La logica di Frege Come sapete Frege è stato il maestro riconosciuto e ammirato da Wittgenstein (“le grandiose opere di Frege” dice nel Tractatus Tuttavia da Frege si distacca per alcune peculiarità Frege è stato famoso per la sua distinzione tra Sinn e Bedeutung Che tradotto in Italiano suonano come “significato”

Il triangolo di Peirce Secondo Peirce nei rapporti con il significato ci sono tre aspetti: Il pensiero (la donna) Il suono o il segno (uomo) L’oggetto vero e proprio

Secondo Frege Invece secondo Frege Il “pensiero” non possiamo dirlo Quindi c’è solo il suono e il segno E poi l’oggetto

Secondo Wittgenstein Secondo Wittgenstein invece il significato ha che fare solo con il suono e il segno

SINN e BEDEUTUNG La parola tedesca BEDEUTUNG Indica l’oggetto La parola SINN Il suono e il segno

Che cos’è la verità? Per Frege è semplice E’ il collegamento tra Bedeutung e il Sinn Allora per lui la parola casa ha due simboliche Se si intende il bedueutung Se si intende il sinn

La stella della sera e del mattino Sapete che la prima stella della sera si chiama Espero; invece la prima stella del mattino si chiama Lucifero In realtà è lo stesso pianeta che è Venere Orbene Frege diceva: il bedeutung “Venere” ha due sinn Espero Lucifero

Inoltre Frege voleva anche distinguere Quando affermiamo un rapporto tra sinn e bedeutung Oppure quando non lo affermiamo E allora affermiamo la verità E allora affermiamo solo il senso

Frege e Wittgenstein Frege

Segni diversi Il rapporto di verità è indicato da Frege con questo segno (l’affermazione) Invece se vogliamo solo dare senso dobbiamo mettere solo una riga

FREGE - WITTGENSTEIN In un passo dei suoi Fondamenti dell’aritmetica Frege dice se A e B significano contenuti giudicabili, esistono le seguenti quattro possibilità: 1) A viene affermato e B viene affermato 2) A viene affermato e B viene negato 3) A viene negato e B viene affermato 4)A viene negato e B viene negato Ci vuole poco per tradurre nelle tavole di Wittgenstein V V V F F V F F

Tuttavia… La tavola di verità sembra identica a quella che abbiamo usato seguendo Wittgenstein (la prima quella normale) Ma c’è un problema 1)V V 2)V F 3)F V 4)F F Questa tavola di verità Non è corrispondente a quello che dice Frege nella prossima slide

Infatti… 1)V V 2)V F 3)F V 4)F F La terza di queste possibilità è FV Da quello che dice Frege dovrebbe essere invece VF Che corrisponde all’implicazione materiale che è appunto falsa solo se l’antecedente e vero e il conseguente falso

Chiarimento La cosa si comprende se traduciamo la notazione di Frege in quella di Peano- Russell-Wittgenstein A B (B ⊃ A)

Basta invertire le colonne Da questa disposizione 1)V V 2)V F 3)F V 4)F F A questa 2)F V 3)V F Cosi come da A a B Si passa a B a A La terza di queste possibilità è appunto V F

Vero e Falso Questo segno comprende le tre righe A B A B 1)V V che da V 2)F V che da V 4)F F che da V Questo invece comprende la terza riga 3) VF che da F A B A B

L’interpretazione di Frege Come potete vedere dunque Frege sembra Complicare il chiaro modulo di Wittgenstein (Anche se sarebbe più esatto dire che è Wiuttgenstein a chiarire il complicato segno di Frege) Infatti la notazione di Frege ha avuto un corrispettivo nella mediterranea e chiara notazione di Peano ripresa da Russell (Russell saccheggiò interamente il Formulario matematico di Peano) e intepretata da Wittgenstein (che forse non conosceva Peano ma solo Russell)

Tuttavia Frege è sempre grande… SI dice che anche gli errori dei grandi sono errori interessanti. E’ questo anche il caso di Frege.Infatti la sua notazione permette un sistema di decisione molto più rapido di quello delle tavole di verità di Wittgenstein A B B ⊃ A

Dimostrazione per assurdo… Se infatti noi volessimo dimostrare che l’espressione a destra non è vera Dovremmo dire che il vero è in realtà il falso Cioè VF B ⊃ A Dovremmo dire che A B E’ in realtà A B

Questa considerazione ci sembra inutile… Ma diventa preziosa non appena aggiungiamo una A Il segno ⊢ indica che è una tautologia (è sempre vera) se fosse falsa vorrebbe dire che la implicazione dentra la parentesi è falsa e che quindi B è vera e A è falsa (nella parentesi) ma allora anche la prima A seguita dalla parentesi che è falsa deve essere vera. Abbiamo che la prima A è vera e la seconda A è falsa: abbiamo una contraddizione. Quindi l’espressione non può essere falsa e dunque è vera A B A A ⊃ (B ⊃ A)

Schema per i dummies… A ⊃ (B ⊃ A) Le due A collegate da una freccia sono una vera e l’altra falsa. Contraddizione Dunque l’espressione è sempre vera E’ una tautologia A ⊃ (B ⊃ A) V F F A ⊃ ( F ) V F

Esercizio Come si traduce? a (c ⊃(b ⊃ a) ⊃ (c ⊃ b) ⊃ (a ⊃ c) c Avete capito come il disegno ci indica le parentesi? Vi sentite di calcolare con il metodo di Frege la tautologia? a c b c a b c