Massimo comun divisore M.C.D.(8, 12) = 4 M.C.D.(22, 76, 84) = 2 M.C.D.(20, 240) = 5 × 22 M.C.D.(12, 18, 20) = 2 M.C.D.(6, 12) = .............. Massimo comun divisore M.C.D.(14, 21) = ................ M.C.D.(540, 150, 200) = 2 × 5 = 10 M.C.D.(99, 613, 800) = ................ M.C.D.(65, 105) = 5 M.C.D.(98, 107, 315) = ................ M.C.D.(11, 44) = 11

Intersezione = insieme dei divisori comuni Consideriamo l’insieme D8 dei divisori di 8, e l’insieme D12 dei divisori di 12: D8 = {1, 2, 4, 8} D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e rappresentiamoli graficamente. Intersezione = insieme dei divisori comuni Eseguendo l’intersezione dei due insiemi, otteniamo: D8 D12 = {1, 2, 4} che è l’insieme dei divisori comuni di 8 e di 12, in quanto contiene i numeri naturali che sono sia divisori di 8, sia divisori di 12.

Il Massimo Comun Divisore Considerando l’intersezione degli insiemi D8 e D12, possiamo osservare che 1, 2 e 4 sono i divisori comuni di 8 e 12; il numero 4 è il più grande divisore in comune tra 8 e 12, cioè il Massimo Comun Divisore di 8 e 12 e si scrive: M.C.D.(8, 12) = 4 In generale: se Da e Db rappresentano gli insiemi dei divisori di due numeri naturali a e b, si chiama Massimo Comun Divisore (M.C.D.) dei due numeri il maggiore degli elementi dell’insieme Da Db. Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri è il maggiore dei divisori comuni a quei numeri.

8 è il maggiore dei divisori comuni; Alcuni esempi • Determiniamo il M.C.D. fra 56 e 40: D56 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} D40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} D56 D40 = {1, 2, 4, 8} 8 è il maggiore dei divisori comuni; è il M.C.D.: M.C.D.(56, 40) = 8

Ancora esempi • Cerchiamo il M.C.D. di 3 numeri, per esempio 12, 18 e 20: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} D12 D18 D20 = {1, 2} 2 è il maggiore dei divisori comuni, per cui: M.C.D.(12, 18, 20) = 2 Prova tu • Considera l’insieme D12 dei divisori di 12 e l’insieme D18 dei divisori di 18 e completa le scritture. D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D12 D18 = {…................} M.C.D.(12, 18) = ......... 6 1,2,3,6

Dati due numeri a e b, se b è divisore di a allora M.C.D.(a, b) = b. Un caso particolare Determiniamo ora il M.C.D. fra 12 e 6: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D6 = {1, 2, 3, 6} D12 D6 = {1, 2, 3, 6} = D6 M.C.D.(12, 6) = 6 Possiamo notare che 6 è divisore di 12 ed è anche il più grande divisore comune ai due numeri dati. Dati due numeri a e b, se b è divisore di a allora M.C.D.(a, b) = b. Prova tu • Considera l’insieme D20 dei divisori di 20 e l’insieme D10 dei divisori di 10; poiché D10 D20, allora: M.C.D.(10, 20) = ....... 10

Numeri primi tra loro Consideriamo la tabella dei divisori di un numero naturale n diverso da 0. Osserviamo che per qualunque coppia di numeri naturali (a, b), esiste sempre almeno un divisore comune che è 1. Nei casi in cui il numero 1 è l’unico divisore comune tra due numeri, questi si dicono primi fra loro. Osservando la tabella possiamo concludere che 2 e 3 sono primi tra loro, come anche 4 e 9, o 7 e 12.

Alcuni esempi • Calcoliamo il M.C.D. fra 15 e 28. D15 = {1, 3, 5, 15} D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D15 D28 = {1} M.C.D.(15, 28) = 1 L’unico divisore comune, che è quindi anche il M.C.D., è il numero 1. I numeri 15 e 28 sono quindi primi fra loro. • Calcoliamo il M.C.D. tra 7 e 5 D7 = {1, 7} D5 = {1, 5} D7 D5 = {1} M.C.D.= (7, 5) = 1 I numeri 7 e 5 sono perciò primi fra loro.

Altri esempi • I numeri 6 e 35, pur non essendo numeri primi, sono primi tra loro. Infatti, sapendo che: D6 = {1, 2, 3, 6} e D35 = {1, 5, 7, 35}, possiamo vedere che D6 D35 = {1}. • I numeri 5 e 17 sono primi tra loro, in quanto sono entrambi numeri primi. • I numeri 4 e 10 non sono primi tra loro, in quanto sono entrambi numeri pari. Prova tu • Sottolinea le coppie di numeri primi fra loro. (3, 7) (6, 25) (8, 9) (10, 30) (25, 49) (34, 17) (24, 28) (3, 7), (6, 25), (8, 9), (25, 49)

Ricerca del M.C.D. con i fattori primi Per determinare il M.C.D. di numeri elevati conviene sempre scomporli in fattori primi. Vediamo un esempio. Calcoliamo il M.C.D.(48, 180): • scomponiamo i due numeri in fattori primi: 48 = 24 × 3 180 = 22 × 32 × 5 • prendiamo i fattori comuni a 48 e 180: 22, che è divisore di 48 e di 180, 3, che è divisore di 48 e di 180 • moltiplichiamoli: il M.C.D. fra 48 e 180 è allora 22 × 3 = 12. Il M.C.D. di due numeri naturali scomposti in fattori primi si ottiene moltiplicando i fattori primi comuni, presi una volta sola, col minimo esponente.

Alcuni esempi Prova tu • Determiniamo il M.C.D.(540, 150, 200): 540 = 22 × 33 × 5 150 = 2 × 3 × 52 200 = 23 × 52 I divisori comuni ai tre numeri sono 2 e 5. Allora: M.C.D.(540, 150, 200) = 2 × 5 = 10 Prova tu • Completa le scritture. 48 = 24 × 3 60 = 22 × 3 × 5 M.C.D.(48, 60) = ............. 54 = 2 × 33 72 = 22 × 32 M.C.D.(54, 72) = ............. 22 × 3 = 12 2 × 32 = 18

Giochiamo insieme, ma… quante squadre? 28 ragazzi e 16 ragazze vogliono formare delle squadre con lo stesso numero di persone tutte dello stesso sesso. Qual è il numero massimo di componenti che ogni squadra può avere, senza che nessuno rimanga escluso? Basta calcolare il M.C.D. tra i numeri 16 e 28: 16 = 24 28 = 22 × 7 M.C.D.(16, 28) = 22 = 4 Ogni squadra può essere formata, al massimo, da 4 persone.

Esercitati • Considera l’insieme D8 dei divisori di 8 e l’insieme D6 dei divisori di 6: D8 = {1, 2, 4, 8} D6 = {1, 2, 3, 6} I divisori comuni dei numeri 8 e 6 sono dati da:  D8 D6  D8 D6  D8 D6 x • Quale, tra le seguenti, è l’interserzione corretta dei due insiemi?  D8 D6 = {1, 2, 3, 4, 6, 8}  D8 D6 = {1, 2}  D8 D6 = {2} x • Completa le seguenti scritture. - Il Massimo Comun Divisore è il ............................. dei divisori comuni a due o più numeri. - Dati due numeri a e b, se b è divisore del numero a allora il M.C.D. è ........... - L’insieme dei divisori comuni a due o più numeri (diversi da zero) non è mai vuoto: tutti i numeri hanno come divisore comune il numero ....... maggiore b 1 • Calcola i seguenti M.C.D. M.C.D.(12, 15) = ............ M.C.D.(14, 21) = ................ M.C.D.(6, 12) = .............. M.C.D.(30, 15) = ................ M.C.D.(5, 7) = ................ M.C.D.(11, 15) = ................ 3 6 1 7 15

Esercitati • Completa le seguenti scritture. Due numeri si dicono ............ fra loro se hanno come unico divisore comune il numero ............... primi 1 • Due numeri primi fra loro:  sono numeri primi  possono non essere primi  non sono primi x • Completa la regola scegliendo tra i termini moltiplicando, dividendo, comuni, non comuni, comuni e non comuni, massimo esponente, minimo esponente. Il M.C.D. di due o più numeri scomposti in fattori primi si ottiene ..................................... i fattori primi .........................., presi una sola volta, col ........................................ moltiplicando comuni minimo esponente • Trova il M.C.D. tra: 22 × 3 × 5 e 2 × 52 M.C.D. = .......................... 22 × 3 e 5 × 72 M.C.D. =........................... a × b × c2 e a3 × b × c M.C.D. = ......................... a × b × c 2 × 5 = 10 1