PI GRECO DAY – 15 MARZO 2010 – ITIS EINAUDI Progetto creato da Alberto Zanatta, Alex Cavallin, Garbin Filippo, Pellizzer Desy sotto la supervisione dei professori Sorbaioli Francesco e Reginato Michele, con la collaborazione della classe 3B Abacus

È OVUNQUE Sono stati scritti LIBRI, girati FILM, organizzate CONFERENZE... Addirittura a Pi Greco è stato dedicato un giorno dell’anno...

Andiamo a scoprirlo insieme. MA PERCHÈ? Andiamo a scoprirlo insieme.

Un po’ di ... Giusto per iniziare... 3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989 3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151 5574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012 8583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912 9331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279 6782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955 3211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000 8164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333 4547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383 8279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863 0674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009 9465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203 4962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382 6868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388 4390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506 0168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125 1507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858 9009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364 5428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344 0374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061468067491927 8191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961 5679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215 0306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856 1005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007 2305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116...

La storia di errore < 1% è conosciuto fin dall'antico Egitto, nel 3000 a.C. errore < 1% Nel 200 a.C. Archimede si avvicinò a con un errore minore allo 0,03%...

= = 4*(1 - 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9… È uguale a James gregory = 4*(1 - 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9… È uguale a = Da sistemare.

Christiaan Huygens (1629-1695) 1593: Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII: si raggiungono le 10 cifre decimali dopo la virgola. 393.216 lati! 32 miliardi di lati! Willebrord Snell (1580-1626) 3,141592 6272 < π < 3,141592 8320 Ludolph Von Ceulen ( † 1610) Christiaan Huygens (1629-1695) 3,14159265 33 < π < 3,14159265 38

Sempre più cifre... 2002: cifre 1947 – Ferguson: 808 cifre 1954 – NORC: 3089 cifre 51,5 miliardi nel 1997 2002: cifre 1949 – ENIAC: 2037 cifre 1 miliardo nel 1989 1 milione nel 1973 1948 - Smith e Wrench: 1000 cifre

dimostra che è un numero IRRAZIONALE Se fino al 1700 si credeva che fosse un numero finito, nel 1761 Johann Heinrich Lambert dimostra che è un numero IRRAZIONALE

Joseph Liouville Charles Hermite Nei primi anni del 1800 Dimostra l'esistenza dei numeri trascendenti Charles Hermite nel 1873 trova e, primo esemplare dei numeri trascendenti

Ferdinand von Lindemann arriva a capo dell'enigma 1882: Ferdinand von Lindemann arriva a capo dell'enigma sfruttando l'equazione resa famosa da Euler. L’equazione non può avere soluzioni algebriche. Ma Euler ha dimostrato che per cui π non può essere ALGEBRICO. Questo risultato mette fine al problema della quadratura del cerchio. Era impossibile trovare il quadrato equivalente ad un cerchio dato tramite le regole classiche.

CURIOSITÀ

dobbiamo meravigliarci? Qualche coincidenza: dobbiamo meravigliarci? Che in π possa trovarsi tutto, cosa che non è matematicamente stabilita, non significa che tutto ciò che si trova in π sia banale. Ecco alcune stranezze osservate dagli appassionati; ci guarderemo bene dal prenderle sul serio.

Lo “0” fa la sua comparsa per la prima volta soltanto nella 32a posizione dopo la virgola, dopo che tutte le altre cifre si sono presentate già almeno una volta nei primi 13 decimali. Perché questo ritardo dello “0”? Le cifre decimali di π a partire dalla 762a cifra sono “999999”. Non sarebbe sorprendente se ci fosse una sequenza di sei “9” consecutivi nel primo milione di decimali di π, ma non è eccezionale che ciò si verifichi prima del millesimo decimale? Sommando le prime 144 cifre decimali di π si ottiene 666. Dobbiamo concludere che π è diabolico?

Sommando i primi 20 decimali di π dopo la virgola, si ottiene 100. Fra i primi 1.000 interi ottenuti prendendo i decimali di π nell'ordine 3, 31, 314, 3141, 31415, …, solo quattro sono i numeri primi. Il gruppo di tre decimali che termina nella posizione 315 è 315, e quello che termina nella posizione 360 è 360. Se, nell'alfabeto scritto in cerchio, si colorano le lettere che hanno un asse di simmetria verticale(...HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGH...), le lettere non colorate formano gruppi di 3, 1, 4, 1 e 6 lettere.

S’incontra π in matematica e in fisica, ma non in biologia. Questa constatazione sorprendente fu l'origine di un pesce d'aprile che venne fatto a persone molto serie. Nell'aprile del 1995, in un articolo di una pagina, la rivista Pour la science si è divertita a “riportare” la scoperta di un'equipe di ricercatori norvegesi: questi biologi avevano identificato in un cromosoma di un pesce chiamato dipneusta una sequenza di geni corrispondente al numero π scritto in base 4. La scoperta, affermava l'articolo, era dovuta alle straordinarie capacità di memorizzazione di uno studente che aveva riconosciuto π nella successione di lettere A, C, G, T della sequenza del DNA. Si precisava che le ricerche proseguivano su altri animali, e in particolare sulla piovra, il piccione e il picchio verde.

Spesso, i pesci d'aprile pongono domande serie Spesso, i pesci d'aprile pongono domande serie. Cosa c'è d’inverosimile e di ridicolo nel credere che π possa essere contenuto nel gene di un pesce? Perché troviamo normale incontrare π in campi della matematica che non hanno nulla a che fare con il cerchio, un po' dappertutto in fisica (in una formula riguardante il movimento del pendolo, per esempio), e non in biologia? Si possono proporre moltissime spiegazioni: s’intuisce che effettivamente le cose del mondo vivente non hanno la rigidità matematica delle cose fisiche, e perciò π non può essere codificato nel gene del pesce, né in quello di alcun animale. Questa spiegazione, come le ultime altre, appare insoddisfacente. Forse un giorno si comprenderà meglio la natura di questi problemi. A meno che non si finisca per trovare davvero π in un gene! Infatti, se l'articolo pesce d'aprile non avesse parlato con insistenza del porto peschereccio di Hammerfest e non avesse contenuto parecchi indizi sospetti come il nome degli autori (K. Arp, R. Abbit), nessuno avrebbe potuto scorgervi con certezza uno scherzo.

Il messaggio nascosto in π di Carl Sagan Il futuro ci permetterà forse di capire perché è impossibile che π costituisca un messaggio contenuto in un gene. Si potrà anche scoprire che π contiene a sua volta un messaggio? Nel suo romanzo intitolato Contact, pubblicato una decina di anni fa, Carl Sagan – famoso collaboratore della NASA recentemente scomparso – immagina, esplorando le cifre di π, di trovarci un messaggio. Eccone un brano, in cui la conclusione sta nella scoperta:

<<Se all’interno del numero trascendente si nasconde qualcosa, questo qualcosa non può essere stato introdotto che all’origine, nella geometria dell’universo.[…] L’anomalia apparve chiaramente nello scrivere π in base 11, in cui esso si presenta come una successione di zero e di uno.[…] Il programma dispose le cifre secondo una matrice. La prima riga era costituita da una sequenza ininterrotta di zeri da sinistra a destra. La seconda era costituita da un solo uno, esattamente nel mezzo, circondato da zeri da ogni lato. Dopo qualche riga, si vide tracciata, senza alcun dubbio, la curva di un arco composto da numeri uno. La figura geometrica elementare carica di promesse si costruì rapidamente, riga dopo riga. Arrivò infine l’ultima riga, unicamente composta da zeri eccetto che nel suo centro, dove si trovava un solo uno. La riga successiva era costituita solo da zeri, che formavano semplicemente una cornice. Nascosto nei motivi alternati, profondamente sepolto all’interno del numero trascendente, c’era un cerchio perfetto, la cui forma emergeva grazie alle sue unità in un campo di nullità, l’universo aveva una cornice intenzionale, ecco quel che diceva il cerchio. […] Molto al di sopra degli esseri umani, degli dei e dei demoni, […] esiste un’intelligenza che ha preceduto l’universo>>.

Sagan, che dà l’impressione di credere che π sia soprattutto una costante fisica (poiché egli parla di geometria dell’Universo) e sembra confondere la base 11 con la base 2, introduce un’idea divertente. Tuttavia, il messaggio contenuto in π che egli considera la prova di “un’intelligenza che ha preceduto l’Universo” è assai semplice: se l’intelligenza che ha preceduto l’Universo non ha che questo da comunicarci, ciò è deludente. Numerosi matematici sono persuasi che, anche senza miracoli, ciò che si può trovare in π è molto più profondo e interessante del “messaggio intravisto dal romanziere scientifico. D’altronde, se π è normale,in qualche parte delle sue cifre si trova realmente il cerchio che immagina Sagan. Poiché numerosi matematici ritengono che π sia normale, il fatto che serve da conclusione al romanzo non merita davvero lo stupore, posto che questa figura non arrivi presto, cosa che Sagan non precisa nel suo libro.

Studiando i decimali appena ottenuti, i calcolatori di π hanno regolarmente notato certe stranezze di cui riportiamo la lista, senza dubbio non esaustiva.

Rarità di “0” proprio all’inizio della successione Rarità di “0” proprio all’inizio della successione. Il primo “0” appare solamente in posizione 32, e ci sono soltanto due “0” nei primi 50 decimali di π. Tuttavia nei primi 100 se ne trovano già 8 e nei primi 200 ce ne sono ben 19. Più lontano ancora, si trovano 999440 “0” nei primi 10 milioni di decimali, poi 599963005 “0” nei primi 6 miliardi di decimali di π; la proporzione di “0” resta leggermente al di sotto dell’atteso , d’un modo sempre più insensibile e finalmente non significativo. Rarità di “7”. Nei primi 500 decimali se ne trovano 36, che sembrano davvero pochi; nei primi 1000 decimali ci sono 95 “7” ne mancano dunque solo 5; nei primi 10 milioni di decimali si trovano 1000207 “7” e nei primi 6 miliardi, 600009044 “7”. La mancanza iniziale diventa un leggero soprannumero che si troverebbe perfettamente banale se si trattasse di cifre scelte a caso. Presenza di successioni ripetute straordinarie. La presenza della sequenza 999999 tra le posizioni 762 e 767 è inattesa. Nei primi 2 miliardi si trovano anche una sequenza di otto “8” consecutivi, una sequenza di nove “7” consecutivi, e anche una sequenza di dieci “6” consecutivi, come pure la successione “123456789”. Tuttavia sono fenomeni isolati la cui probabilità non è trascurabile in una successione casuale.

Non c’è dunque nulla da ricercare: i tests più sistematici non rivelano niente di rimarchevole nella frequenza delle successioni ripetute. I fratelli Chudnovsky hanno fatto notare che la media degli n primi decimali, che ci si aspetta di trovare vicina a 4,5 poiché è la media di 10 cifre è dapprima leggermente superiore a questo valore nel primo miliardo poi leggermente inferiore nel secondo; tuttavia essi esitano a considerare questo fenomeno come significativo. Essi spiegano anche che “l’osservazione di π - talvolta realizzata associando alle cifre di π grafici tridimensionali in forma di superficie – dà la “sensazione di qualche cosa di sistematico, di cui noi non sappiamo se esso ha una vera origine in π o se risulta solamente da un lavoro che fa il cervello per organizzare strutture disordinate”; i paesaggi ottenuti dai Chudnovsky sembrano loro diversi da ciò che produrrebbe il semplice caso, senza poterne trarre constatazioni certe: “Ci sono meno picchi e meno valli di quelli che ci si aspetterebbe di trovare se π fosse veramente aleatorio”.

La loro conclusione è che, malgrado questa sensazione vaga, e poiché nulla di chiaro è stato provato fino a oggi, bisogna andare a vedere più lontano. I fratelli Chudnovsky sperano che le regolarità, della cui esistenza sembrano persuasi, non si presenteranno troppo lontano, e in ogni caso non al di là di ciò che le nostre macchine future potranno calcolare. Essi infatti valutano, prendendo per base la grandezza dell’Universo visibile, che non si potranno superare le cifre di π (ciò che ci lascia ancora del margine, perché siamo a 2 X ): “Se π non mostra alcun comportamento sistematico prima della posizione sarebbe veramente un disastro, ma ciò nonostante non bisognerebbe rinunciarvi; ci deve pur essere un mezzo per superare l’ostacolo”. Questo mezzo è senza alcun dubbio da ricercarsi nei nuovi risultati di matematica pura e la nuova formula di calcolo di π di P. Borwein, D. Bailey e S. Plouffe ne è forse il segno annunciatore.

A causa dei limiti legati alla fisica del nostro mondo (dimensione degli elettroni, dimensione dell’Universo, velocità della luce, ecc.) taluni valutano che non potranno mai essere calcolate più di 1077 cifre decimali di π, e ciò anche se l’Umanità si consacrasse a questa sfida per secoli utilizzando tutto lo spazio, tutta la materia e tutta l’energia disponibile.

Questa immagine risulta dalla codifica delle prime 262144 cifre binarie di π, disposte da sinistra a destra e dall’alto verso il basso in 512 linee e 512 punti. Ogni “0” dà un punto nero e ogni “1” un punto bianco. Essa è stata realizzata da Elias Broöms.

                                                                               LA STAMPA - Se i «cerchi» nel grano che compaiono ogni estate nei campi inglesi li fanno davvero gli alieni, ora sappiamo che conoscono il «pi greco», quel 3,14 che rappresenta il numero più misterioso della matematica e definisce il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio. Il disegno ritrovato all’inizio di giugno in una coltivazione di orzo a Barbury Castle sembrava uno dei tanti che in questa stagione affollano i campi inglesi e, come al solito, era stato subito fotografato dall’alto da Lucy Pringle, l’instancabile ricercatrice che da più di dieci anni sorvola la campagna alla ricerca di «crop circles». L’immagine della formazione, larga più di 45 metri e ritrovata in una collina dello Wiltshire, è rimasta online nel sito di Lucy (www.lucypringle.co.uk) insieme alle altre apparse in questo mese, e non sembrava nemmeno una delle più belle: una linea a spirale convergente verso il centro, interrotta ogni tanto da inspiegabili scanalature, anch’esse convergenti al centro.  C'è voluto un astrofisico in pensione, Mike Reed, per notare che quel disegno all’apparenza banale nascondeva qualcosa di molto più complesso. Bastava completarlo, tracciando i raggi del cerchio in corrispondenza delle scanalature, per evidenziare il messaggio nascosto: il numero 3,141592654, vale a dire esattamente le prime nove cifre del «pi greco», seguite da un 4 invece che da un 3. Il professor Reed ha intuito che il piccolissimo cerchio, che compariva nelle foto a destra del centro della formazione, rappresentava la virgola del «pi greco» ed il resto - per uno studioso a proprio agio con la matematica - è stato abbastanza facile. Tutti ricordiamo che a scuola il «pi greco» ci consentiva di calcolare l'area di un cerchio, ma di tutti i numeri sembra davvero quello venuto da un altro mondo. 

E' considerato irrazionale, non può essere scritto come quoziente di due interi; è trascendente e non algebrico e quindi è impossibile esprimerlo usando un numero finito di interi. E' un po' complicato da spiegare, ma il «pi greco» ci dice in sostanza perché non è possibile quadrare il cerchio, realizzare cioè con riga e compasso un quadrato della stessa area di un determinato cerchio. Lo Wiltshire è una regione della Gran Bretagna ossessionata dai cerchi fin dall’epoca del suo monumento più famoso e rappresentativo, Stonehenge. Qui, nel 1991, comparve in un altro campo di grano il disegno del frattale di Mandelbrot, nel 1996 il «Julia Set» e nel 1997 i cerchi di Koch, tutte figure molto note ai fisici e ai matematici per la loro estasiante, ripetitiva complessità.  Poco lontano, a Milk Hill, venne trovata nel 2001 la madre di tutti i «crop circles», una formazione a spirale con 400 cerchi di varie dimensioni che si estendeva per 90 mila metri quadrati e che è rimasta imbattuta per l’armonia e la bellezza che esprimeva. Tutte queste figure sono state catalogate con pazienza da Lucy Pringle, che negli ultimi anni ha messo insieme (e a disposizione di tutti) il più straordinario e per certi versi inquietante database di un fenomeno che gli scienziati fanno sempre più fatica ad attribuire - per tranquillizzarci - a quattro burloni che di notte tagliano il grano con una falciatrice. Certamente i burloni esistono, e lo hanno anche confessato. Ma le indagini effettuate da numerosi ricercatori sono arrivate alla conclusione che non sono loro gli autori dei disegni più complessi.

E molte cose restano inspiegabili quando si osservano le formazioni sul terreno, da vicino. Il grano o l’orzo non sono tagliati, ma piegati a spirale, come se fossero stati abbattuti da un vortice. Gli steli presentano strane malformazioni, l’aria sul campo è spesso ionizzata e a terra si ritrovano microsfere di ferro. Intorno ai «cerchi» non c’è traccia del calpestio di qualcuno che si sia avvicinato per realizzarli e in ogni caso sarebbe davvero impossibile disegnare da terra forme così complicate, al buio e in una sola notte. Le formazioni più belle compaiono ogni estate, a giugno e a luglio, nei luoghi più misteriosi dell’Inghilterra: Avebury, Silbury Hill, Stonehenge, quelli delle civiltà preistoriche che hanno lasciato grandi cavalli disegnati sulle alture, innalzato colline per i loro morti e trasportato - non si sa come - megaliti per centinaia di chilometri per realizzare circoli di pietra di cui ancora oggi non capiamo lo scopo. Il mistero continua, e la nuova stagione dei «cerchi» nel grano è appena all'inizio.

Il problema di Malfatti Dato un triangolo, come bisogna disporre al suo interno tre cerchi che non si sovrappongono se si vuole che la loro area totale sia la maggiore possibile? Malfatti formulò nel 1803 un’ipotesi che fu data per risolta per più di 100 anni e questa dice che si devono scegliere dei cerchi in modo che ciascuno tocchi due lati del triangolo ed entrambi i cerchi rimanenti.

L’area totale dei cerchi è Successivamente nel 1930 qualcuno si è accorto che nel caso particolare in un triangolo equilatero, la “soluzione” di Malfatti è sbagliata nella sua cofigurazione: L’area totale dei cerchi è Ma si può migliorare di un po’ il risultato con un cerchio grande e due piccoli: Ma in questo caso l’equazione è la seguente

Calcolato pi greco fino a 2,7 trilioni di decimali Calcolo al pc di informatico francese batte supercomputer LONDRA - Fabrice Bellard, un informatico francese, ha annunciato di aver calcolato il numero "pi greco" fino a quasi 2,7 trilioni di decimali, battendo il record precedente di 2,6 trilioni di decimali realizzato da un supercomputer giapponese 2.000 volte più veloce e migliaia di volte più costoso del semplice pc da lui impiegato. Secondo quanto riporta oggi la stampa britannica, per calcolare il numero Bellard ha sviluppato un suo software che sostiene sia 20 volte più efficiente dei precedenti metodi di calcolo. Il suo computer ha impiegato 131 giorni per completare e controllare il lunghissimo conto, contro le 29 ore del supercomputer dell'università giapponese di Tsukuba, fermatosi però 100 miliardi di cifre più indietro. "Ho letto il mio primo libro sul pi greco quando avevo 14 anni e da allora ho seguito i vari record sul suo calcolo", ha dichiarato Bellard, un impiegato di Paris Telecom Tech, aggiungendo: "ciò che mi interessa non sono le cifre del pi greco. Il pi greco è un modo per mettere alla prova un metodo". Il numero ottenuto da Bellard, spiega oggi il Daily Telegraph, è talmente lungo che se venisse letto alla velocità di una cifra al secondo ci vorrebbero quasi 85.000 anni per finirlo.

BIBLIOGRAFIA Da completare