N Come si può rappresentare un numero Naturale su una retta? 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 Scelgo un punto come 0 Sarà il punto iniziale della numerazione Scelgo la direzione della numerazione crescente CONVENZIONALMENTE freccia verso destra Scelgo una unità di misura Sarà la distanza tra i numeri Riproduco l’unità di misura e trovo la posizione del numero successivo

Z Come si può rappresentare un numero Relativo su una retta? -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Scelgo un punto come 0 Sarà il punto iniziale della numerazione Scelgo la direzione della numerazione crescente CONVENZIONALMENTE freccia verso destra Scelgo una unità di misura Sarà la distanza tra i numeri Riproduco l’unità di misura, verso DESTRA per i numeri positivi verso SINISTRA per i numeri negativi e trovo la posizione del numero successivo o precedente

Q Come si può rappresentare un numero Razionale su una retta? I numeri Razionali sono i numeri rappresentabili in forma di frazione. Per semplificare la spiegazione distinguiamo i tre tipi di frazione PROPRIE il risultato del rapporto è minore di 1 1/3 5/12 6/15 IMPROPRIE il risultato del rapporto è MAGGIORE di 1 7/3 115/12 16/15 APPARENTI il risultato del rapporto è un numero intero 3/3 36/12 150/15

Q – Frazioni Apparenti Come si può rappresentare una frazione Apparente su una retta? Le frazioni Apparenti sono numeri interi con segno e quindi si rappresentano come i Numeri Relativi Q

Q – Frazioni Proprie Come si può rappresentare una frazione Propria su una retta? 1/6 5/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 Scelgo un punto come 0 Scelgo la direzione della numerazione crescente Scelgo una unità di misura Divido l’ unità di misura nel numero di parti indicate dal denominatore Prendo il numero di parti indicate dal numeratore Q

Q – Frazioni Proprie Rappresentare una 3/5 sulla retta numerica? 1/5 1/5 3/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1 Scelgo un punto come 0 Scelgo la direzione della numerazione crescente Scelgo una unità di misura Divido l’ unità di misura nel numero di parti indicate dal denominatore : 5 Prendo il numero di parti indicate dal numeratore : 3 Q

Q – Frazioni Improprie 1/3 2 Come si può rappresentare una frazione Impropria su una retta? 1 7/3 2 1/3 1/3 1/3 1/3 Le frazioni Improprie possono scritte come somma tra un numero intero e una frazione propria 7/3 = 6/3 + 1/3 = 2 + 1/3 Q

Q – Frazioni Improprie 2 Rappresentare 11/4 sulla retta numerica? 11/4 11/4 1 2     Scelgo un punto come 0 Scelgo la direzione della numerazione crescente Scelgo una unità di misura Scrivo la frazione come somma di un numero intero e una frazione propria 11/4 = 4 /4 + 4 /4 + 3/4 = 2 + 3/4 Utilizzo 2 unità di misura intere e la terza la divido nelle parti indicate dal denominatore : 4 Prendo le 2 unità intere e il numero delle parti indicate dal numeratore : 3 Q

Q - Frazioni Quando un numero è Razionale ? ossia quando un numero può essere scritto in forma di frazione ? Numeri con un numero FINITO di cifre decimali: Numeri Decimali 7.325698 Numeri con un numero INFINITO di cifre decimali ma che si ripetono: Numeri Periodici 2.347347347347… = 2.  Numeri con un numero INFINITO di cifre decimali ma che si ripetono almeno in parte: Numeri Periodici Misti 2.98347474747… = 2.983

Q – Numeri Decimali Come si può scrivere in forma di frazione un numero Decimale ? Numeri con un numero FINITO di cifre decimali: Numeri Decimali 7.3256 Il numero può essere letto come: 7 unità = 7/1 + 3 decimi = 3/10 + 2 centesimi = 2/100 + 5 millesimi = 5/1000 + 6 decimillesimi = 6/10000 = = 7/1 + 3/10 + 2/100 + 5/1000 + 6/10000 = = (70000 + 3000 + 200 + 50 + 6) / 10000 = 73256 / 10000 REGOLA Un Numero Decimale corrisponde a una frazione in cui: Numeratore = numero senza virgola Denominatore = un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali F

Q – Numeri Periodici Come si può scrivere in forma di frazione un numero Periodico ? Numeri con un numero INFINITO di cifre decimali ma che si ripetono: Numeri Periodici 2.  indico con f la frazione corrispondente a 2. :  f = 2. cerco di togliere la parte decimale: Moltiplico per 100 il numero perché ci sono due cifre decimali : 100f = 237. Ora posso scrivere: 100f - f = 237. - 2. = 237 – 2 = 235 99 f = 235  f = 235 / 99 REGOLA Un Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui: Numeratore = numero senza virgola – parte intera del numero Denominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche F

Q – Numeri Periodici Misti Come si può scrivere in forma di frazione un numero Periodico Misto ? Numeri con un numero INFINITO di cifre decimali ma che si ripetono in parte : Numeri Periodici Misti 8.123 indico con f la frazione corrispondente a 8.123 :  f = 8.123 cerco di togliere la parte decimale: Moltiplico per 100000 il numero perché ci sono cinque cifre decimali : 100000f = 812347. Moltiplico per 1000 il numero perché ci sono tre cifre decimali NON PERIODICHE: 1000f = 8123. Ora posso scrivere: 100000f - 1000 f = 812347. - 8123. = 812347 – 8123 = 804224  99000 f = 804224  f = 804224 / 99000 REGOLA Un Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui: Numeratore = numero senza virgola – parte NON periodica del numero Denominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche seguiti da tanti 0 quante sono le cifre NON periodiche F

12.347 Numero Decimale corrisponde a una frazione in cui: Scrivere in forma di frazioni i seguenti numeri : 12.347 12. 12.3 12.347 Numero Decimale corrisponde a una frazione in cui: Numeratore = numero senza virgola Denominatore = un 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali 12.347 = 12347 / 1000 12. Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui: Numeratore = numero senza virgola – parte intera del numero Denominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche 12. = (12347 – 12) / 999 = 12335 / 999 12.3 Numero Periodico corrisponde a una frazione in cui: Numeratore = numero senza virgola – parte NON periodica del numero Denominatore = tanti 9 quante sono le cifre periodiche seguiti da tanti 0 quante sono le cifre NON periodiche 12.3 = (12347 – 123) / 990 = 12224 / 990 F

R Mostriamo ora con due esempi come si può rappresentare un numero Reale, ossia un numero con infinite cifre decimali, su una retta Come primo esempio prendiamo :  = 1.4142136… Scelgo un punto come 0 Scelgo la direzione della numerazione crescente Scelgo una unità di misura Costruisco un quadrato con lato l’ unità di misura 1  Traccio la diagonale del quadrato Calcolo la lunghezza della diagonale d = 12+12 =  Riproduco la diagonale sulla retta numerica

R  Come secondo esempio prendiamo :  = 2.236068… 1 i = 12+22 =  1  Scelgo un punto come 0 Scelgo la direzione della numerazione crescente Scelgo una unità di misura Costruisco un triangolo rettangolo con il cateto minore lungo come l’ unità di misura e il cateto maggiore lungo come 2 unità di misura Traccio l’ ipotenusa del triangolo Calcolo la lunghezza dell’ ipotenusa i = 12+22 =  Riproduco l’ ipotenusa sulla retta numerica

R Mostriamo un metodo generale per rappresentare un numero Reale sulla retta 1  3 4 5 Scelgo un punto come 0 Scelgo la direzione della numerazione crescente Scelgo una unità di misura Costruisco un quadrato con lato l’ unità di misura Traccio la diagonale del quadrato : d = 12+12 =  Riproduco la diagonale sulla retta numerica Ora Costruisco un triangolo rettangolo con cateto maggiore il segmento  e cateto minore l’ unità di misura Traccio l’ ipotenusa : i =   2+12 = 3 Riproduco l’ ipotenusa sulla retta numerica Ora Costruisco un triangolo rettangolo con cateto maggiore il segmento 3 e cateto minore l’ unità di misura Traccio l’ ipotenusa : i =  3 2+12 = 4 = 2 e la riproduco sulla retta Ora Costruisco un triangolo rettangolo con cateto maggiore il segmento 2 e cateto minore l’ unità di misura Traccio l’ ipotenusa : i =  2 2+12 = 5 e la riproduco sulla retta

Abbiamo così mostrato un importante risultato: N  Z  Q  R Abbiamo così mostrato un importante risultato: è possibile associare ad ogni punto della retta un numero Reale

BElliSSSIMO !!