I chicchi di riso e la sfida al Bramino Progetto: “Con la mente e con le mani” Gruppo di lavoro: “il numero più grande” dei proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo Presentano: gli alunni della classe IC I.C. Via Giuliano da Sangallo A.S. 2013-2014

M@tabel: i chicchi di riso La “bizzarra” richiesta del Bramino: una ricompensa in chicchi di riso su una scacchiera di 64 caselle; i chicchi si raddoppiano di casella in casella. Lorenzo e Sara

M@tabel: i chicchi di riso 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 Laura e Miriam

M@tabel: i chicchi di riso 263 è già un numero enorme… poi gli dobbiamo sommare anche 262, 261 ecc. Sono tanti numeri, e tanto grandi! AIUTOOOO!!!!!!!! Sara

Scoperta della regolarità per verifica empirica: Somme di potenze di 2 Scoperta della regolarità per verifica empirica: Potenze di 2 Somme di potenze di 2 20 = 1 1 21 = 2 3 22 = 4 7 23 = 8 15 24 = 16 31 25 = 32 63 26 = 64 127 Iris

M@tabel: i chicchi di riso Chicchi totali in 64 caselle S2(64) = 264–1 = 18.446.744.073.709.551.615 (circa 1,84 × 1019) Circa 18 miliardi di miliardi Sabrina

Sfida al Bramino DOMANDA: Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e raddoppiamo la base (4 anziché 2) otteniamo una quantità totale di riso maggiore o minore di quella richiesta dal Bramino? Martina

Metà scacchiera riempita con le potenze di 4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 Alex

Sfida al Bramino Le potenze di 4 sono anche potenze di 2. In particolare le potenze di 4 sono potenze di 2 con esponente pari: 20 = 40 = 1 22 = 41 = 4 24 = 42 = 16 26 = 43 = 64 28 = 44 = 512 …

Sfida al Bramino Considerare solo 32 caselle e riempirle con le potenze di 4 da 40 a 431 equivale a riempire tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 20 a 263 e poi cancellare quelle con esponente dispari. Gabriele

Partiamo dalla scacchiera delle potenze di 2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

…cancelliamo le potenze con esponente dispari 20 22 24 26 28 210 212 214 216 218 220 222 224 226 228 230 232 234 236 238 240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260 262

…otteniamo la semi-scacchiera delle potenze di 4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431

Sfida al Bramino Quindi: S4(32) < S2 (64) Simona I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono in numero minore dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2 … oppure: la somma delle potenze di 4 da 40 a 431 è minore della somma delle potenze di 2 da 20 a 263. Simona

Minore sì, ma quanto minore? Sfida al Bramino S4(32) < S2 (64) Minore sì, ma quanto minore? S4(32) =S2 (64) : 3 I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono 1/3 dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2.

Sfida al Bramino Motivazione empirica: per ottenere le potenze di 4 ho cancellato le colonne di potenze di 2 con esponente dispari; ciascuna colonna che ho cancellato ha valore doppio rispetto alla colonna alla sua sinistra che ho conservato. Quindi: ho cancellato una quantità doppia di quella rimasta, che quindi sarà un terzo del totale. Nicholas

Scusate il gioco di parole! Infatti… Se tolgo dalla quantità totale una quantità doppia di quella che rimane allora la quantità che rimane sarà un terzo della quantità totale. Scusate il gioco di parole!

Torniamo alla scacchiera delle potenze di 2… 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 Dario

… lasciamo solo le potenze con esponente multiplo di 3 20 23 26 29 212 215 218 221 224 227 230 233 236 239 242 245 248 251 254 257 260 263

…otteniamo la scacchiera delle potenze di 8 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821

La scacchiera delle potenze di 2 Martina

La scacchiera delle potenze di 2 e 4

La scacchiera delle potenze di 2 e 8

La scacchiera delle potenze di 2, 4 e 8

Considerazioni finali Potenze di 2 e di 4 Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2. Solo le potenze di 2 con esponente pari sono anche potenze di 4. Per ricavare una potenza di 4 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente. es. 43 = 26 perché 43 = (22)3 = 26

Considerazioni finali Potenze di 2 e di 8 Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2. Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8. Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente. es. 83 = 29 perché 83 = (23)3 = 29

Considerazioni finali Potenze di 4 e di 8 Solo le potenze di 8 con esponente pari sono anche potenze di 4. Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8. Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e poi moltiplicarlo per 2. es. 84 = 46 perché 84 = (4×2)4 = 44×24 = 44×42 = 46 Valeria

Grazie! Hanno esposto i materiali: Flavia, Alex, Daria, Olivia, Eleonora, Nimasha, Loubna, Melania, Martina.