SFIDA TORINO, 22/05/09 STRATEGIE COGNITIVE ALLA BASE DELL’ALGEBRA E DEI SUOI PROCESSI DI SIMBOLIZZAZIONE E GESTIONE (verso un’ecologia della ricerca didattica) Paolo Guidoni, Dipartimento di Scienze Fisiche, Università di Napoli Federico II il discorso è l’ombra dell’azione Democrito (e viceversa)

indice parte I qualche considerazione di sfondo parte II qualche esempio elementare (ricerca vs storia) parte III qualche osservazione cognitiva

parte I: considerazioni di sfondo I A) SCUOLA di base e RICERCA DIDATTICA, oggi PRESTAZIONI PISA-07 SU ITEMS CONCETTUALMENTE CRITICI: se in Italia sono “persi” il 70% dei ragazzi, in media OCSE sono “persi” il 50% va abbastanza male per tutti (!) - e non c’è gran che da “copiare” CAMBIAMENTI NEL “LIVELLO 1” DI PISA (“INSUFFICIENTE”): media UE: 21.3% (2000) -> 24.1% (2007) (obiettivo Lisbona: 17% (2010)) Italia: 19.0% (2000) -> 26.5% (2007) (obiettivo Lisbona: 17% (2010)) va peggio per tutti (!) - per noi molto peggio DISPERSIONE S.S.S. in Italia record europeo (sopra 30%) - e non migliora SUPPORTO ISTITUZIONALE drastica riduzione di insegnanti e risorse, dissimmetria cruciale fra scuole primarie... CURRICULA E STANDARD ancora indefiniti - intanto INVALSI progetta prove a risposta chiusa... INSEGNANTI abbandonati: “Piani” (MATABEL, ISS, POSEIDON) in stagnazione... demotivati: stipendi al minimo europeo, pagando più tasse del loro dentista,...

oggi la ricerca didattica non è in buona salute: se vuole sopravvivere (affermarsi) come ricerca efficace sulla trasmissione culturale efficace deve saper affrontare le sue condizioni al contorno uscendo dall’autoreferenzialità

parte I: considerazioni di sfondo I B) istruzione vs SVILUPPO RISONANTE DI POTENZIALITA’ il singolo motivo principale per cui “loro” non capiscono... è che non si riesce a spiegare abbastanza bene... il singolo motivo principale per cui non si sa spiegare... è che non si è riusciti a capire abbastanza bene... ma cosa vuol dire “capire”? raggiungere uno stato in cui potenzialità cognitive, strutture culturali e strutture dei fatti sono in risonanza reciproca “produttiva”: il nodo cruciale sono le potenzialità cognitive “primarie” da riconoscere, evocare, avviare a sviluppo esplicito attraverso la mediazione didattica (anche “precoce”)

parte I: considerazioni di sfondo I C) per esempio: dalle POTENZIALITA’ COGNITIVE molte GEOMETRIE, due VIE AL NUMERO,... molte ALGEBRE? La cultura non ha costruito “una” geometria, né “una” aritmetica,: la competenza di comprensione e gestione degli aspetti spaziali della realtà si è evoluta sviluppando (lungo vie variamente intrecciate) diversi modi di guardare, modi di agire, modi di parlare/pensare...: tutti “naturali” (cioè radicati nelle potenzialità cognitive primarie) ma non “spontaneamente” strutturati in modo esplicito in ogni singolo individuo (così per gli approcci al numero, cardinale e ordinale... etc). In modo analogo diverse “algebre” sono in potenza “cognitivamente primarie” e devono/possono essere evocate in modo non artificioso/forzato.

parte I: considerazioni di sfondo I D) il problema dei

per esempio... (è importante distinguere e correlare) C’è un’ legata a gestione/sviluppo della struttura numerica unidimensionale (prima discreta, poi continua) in cui il numero-variabile è in sé “astratto” (semantica di “volte”)... C’è un’ in cui lo spazio di variabili/parametri (concreto o metaforico) ha due o più dimensioni, di necessità semanticamente marcate e a sua volta ogni numero (1d) è sempre a semantica definita... C’è un’ in cui l’elemento-base della struttura è un operatore... C’è un’ In cui l’elemento-base della struttura è un vettore... C’è un’ i cui elementi-base sono stati e trasformazioni

parte II: esempi elementari di gli esempi che seguono sono riferiti a situazioni storiche scelte secondo un criterio “inverso” rispetto a quello usuale: dopo che certi “passaggi” cognitivi si sono rivelati cruciali nella modellizzazione dei risultati di ricerca è stato possibile rintracciarne il ruolo anche in alcuni contesti storici in cui aspetti scientifici e aspetti matematici si intrecciano in risonanza reciproca aspetto comune: esplicitazione di un vincolo caratterizzante (fisico-e-formale)

parte II: esempi elementari di II A) Platone e le variabili continue (dal FILEBO) PRIMO PRINCIPIO:... processi indefiniti, crescenti o decrescenti (del caldo e del freddo, del secco e dell’umido, del veloce e del lento, del grande e del piccolo, del più e del meno, e così via)... tutti processi che abbiamo raccolto in un concetto unico: quello di una condizione che in sé ammette il più e il meno... in cui un’intensità si accresce e si diminuisce...: la condizione cioè di indefinito o di indeterminato SECONDO PRINCIPIO:... quanto invece non accoglie tali caratteristiche, e accoglie anzi la condizione contraria – determinante o limitante: per esempio ciò che è uguale e accoglie il concetto di uguaglianza, e ciò che è doppio... e tutto ciò che rispetto a un numero pure è numero, ciò che rispetto a una misura pure è misura TERZO PRINCIPIO: una volta mischiati insieme questi due principi, la generazione dell’uguale e del doppio... infondendo in quei processi un numero, rende i contrari commisurati e armonizzabili... in quanto capace di far cessare il processo della loro reciproca indeterminazione... e di produrre giusta misura in sé stessa, e giusta misura di rapporto con altri fenomeni QUARTO PRINCIPIO: prima viene l’indeterminato, secondo il determinante; da questi due come terza proviene una sostanza commista che diviene (!!!)... e come quarta la causa del mescolamento e del divenire...

parte II: esempi elementari di II B) sul rapporto disomogeneo EUCLIDE esclude in sostanza che si possa dare significato a un rapporto disomogeneo (non espresso in “volte”) ARISTOTELE ha idee “chiare” sulle relazioni fra matematica e fisica (cfr Platone!)...siccome la stessa natura si dice in due sensi - materia e forma, non possiamo indagarla senza materia, né secondo la sola materia. Ma se la natura è doppia, fisica e matematica, … gli stessi corpi naturali esibiscono anche tutti gli enti che sono studiati dai matematici: ma il matematico studia le proprietà di tali enti non in quanto appartenenti a entità naturali, e da queste le separa … e adopera il rapporto (disomogeneo) fra peso del corpo e densità del mezzo per “dimostrare” l’inesistenza del vuoto (“altrimenti”, velocità (limite) infinita)

parte II: esempi elementari di II B) sul rapporto disomogeneo ARCHIMEDE attribuisce significato matematico-e-fisico al rapporto fra peso e volume gestito come variabile GALILEO attraverso una geometrizzazione metaforica delle tre variabili spazio, tempo e velocità “dimostra” le leggi del moto uniforme e uniformemente accelerato (v = s/t, etc) TORRICELLI -introduce gli incrementi “indivisibili” nei calcoli delle aree -riprende un discorso intuitivo di correlazioni d’ordine per matematizzare nel modo più semplice (compensazione moltiplicativa) il livello in un recipiente sotto un flusso F d’acqua (costante o variabile): F Dt = S Dh (S parametro- sezione) (da cui “definizione” correlata di velocità e flusso)

-individua la stessa correlazione d’ordine (alla Platone) nel moto di un corpo di massa M spinto da una forza F, e vi ipotizza un isomorfismo di formalizzazione “minimale”: F Dt = M Dv (v ora è la variabile-velocità, da cui definizione e gestione di “forza”, “accelerazione” e “impulso”) -problema: non controlla il criterio di convergenza del limite Dv/Dt (pure gestito implicitamente in ambito geometrico) e finisce nel paradosso -In altro contesto: in una esperienza di confronto fra deformazione elastica statica (correlata alla forza) e deformazione elastica massima (correlata all’energia) non riesce a “vedere” una dipendenza in un caso lineare, nell’altro quadratica nella variabile, a parametri fissi

parte II: esempi elementari di II C) la deformazione elastica “à la Thom” La deformazione elastica elementare F = -K (L-L°) (come una varietà di correlazioni lineari di esperienza comune) può essere vista come forma vincolare invariante (sorgente di ulteriori invarianti) caratterizzata da due parametri che definiscono il sistema (K e L°) e due variabili che ne fissano la configurazione. L’osservazione di Thom sullo split dello spazio astratto globale 4d in due sottospazi 2d indipendenti, a diversa semantica, apre la strada a una efficace gestione cognitiva generalizzata delle forme algebriche elementari in termini di variabili e parametri in cui l’ ha un significato contestualmente dinamico

parte II: esempi elementari di II D) dall’algebra all’analisi Una forma lineare come F = - K (L – L°) (“vincolo di stato”) si “integra” banalmente per via geometrica a definire una corrispondente forma quadratica E = ½ K (L – L°)*2: il nodo concettuale connesso è però il “passaggio” semantico da una componente di invarianze differenziali (“equilibri”) a una componente di invarianze integrali (“conservazioni”). E’ in questo contesto allargato che emergono: -il ruolo cruciale dei “modi di guardare” che, a monte della formalizzazione dei modelli, definiscono i significati primari e quindi la stessa validità originaria delle forme prescelte -il significato inestricabilmente unitario/risonante dell’aspetto formale e dell’aspetto fisico nella descrizione del mondo: il fatto che la manipolazione formale di fatto produce risultati semanticamente interpretabili garantisce che la matematica è parte del mondo quanto è parte dei nostri modi di pensare

parte III: osservazioni cognitive III A) GALILEO: epistemologia e conoscenza... la natura aver fatte prima le cose a suo modo, e poi fabbricati i discorsi umani abili a poter capire (ma però con fatica grande) alcuna cosa ben è egli stato a me laborioso il ritrovare in qual maniera ciò possa effettuarsi in natura... la quale anco le cose all’intelletto nostro d’infinito stupore opera ella con somma facilità e semplicità il grande libro della natura è scritto in una lingua ma per interposto discorso... si “fabbrica” progressiva (faticosa-stupefatta) RISONANZA fra fatti naturali e discorsi umani: ma a risonanza raggiunta, pensiero scientifico e pensiero formale sono del tutto integrati fra loro e con l’esperienza COSI’ COME accade nella lingua naturale

parte III: osservazioni cognitive III B) sistemi/interazioni e variabili/relazioni,... stati e trasformazioni,... riferiti al mondo in generale e formalizzati in “discorsi”, sono la controparte risonante di constatazioni e azioni, riferiti alla conoscenza in generale; (ed è lo stesso per tutte le “categorie” che organizzano il pensiero naturale) in questo spazio complesso nasce e cresce la “scoperta” culturale dell’algebra (delle algebre) come potente strumento di controllo affine ma distinto dalla lingua naturale: per svilupparlo serve una sistematica

parte III: osservazioni cognitive in conclusione I Serve una ricerca sistematica sullo sviluppo del pensiero algebrico nelle sue varie forme a livello di formazione culturale di base Serve una impostazione/gestione/valutazione “ecologica” della ricerca raccordandosi in risonanza alle potenzialità naturali del pensiero e seguendone interattivamente lo sviluppo (le “prove” alla Piaget o alla Dehaene non servono più a granché)

parte III: osservazioni cognitive in conclusione II: un “problema” per tutte le stagioni Primo problema di Gioele Il pastore Gioele ha un piccolo gregge con 40 pecore e il cane Melampo e deve attraversare il fiume. Il barcaiolo Ascanio ha una piccola barca che può portare al massimo una persona e 8 pecore, oppure due persone e 6 pecore ( un cane occupa il posto di una pecora). Per ogni viaggio (andata e ritorno) Ascanio chiede un compenso di 4 euro. Nel primo viaggio bisogna che in barca ci sia anche Melampo, che poi rimane a far la guardia alle pecore al di là del fiume. Nell’ultimo viaggio bisogna che in barca ci sia anche Gioele, che è rimasto a far salire tutte le pecore. Quanto spende Gioele? Dopo 10 giorni Gioele deve tornare indietro: ha comprato al mercato 11 agnelli e ha venduto due pecore ( In barca due agnelli occupano il posto di una pecora). Però questa volta è domenica e Ascanio chiede un prezzo doppio. Quanto spende Gioele?

parte III: osservazioni cognitive in conclusione II: un “problema” per tutte le stagioni Secondo problema di Gioele E’ inverno e il pastore Gioele deve comprare del fieno per le sue 36 pecore, perché ha nevicato e le pecore dovranno restare al chiuso per un po’ di tempo. Così va al Consorzio a comprare del fieno con il camioncino, insieme il suo amico Emanuele che invece ha solo 24 pecore. Il fieno si vende in balle da 50 chili l’una. Gioele compre12 balle, Emanuele ne compra 6. Avranno più da mangiare le pecore di Gioele o quelle di Emanuele? Se i due amici avessero deciso che tutte le pecore devono poter mangiare in modo uguale, come avrebbero potuto fare?

parte III: osservazioni cognitive in conclusione II: progresso attraverso le stagioni una linea di lavoro continua dai 4 ai 14 anni attraverso livelli e modalità di simbolizzazione per l’algebra additiva e moltiplicativa sperimentata in tutte le classi di una scuola elem. (e la media … ???)