Aspettative e comunicati della Banca Centrale Ruolo e funzionamento dei mercati finanziari Equilibrio e efficienza dei mercati I tassi corporate Tassi a lunga nella zona-Euro e negli USA Aspettative e comunicati della Banca Centrale Il mercato del future sull'euribor e la BCE

Aspettative e comunicati della Banca Centrale Ruolo e funzionamento dei mercati finanziari Equilibrio e efficienza dei mercati I tassi corporate Tassi a lunga nella zona-Euro e negli USA Aspettative e comunicati della Banca Centrale

Una vecchia idea: They were awarded the Nobel Prize in 2004 for showing, in a theoretical framework, that policy-makers face a severe problem of ‘time-inconsistency’ – they tend to renege systematically on their past promises – and so it is in the public interest to ignore their declarations.

Ma le idee sono cambiate 4

Which are ECB traditional monetary policy instruments? Central Banks and the Public: The Importance of Communication (Jean-Claude Trichet, 18-nov-2008) A central bank has two instruments: [the official interest rate (Repo) and its communications]…, which are not substitutes, but rather complement each other The introductory statement at the monthly press conference after the first Governing Council meeting in each month is an important vehicle of communication it conveys the collective view of the Governing Council on the monetary policy stance ... [and, therefore, on the future path of the official interest rate]

Central Banks and the Public: The Importance of Communication (Jean-Claude Trichet, 18-nov-2008) the ECB’s press conferences have – on average – larger effects on asset prices than do announcements of policy decisions. At the same time, these larger effects on interest rates are accompanied by smaller effects on the volatility of asset prices Market participants appear to have been able gradually to converge to a thorough understanding of the ECB’s monetary policy framework and communication mode.

http://www. ecb. int/press/govcdec/mopo/2009/html/index. en http://www.ecb.int/press/govcdec/mopo/2009/html/index.en.html IL PRIMO STRUMENTO: IL TASSO PRESS RELEASE 8 October 2009 - Monetary policy decisions At today’s meeting, which was held in Venice, the Governing Council of the ECB decided that the interest rate on the main refinancing operations and the interest rates on the marginal lending facility and the deposit facility will remain unchanged at 1.00%, 1.75% and 0.25% respectively. The President of the ECB will comment on the considerations underlying these decisions at a press conference starting at 2.30 p.m. CET today.

Eventi del giorno della riunione del Consiglio Direttivo (ora di Francoforte) 13.45 14.30 ore Decisione sul Repo Inizio discorso Apertura Quotazione Euribor 8

I motivi di una corretta informazione secondo la BCE Informazioni sull’obiettivo inflazionistico: questo è per influenzare le aspettative di medio-lungo periodo sull’inflazione La definizione “eterna” di stabilità dei prezzi, “un tasso d’inflazione inferiore ma vicino al 2% nel medio periodo (=18-24 mesi), contribuisce a stabilizzare le aspettative inflazionistiche di medio-lungo periodo.

I motivi di una corretta informazioni secondo la BCE 2) Informazioni sul futuro sentiero dei tassi (sul futuro sentiero della politica monetaria) : questo è per influenzare le aspettative di breve-medio periodo sull’andamento del tasso ufficiale La definizione “eterna” di stabilità dei prezzi non è sufficiente per l’efficienza della politica monetaria. Questa è la spiegazione che dà la BCE:

Che cosa dice la BCE Central banks directly control only very short-term interest rates, but the level of the money market interest rates of other maturities (1-12 months) is also significant for the transmission of monetary policy, but they are strongly influenced by short term expectations “Near-term horizons money market interest rates mainly reflect market expectations about the near term path of monetary policy” If money interest rates move in the right direction, and in advance with respect to monetary policy moves if and only if the public anticipates monetary policy decisions correctly. A correct interpretation by the market of the monetary policy decisions taken by the central bank reduces the volatility of interest rates, and a good understanding of monetary policy allows private agents to better manage and hedge their risks, which may contribute to reducing both market uncertainty and risk premia. This enhances economic welfare. 13

Rt+Et[Rt+1] + Et[Rt+2] +...+ Et[Rt+ (N-1)] Legame fra i tassi di diversa scadenza (valido per N non troppo grande, diciamo fino a 12 mesi) Rt+Et[Rt+1] + Et[Rt+2] +...+ Et[Rt+ (N-1)] N dove: R è il tasso ufficiale (REPO) RN è il rendimento di mercato a scadenza N h dipende (1) positivamente dal rischio (sia di default che di liquidità, etc.) dell’attività, (2) positivamente dalla durata dell’attività, (3) negativamente dalla liquidità del sistema Tenendo presente che per definizione Et[Rt+j]  Rt+j-1 + Et[∆Rt+j] La formula puo anche essere riscritta come: RNt = + h

Rt+Et[Rt+1] + Et[Rt+2] +...+ Et[Rt+ (N-1)] Legame fra i tassi di diversa scadenza (valido per N non troppo grande, diciamo fino a 12 mesi) Rt+Et[Rt+1] + Et[Rt+2] +...+ Et[Rt+ (N-1)] N dove: RN è il rendimento di mercato a scadenza N R è il rendimento a scadenza 1 che è legato al tasso ufficiale h dipende (1) positivamente dal rischio (sia di default che di liquidità, etc.) dell’attività, (2) positivamente dalla durata dell’attività, (3) negativamente dalla liquidità del sistema Tenendo presente che per definizione ∆j xt  xt – xt-j ∆j xt+j  xt+j – xt xt+j  xt + ∆j xt+j RNt = + h

Et[Rt+j]  Rt + Et[∆jRt+j] E quindi Et[Rt+j]  Rt + Et[∆jRt+j] La formula del tasso RN può anche essere riscritta come: RN,t = + h = + h = Rt + + h Rt+(Rt+Et[∆1Rt+1])+(Rt+Et[∆2Rt+2]) +...+(Rt+Et[∆N Rt+N-1] N N Rt + Et[∆1Rt+1])+Et[∆2Rt+2]) +...+Et[∆N Rt+N-1] N Et[∆1Rt+1])+Et[∆2Rt+2]) +...+Et[∆N-1 Rt+N-1] N Attuale valore del tasso ufficiale Aspettative sulle future variazioni dei tasso ufficiale

In alternativa si può presentare la relazione anche in questo modo alternativo: ∆N Rt+h = ∆1 Rt+1 + ∆1 Rt+2 + ∆1 Rt+3 + …. ∆1 Rt+h ∆N Rt+h = ∆ Rt+1 + ∆ Rt+2 + ∆ Rt+3 + …. ∆ Rt+h Quindi,per esempio Et[∆1Rt+1]) + Et[∆2Rt+2]) +Et[∆N+3 Rt+3] ∆ Rt+1 ∆ Rt+1 + ∆ Rt+2 ∆ Rt+1 + ∆ Rt+2 + ∆ Rt+3

Da cui si arriva a questa formula equivalente: RN,t = Rt + + h (N-1)Et[∆Rt+1] + (N-2) Et[∆ Rt+2] +...+ Et[∆ Rt+ (N-1)] (N-1) Attuale valore del tasso ufficiale Aspettative sulle future variazioni dei tasso ufficiale

Di conseguenza: La BCE influenzando le aspettative sul tasso ufficiale influenza i tassi a scadenza non brevissima RNt Se poi la sua politica è coerente con i suoi annunci si ottiene che il tasso di mercato su muove in anticipo rispetto al tasso ufficiale. Infatti l’aspettativa precede il valore valore effettivo, ma se il tasso si muove in sintonia con le aspettative anticipa il valore effettivo se le aspettative risultano poi corrette. Più le aspettative sono esatte e meno oscilla RNt

Periodo della crisi e delle misure “atipiche” Periodo della “strong vigilance”

La rilevanza della trasparenza For those reasons transparency itself is an important component of the monetary policy framework, since it helps the public to anticipate CB moves correctly On the other hand, an important component of transparency is an effective and efficient communication process. It is important that both the central bank and the public share a common framework and language, and this requires that the central bank organises and presents the information available in a structured manner

Limiti alla trasparenza Transparency, however, cannot arrive to the point that central banks should provide precise indications of their future policy intentions as well as their current policy stance because, owing to general uncertainty about present and future developments in the state of the economy, any central bank must always remain in a position to reconsider its assessment when circumstances change

C’è un’ulteriore motivo (teorico) per non dare informazioni troppo precise, cioè non quantitative. Se gli operatori (es. i fondi d‘investimento) oltre alla massimizzazione del rendimenti avessero anche l’obiettivo di avere un rendimento non troppo lontano dalla media degli altri (per non rischiare di avere un rendimento molto inferiore a quello degli altri), avrebbero convenienza ad agire tenendo in particolar conto le azioni degli altri che, a loro volta, dipendono dalle opinioni di questi, a loro volta influenzate dalle informazioni fornite dalla banca centrale. Piu’ precise fossero le informazioni fornite dalla Banca Centrale e piu’ gli investitori istituzionali trascurerebbero le altre informazioni a loro disposizione.

Se le informazioni fornite dalla BCE fossero troppo precise, la loro interpretazione sarebbe univoca, tutti saprebbero con esattezza come gli altri operatori interpretano i comunicati della Banca Centrale. Alle informazioni quantitative fornite dalla BC verrebbe assegnato un peso eccessivo che potrebbe portare a una sottovalutazione dell’incertezza a cui la stessa Banca è sottoposta, specialmente in alcuni periodi. (anche la Fed non dà informazioni quantitative)

Example of a Press Conference (7th July 2005) 25 25

Es. Press Conference del 5-11-2009 http://www. ecb "On the basis of its regular economic and monetary analyses, the Governing Council decided to leave the key ECB interest rates unchanged. The current rates remain appropriate." e, in risposta a un giornalista: "In response to your final question, it is not our intention at all at the moment to change the way the market is functioning. We are satisfied with the present functioning of the market. The EONIA is close to the deposit rate because of the way we are handling liquidity. It is not our intention to change that in the next period of time."

Alcune espressioni chiave (primo e ultimo statement) Strong vigilance è un “neologismo” che dall’ottobre 2005 al giugno del 2007 ha suggerito che il Repo sarebbe stato aumentato nella riunioni successiva.

La Fed è della stessa idea della BCE sull’importanza della comunicazione: Short-term interest rates, such as those on Treasury bills and commercial paper, are affected not only by the current level of the federal funds rate but also by expectations about the overnight federal funds rate over the duration of the short-term contract. It is for these reasons that market participants closely follow data releases and statements by Federal Reserve officials, watching for clues that the economy and prices are on a different trajectory than had been thought, which would have implications for the stance of monetary policy.

Ma è più esplicita della BCE anche se condivide l’utilizzo di espressioni solo qualitative (parole) Es. Fed Release: November 4, 2009 http://www.federalreserve.gov/newsevents/press/monetary/20091104a.htm "In these circumstances, the Federal Reserve will continue to employ a wide range of tools to promote economic recovery and to preserve price stability. The Committee will maintain the target range for the federal funds rate at 0 to 1/4 percent and continues to anticipate that economic conditions, including low rates of resource utilization, subdued inflation trends, and stable inflation expectations, are likely to warrant exceptionally low levels of the federal funds rate for an extended period."

Ma anche la BCE si fa capire SECONDO TRICHET “Market participants appear to have been able gradually to converge to a thorough understanding of the ECB’s monetary policy framework and communication mode.” (Central Banks and the Public: The Importance of Communication (Jean-Claude Trichet, 18-nov-2008) Inoltre talvolta la stessa BCE ha precisato il significato di alcune espressioni

Il significato di “appropriate” (e dei suoi sinonimi) “If we use the word "appropriate" we expect it [= il Repo] to remain valid for a considerable period of time (Duisenberg: 6 marzo 2003).” As regards the enhanced credit support that we are embarking on – both the covered bonds and the liquidity supply, as well as all the measures that we have taken with regard to full allotment and the enlargement of collateral – is appropriate. That is true also for the interest rates themselves, and we do not envisage anything [to change ] at the present moment. (Trichet 3 luglio 2009) We did not decide today that this was the lowest [Repo] level we would ever attain under any circumstances. But we judge that the interest rates are appropriate and we will continue to monitor the situation very closely. (ibidem)

Il significato di “strong vigilance” Dalla fine del 2005 fino al luglio 2007, in fase di aumenti dei tassi ufficiali, la BCE ha espresso la sua intenzione di aumentare i tassi di 25 punti base nella sucessiva riunione introducendo l’espressione “strong vigilance” nelle sue principali sintesi della conferenza stampa e descrivendo ogni volta le variazioni del tasso ufficiale come “modeste” Gli operatori sono stati informalmente avvertiti di questo significato delle parole “strong vigilance” da Trichet nelle risposte ai giornalisti Il mercato ha ogni volta assunto delle aspettative legate alla presenza o meno di “strong vigilance”

Aspettativa della futura variazione del tasso ufficiale nel giorno successivo alle riunioni. (nota: l’espressione utilizzata il 5/6/2008 è stata “heightened alertness”, v. le due pagine precedenti

Altro esempio di spiegazione delle parole: La “heightened alertness” del 5 giugno 2008 Il 5 giugno del 2008 Trichet ha usato l’espressione “heightened alertness” nelle due sintesi. Nelle risposte ai giornalisti ha poi spiegato che questo termine significava che: “Non si può escludere che, dopo aver attentamente esaminato la situazione, nel prossimo incontro il Consiglio possa decidere di muovere i tassi di un piccolo ammontare” Il mercato ha interpretato questa precisazione come un’equivalenza di questa espressione con strong vigilance

Siccome il mercato non si aspettava un tale annuncio, i prezzi e i rendimenti ne hanno subito subito l’impatto: ecco la reazione del prezzo del future sull’Euribor a 3 mesi (FEU3):

Main Press Conference statements 36

= Non sono al momento previste variazioni dei tassi 37

Di conseguenza: La BCE influenzando le aspettative sul tasso ufficiale influenza i tassi a scadenza non brevissima RNt Se poi la sua politica è coerente con i suoi annunci si ottiene che il tasso di mercato su muove in anticipo rispetto al tasso ufficiale. Infatti l’aspettativa precede il valore valore effettivo, ma se il tasso si muove in sintonia con le aspettative anticipa il valore effettivo se le aspettative risultano poi corrette. Più le aspettative sono esatte e meno oscilla RNt

Ovviamente: - le aspettative diventano più omogenee da individuo a individuo Conseguenze…..

La rilevanza della trasparenza For those reasons transparency itself is an important component of the monetary policy framework, since it helps the public to anticipate CB moves correctly On the other hand, an important component of transparency is an effective and efficient communication process. It is important that both the central bank and the public share a common framework and language, and this requires that the central bank organises and presents the information available in a structured manner

Limiti alla trasparenza Transparency, however, cannot arrive to the point that central banks should provide precise indications of their future policy intentions as well as their current policy stance because, owing to general uncertainty about present and future developments in the state of the economy, any central bank must always remain in a position to reconsider its assessment when circumstances change

C’è un’ulteriore motivo (teorico) per non dare informazioni troppo precise, cioè non quantitative. Se gli operatori (es. i fondi d‘investimento) oltre alla massimizzazione del rendimenti avessero anche l’obiettivo di avere un rendimento non troppo lontano dalla media degli altri (per non rischiare di avere un rendimento molto inferiore a quello degli altri), avrebbero convenienza ad agire tenendo in particolar conto le azioni degli altri che, a loro volta, dipendono dalle opinioni di questi, a loro volta influenzate dalle informazioni fornite dalla banca centrale. Piu’ precise fossero le informazioni fornite dalla Banca Centrale e piu’ gli investitori istituzionali trascurerebbero le altre informazioni a loro disposizione.

Se le informazioni fornite dalla BCE fossero troppo precise, la loro interpretazione sarebbe univoca, tutti saprebbero con esattezza come gli altri operatori interpretano i comunicati della Banca Centrale. Alle informazioni quantitative fornite dalla BC verrebbe assegnato un peso eccessivo che potrebbe portare a una sottovalutazione dell’incertezza a cui la stessa Banca è sottoposta, specialmente in alcuni periodi. (anche la Fed non dà informazioni quantitative: l’approccio però è (in parte) cambiato recentemente)

The effect of words on 2- and 5-month expectations on the Repo changes (BFINANCE consensus before the Meeting). (“Appropriate” means: “no interest rate movements are expected for a while”; “Downward risks” means “the probable interest path is downward”)

Un altro risultato previsto dalla teoria è che, prima della riunione del Consiglio Direttivo della BCE, il mercato ha un’aspettativa sia del valore del nuovo tasso E[R] che del contenuto della conferenza stampa E[Words] , cui i “prezzi” delle attività risultano già adeguati. Nel caso vi siano delle “sorprese” o shock Monetary policy shock: MPS = R- E[R] News shock: NS = Words- E[Words] Il mercato dovrebbe reagire alle sorprese con variazioni dei tassi e dei prezzi. Nel caso di dati tick-by-tick si possono facilmente separare i due effetti perché le due sorprese si formano in momenti diversi (alle 13:45 la prima e dopo le 14:30 la seconda)

L’Effetto della sorpresa sei comunicati era noto da tempo: si veda questo grafico di un Osservatorio Monetario del 2004 = differenza tra il contenuto della conferenza stampa e quello che il mercato si aspettava che il Presidente avrebbe detto

The capacity of central bank communication to serve as a focal point for private expectations can become particularly valuable in the event of major shocks and market disruptions. In periods of stress when uncertainty about the economic outlook rises and markets may become disorientated, effective central bank communication is particularly important for a realignment of expectations regarding the future course of monetary policy and for conveying a sense of direction.

Nel periodo di crisi anche le comunicazioni sulle future operazioni di liquidità hanno avuto forti impatti sui tassi Chart 1 shows the absolute average daily change in three-month EURIBOR futures on selected days since August 2007. Money market movements were significantly more pronounced on days with announcements of monetary policy actions, including both standard and non-standard measures, than on days without such communications. This holds true for the entire maturity spectrum. Moreover, the EURIBOR futures market seems to have been even more strongly reactive on the days when the ECB announced its additional longer-term refinancing operations, in particular for horizons from six to ten months.

Annuncio OMT

Comunicati della BCE e tasso minimo «appropiate» e stima del Repo OK «appropiate» ma stima del Repo molto sotto il valore effettivo Non c’è «appropriate» !!!!

fine

Un future sull’Euribor (es Un future sull’Euribor (es. il FEU3 dell’Eurex o il future del Liffe) a “consegna [delivery] marzo 2011” stipulato il 3 ottobre 2010 è un contratto stipulato in data 3 ottobre 2010 con cui il una parte si impegna a concedere all’altra, a un certo tasso prefissato nel contratto, un prestito di durata tre mesi con inizio a marzo 2011 (e che gli sarà quindi rimborsato a giugno 2011).

Per chi effettua il prestito non è conveniente effettuare l’operazione a un tasso più basso di quello che prevede che ci sarà in futuro sul mercato a pronti. (perché impegnarsi a concedere in futuro un prestito al 2% se si prevede che nel futuro il tasso sarà il 4% ?) Per chi riceve il prestito non è conveniente effettuare l’operazione a un tasso più alto di quello che prevede che ci sarà in futuro sul mercato a pronti (perché impegnarsi a prendere a prestito in futuro una certa somma al 6% se si prevede che nel futuro il tasso sarà soltanto del 4% ?) L’unico caso in cui le controparti possono firmare il contratto è quindi quello in cui il rendimento del future è uguale a quello atteso in futuro sulle analoghe operazioni finanziarie.

F3t,h = E[R3t+h] + premio di liquidità Ne consegue che, per es, un FEU3 a “consegna [delivery] marzo 2006” stipulato il 14 novembre 2005 deve avere un rendimento allineato al rendimento a pronti che il mercato si aspetta che a marzo 2006 ci sarà sull’Euribor a 3 mesi. F3t,h = E[R3t+h] + premio di liquidità NOTA: Il “rendimento” dei future sull’Euribor si calcola facendo 100 meno il “prezzo” Quindi il future sui tassi è un indicatore delle aspettative del mercato sul tasso futuro (esattamente come il tasso implicito)

L’aspettativa ricavata dal tasso implicito dello spot è invece (vedi teoria delle aspettative per la struttura dei tassi di ECON. MON del terzo anno della triennale) I3t,h ≡ [(h+3) Rh+3, t – h Rh, t ] / 3 = E[R3, t+h] + premio di liquidità Dove: Rh, t è l’attuale tasso di scadenza h; Rh+3, t è l’attuale tasso di scadenza h+3; I3t,h è l’attuale tasso “implicito” trimestrale , (= calcolato in t) riferito al tempo t+h

Quindi, in equilibrio (dato che i due termini di destra sono gli stessi): F3t,h = I3t,h

E’ efficiente questo mercato? Attenzione: il future sull’Euribor è quotato espresso in prezzo, con il prezzo dato da 100-il tasso (in %). (Il grafico relativo al tasso va quindi visto capovolto)

I due mercati (Eurex e Liffe) sono perfettamente integrati

Il future è perfettamente integrato con lo spot

Il future va subito in equilibrio

Volume medio delle transazioni durante i diversi momenti della giornata

Volume medio delle transazioni durante i diversi momenti della giornata

Piccole sorprese Grosse sorprese

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Bolle e mode (Camerer) Ruolo e funzionamento dei mercati finanziari Equilibrio e efficienza dei mercati I tassi corporate Tassi a lunga nella zona-Euro e negli USA Aspettative e comunicati della Banca Centrale Il mercato del future sull'euribor e la BCE Bolle e mode (Camerer) La caduta dei prezzi azionari di fine millennio Bolle finanziarie e psicologia umana Effetto delle aspettative eterogenee

Casi in cui non vale l’efficienza valutativa (e in certi casi anche informativa) Bolle razionali di rendimenti Mode di opinioni di utilità Macchie solari Bolle informative

Un esempio di (probabile) bolla. L’andamento dell’indice S&P ind Un esempio di (probabile) bolla. L’andamento dell’indice S&P ind. 500la caduta del prezzo (-20,5%) è avvenuta in pochi minuti il 19 ott. 1987 (“lunedì nero”) nel biennio 2006-2007 la caduta del prezzo (-20,5%) è avvenuta in pochi minuti il 19 ott. 1987 (“lunedì nero”)

Come si individua la presenza di una bolla? Premesso che individuare la presenza di una bolla non è agevole perché non è sempre distinguibile da altre irregolarità dei prezzi si possono dare alcune indicazioni:

Confrontare il prezzo con una stima del fondamentale Se non è disponibile una stima del fondamentale il procedimento precedente non è ovviamente utilizzabile. L’unica soluzione (che è tutt’altro che affidabile) consiste nel verificare se il movimento dei prezzi è coerente con quello previsto da una bolla - i giorni in cui il prezzo è salito devono essere più numerosi dei giorni in cui il prezzo è sceso - devono essere più numerosi i periodi in cui il prezzo è salito ininterrottamente (es. 5 giorni di + + + + +) dei periodi un cui è sceso ininterrottamente (es. 5 giorni di - - - - -); le più grosse variazioni assolute devono essere di segno negativo test basati sulla volatilità

A proposito della stima del fondamentale si dimostra che la formula Vt = + + + + …  può essere approssimata da:  Et [Dt+1] Et[Dt+2] Et[Dt+3] Et[Dt+4] (1+rt) (1+rt)2 (1+rt)3 (1+rt)4 DNt rt – gNt Dove DtN è la stima in t del livello del dividendo “normale” dell’esercizio t (= al netto delle componenti transitorie), gtN è la crescita attesa tendenziale dei dividendi

Quest’ultima formula è equivalente a: Vt = = DtN UtN rt – gNt rt – g′Nt Dove UtN è la stima in t del livello dell’utile “normale” dell’esercizio t (= al netto delle componenti transitori, g’Nt è la crescita attesa tendenziale “autonoma” (o “naturale”) degli utili (= crescita depurata per l’effetto del’autofinanziamento e dell’aumento dell’indebitamento)

Da questa relazione si ricava anche: DtN / Vt = rt – gD,tN UtN / Vt = rt – g′UtN E ipotizziamo (ipotesi nulla H0) che il prezzo sia uguale al fondamentale. Respingeremo poi quest’ipotesi se è palesemente contraddetta dai dati

V = U / (R – g) U / V = R – g U / V = α + β Robb – gY Esprimendo il rendimento R delle azioni come funzione del rendimento delle obbligazioni Robb più una costante α per il premio al rischio, e g mediante una funzione lineare della crescita annua attesa dei profitti delle imprese calcolata in qualche modo, e che può anche essere approssimata dalla crescita gY del PIL NOMINALE, la relazione può essere scritta nella forma: U / V = α + β Robb – gY

Dalla relazione: U / V = α + β Robb – gY Calcolando la differenza diff = U / V – ( α + β Robb – gY ) Quando diff è negativo significa che il rapporto U/V è troppo basso (ovvero V è troppo alto). Capovolgendo il grafico di diff, le punte in cui V è troppo alto diventano punte positive (che è il modo usuale in cui di solito vediamo i valori alti e bassi di una variabile)

Aggiornamento

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