash, 1950) Ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio di Nash (eventualmente in strategie miste) Definizione: Un gioco è finito se il numero dei giocatori e quello delle strategie pure è finito. Altrimenti è infinito. Definizione:

Equilibrio di Nash in strategie miste: LEI q 1-q   Calcio Balletto 2, 1 0, 0 1, 2 1*r + 0*(1-r) LUI r 0*r + 2*(1-r) 1-r q 1 r 1/3 2/3 balletto calcio Equilibrio di Nash in strategie miste: ((2/3,1/3);(1/3,2/3))

Equilibrio di Nash in strategie miste: MATCHING PENNIES q 1-q   TESTA CROCE -1, 1 1, -1 r 1-r 1/2 testa q 1 r croce Equilibrio di Nash in strategie miste: ((1/2,1/2);(1/2,1/2))

Teorema (Glicksberg, Debreu; 1952) Un gioco per il quale valgano le seguenti ipotesi: il numero dei giocatori è finito Si è un sottoinsieme compatto e convesso di uno spazio euclideo per ogni giocatore iN ui é una funzione continua in sS per ogni iN ammette almeno un equilibrio di Nash. Se inoltre ui é una funzione quasi-concava in si per ogni iN, allora ammette almeno un equilibrio di Nash in strategie pure.