Programmazione lineare Rossi Marco & Carisi Matteo classe 5 ISA 26/03/13 Programmazione lineare Istituto C.Zuccante A.S. 2012/2013 1/10

Campi di applicazione La programmazione lineare serve per determinare l’allocazione ottimale di risorse disponibili in quantità limitata, per ottimizzare il raggiungimento di un obiettivo prestabilito, in condizioni di certezza. Problema Modello matematico lineare Algoritmi matematici standard Metodo del simplesso 2/10

Formulazione di un modello di programmazione lineare: CONDIZIONI Variabili di decisione non negative Criterio selezione variabili: funzione obiettivo Insieme equazioni o disequazioni lineari: insieme dei vincoli 3/10

Formulazione di un modello di programmazione lineare: MODO STANDARD Date le variabili di decisione x1,x2,…,xn (positive) determinare il massimo della funzione Z= c1x1 + c2x2 +….+ cnxn soggetta a particolari vincoli Ak1xk1 + ak2xk2 +….+ aknxn <= bk 4/10

Metodo grafico Per risolvere un problema di programmazione lineare con due sole variabili di decisione si può usare il metodo grafico. si definisce l’area da prendere in considerazione in base ai vincoli di non negatività si impongono i limiti ⇒ si definisce l’insieme delle soluzioni accettabili si disegnano le rette parallele associate alla funzione obiettivo si calcola il valore che assume la funzione obiettivo nei vertici (soluzioni accettabili di base) il valore più grande (o più piccolo) è associato alla soluzione ottimale 5/10

Esempio metodo grafico 6/10

Proprietà dell’insieme delle soluzioni ammissibili l’insieme delle soluzioni accettabili costituisce un insieme convesso se esiste una soluzione accettabile, esiste una soluzione accettabile di base le soluzioni accettabili di base sono in numero finito se la soluzione obiettivo ha un massimo finito, allora almeno una soluzione ottimale é accettabile di base 7/10

Metodo del simplesso Nel caso in cui il nostro problema abbia molte variabili si utilizza l’algoritmo del metodo del simplesso, sviluppato dal matematico americano Dantzing nel 1947. Con questo metodo si cerca la soluzione ottimale spostandosi sui vertici dell’insieme delle soluzioni accettabili; supponiamo il problema sia nella sua forma standard : si introducono m variabili di scarto trasformando le disuguaglianze in uguaglianze nei vincoli tutte le variabili di scarto si scelgono come variabili in base e si pongono uguali a bi ≥ 0; le altre variabili si impongono uguali a zero una soluzione accettabile di base ha n + m variabili di cui almeno n sono nulle; se le altre m sono positive la soluzione é non degenere se non consideriamo le variabili di scarto, l’origine é la prima soluzione accettabile di base 8/10

Fasi del metodo del simplesso Si convertono tutte le disuguaglianze in equazioni aggiungendo le variabili di scarto e si scrive la matrice dei coefficienti aij e bi Si prende una soluzione ammissibile di base e la si inserisce in una riga sotto la matrice; si aggiungono due colonne, una per la variabile e l’altra cb per indicare i coefficienti cj La soluzione ammissibile di base individuata deve essere sottoposta alla prova di ottimalità Si determina la variabile entrante xj con condizioni: deltaj > 0 e almeno uno dei coefficienti aij maggiore di 0 Individuata la variabile entrante, si deve individuare quella uscente Calcolo nuova matrice dei coefficienti con opportune operazioni su righe e colonne Si effettua nuovamente la prova di ottimalità come nella fase 2 Il processo si conclude quando si trova la soluzione ottimale ossia quando si giunge alla soluzione di base: deltaj ≤ 0 9/10

Il duale Per ogni problema di programmazione lineare è possibile definire un problema duale. Ad esempio dato un problema di massimizzazione, il duale corrispondente si otterrà: Minimizzando invece di massimizzare; Trasponendo le righe e le colonne dei coefficienti dei vincoli; Trasponendo i coefficienti della funzione obiettivo e i termini noti dei vincoli; Invertendo le disuguaglianze. 10/10