Cosa è un luogo?

Si definisce luogo geometrico l’ insieme di tutti e soli i punti che godono di una certa proprietà detta proprietà caratteristica del luogo

Se in un piano è assegnato un R. C. O Se in un piano è assegnato un R.C.O., al luogo geometrico si associa in modo biunivoco un’ equazione algebrica in x ed y che rappresenta il legame tra l’ ascissa e l’ ordinata di ciascun punto del luogo

Quante rette passano per due punti distinti di un piano?

Per due punti distinti A e B di un piano passa una ed una sola retta. Essa è il luogo geometrico di tutti e soli i punti del piano allineati con A e B

Dimostreremo che ad ogni retta in un piano in cui sia assegnato un R.C.O. è possibile associare in maniera univoca un’ equazione lineare in due variabili x ed y cioè un oggetto del tipo ax+by+c=0 ( con a e b non contemporaneamente nulli)

Consideriamo in un piano un riferimento cartesiano ortogonale xOy. Una retta del piano può assumere diverse posizioni rispetto al sistema di riferimento. Analizziamo i casi in cui la retta sia parallela agli assi

RETTA PARALLELA ALL’ ASSE DELLE ASCISSE Y Consideriamo una retta r parallela all’ asse delle ascisse e sia A(0,h) il punto in cui essa interseca l’ asse delle ordinate. A(0,h) Osserviamo che tutti i punti della retta r hanno la stessa ordinata h e viceversa se un punto ha ordinata h esso deve necessariamente stare su r che è quindi il luogo geometrico dei punti del piano di ordinata h. Ne segue che tutti i punti di r hanno coordinate che soddisfano l’ equazione y=h.  

Pertanto y=h è detta equazione cartesiana della retta r In particolare , se h =0 cioè se A coincide con l’ origine, la retta coincide con l’ asse delle ascisse . Pertanto l’ equazione dell’ asse x è y=0

Retta parallela all’ asse delle ordinate y Analogamente, nel caso in cui la retta risulti parallela all’ asse delle ordinate ed intersechi l’ asse delle ascisse in un punto B(k,0), tutti i suoi punti avranno la stessa ascissa K e viceversa un punto del piano di ascissa K deve necessariamente appartenere alla retta. B(k,0) x L’ equazione di tale retta sarà quindi x=k . In particolare l’ asse delle ordinate avrà equazione x=0

RETTA IN POSIZIONE GENERICA Consideriamo ora una retta non parallela agli assi. Su tale retta prendiamo due punti distinti A(xA,yA) e B(xB,yB) y x

Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto P(x,y) appartenga alla retta AB è che esso sia allineato con A eB cioè se e solo se i triangoli ABH e APH risultano simili , cioè se e solo se risulta

Condizione di allineamento di tre punti

Sostituendo le coordinate di P: yP-yA yB-yA xB-xA xP-xA Sostituendo le coordinate di P: O anche

Nell’ equazione Moltiplicando a croce, semplificando i termini opposti e portando tutto al primo membro si ottiene (yA-yB)x+(xA-xB)y+xAyB-yAxB=0 Ponendo: a=(yA-yB) b=(xA-xB) e c= xAyB-yAxB L’equazione precedente diventa ax+by+c=0

c= xAyB-yAxB, risulterà c=0 L’ equazione ax+by+c=0 è un’ equazione lineare in due incognite x ed y ed essendo A distinto da B, a e b non sono contemporaneamente nulli . In particolare se uno dei punti coincide con l’origine degli assi, essendo c= xAyB-yAxB, risulterà c=0 Allora nel caso in cui la retta passi per O, ad essa si assocerà ax+by=0

è detta equazione della retta in forma implicita L’ equazione ax+by+c=0 è detta equazione della retta in forma implicita

L’ equazione Permette di determinare l’ equazione della retta passante per due punti A e B note le coordinate dei punti

Si può dimostrare anche che ogni equazione in due variabili ax+by+c=0 rappresenta una retta i cui punti hanno coordinate che soddisfano l’ equazione stessa