LE STRUTTURE ALGEBRICHE Si dice che un insieme è dotato di una struttura se è definito un legame o una relazione tra gli elementi dell’insieme dato.

Legge Di Composizione Interna Dato un insieme di enti A diremo che un operazione ┴ e' di composizione interna se presi comunque due elementi di A quali a, b, esiste l'elemento c appartenente ad A tale che vale a ┴ b = c. Se in un insieme I è definita una legge di composizione interna (┴),si dice che l’insieme I è dotato di struttura algebrica e si scrive (I,┴).

B= -1,0,1  A=1,2,3  1 2 3 4 6 9  -1 1 In questo caso la moltiplicazione non si può definire legge di composizione interna perche in tabella compaiono anche elementi diversi da quelli dell’insieme iniziale. In questo caso la moltiplicazione si può definire legge di composizione interna perche in tabella compaiono solo elementi appartenenti all’insieme iniziale.

STUDIO LEGGE DI COMPOSIZIONE INTERNA Per studiare una legge di composizione ┴ data su un insieme I si deve: Verificare se ┴ è legge di composizione interna. Verificare se ┴ è commutativa. Verificare se ┴ è associativa. Verificare se esiste l’elemento neutro. Verificare se ci sono elementi simmetrizzabili.

Le Proprietà delle leggi di composizione interna ELEMENTO SIMMETRICO O INVERSO PROPRIETA’ COMMUTATIVA PROPRIETA’ ASSOCIATIVA ELEMENTO NEUTRO ☼

PROPRIETA’ COMMUTATIVA Si dice che una struttura algebrica, e' commutativa, o che l'operazione gode della proprietà commutativa, se vale:  a,b  A a┴b=b┴a

☼ B=a,b,c  A=-1,0,1  -1 1 ┴ a b c In questo caso la legge  è legge di composizione interna, tracciando la diagonale principale della tabella si può notare che tutti gli elementi simmetrici rispetto ad essa sono uguali quindi gode della proprietà commutativa. In questo caso la legge ┴ è legge di composizione interna, tracciando la diagonale principale della tabella si può notare che tutti gli elementi simmetrici rispetto ad essa non sono uguali quindi non gode della proprietà commutativa.

PROPRIETA’ ASSOCIATIVA Nella struttura algebrica (I,┴) la legge di composizione interna ┴ è associatva se per ogni terna a,b,c  I si ha: (a ┴ b) ┴ c = a ┴ (b ┴ c)

┴ a b c ┴ a d c A= a,b,c  B= a,d,c  ☼ E’ associativa poichè la legge di composizione interna (┴) : (a┴b)┴c=a┴c=a quindi è associativa a┴(b┴c)=a┴b=a Non è associativa poichè la legge di composizione interna (┴) : (a┴d)┴c=c┴c=c quindi non è associativa a┴(d┴c)=a┴c=d

ELEMENTO NEUTRO Nella struttura algebrica (I,┴) si dice che un elemento dell’insieme I è elemento neutro u se per ogni a  I si ha: a ┴ u = u ┴ a = a Se esiste è unico.

ELEMENTO NEUTRO ☼ Per trovare l’elemento neutro di una struttura algebrica basta compilare la tabella di composizione e cercare la riga e la colonna che sono uguali alla linea e alla colonna principali,dove si incrociano c’è l’elemento neutro ┴ 1 2 3 In questo caso il 2 è l’elemento neutro

ELEMENTO SIMMETRICO O INVERSO ☼ Dato un insieme di enti A e su di esso un' operazione ┴ diremo che a' appartenente ad A e' l'elemento simmetrico rispetto all’elemento a di A vale: a ┴ a' = a' ┴ a = n 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0

STRUTTURE ALGEBRICHE PARTICOLARI GRUPPO ANELLO CAMPO Se in una strutture algebrica (I,┴) la legge di composizione interna è associativa allora si chiama monoide. ☺

GRUPPO Un'operazione applicata ad un insieme A può costituire un gruppo. Ciò avviene se: ┴ è chiuso in A. Vale la proprietà associativa. Esiste un elemento neutro. Esiste un inverso di un elemento rispetto a ┴. Nel caso valga anche la proprietà commutativa il gruppo si dice commutativo, o abeliano. ☼

CAMPO Per definire un campo sono necessari un insieme A e due operazioni ┴ e ×. Questi costituiscono un campo se: (A,┴) è un gruppo. (A,×) è un gruppo. Vale la proprietà distributiva. ☼

ANELLO Per definire un anello sono necessari un insieme A e due operazioni ┴ e ×. Questi costituiscono un anello se: (A,┴) è un gruppo commutativo. (A,×) è un gruppo commutativo. Vale la proprietà distributiva. ☼

Questa presentazione è stata realizzata da: Soliani Mirco & Menini Samuele