Corso di Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio e del Paesaggio Agro-Forestale Corso di Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Prof. Ing. S. Pascuzzi

Materiale di studio Appunti dalle lezioni BIGATTI Anna Maria – ROBBIANO Lorenzo MATEMATICA DI BASE Casa Editrice Ambrosiana ZWIRNER Giuseppe ISTITUZIONI DI MATEMATICHE Parte prima CEDAM Editrice

Elementi di geometria analitica

Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura La retta è una linea aperta dotata di due versi, uno opposto all’altro Una retta si dice orientata quando sia fissato su di essa un verso che si chiamerà positivo; l’opposto sarà detto verso negativo Due punti del piano A e B formano una coppia orientata quando sono considerati in un certo ordine

Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura Se (A, B) è una coppia orientata di punti, il segmento di estremi A e B dicesi segmento orientato e si indica con AB. r A B Il punto A si chiama origine ed il punto B estremo del segmento. I due segmenti AB e BA si dicono opposti.

Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura Chiameremo misura del segmento orientato AB rispetto all’unità di misura u, il numero reale che rappresenta il rapporto tra il segmento AB e quello unitario u, al quale numero si attribuisce il segno positivo o negativo a seconda che il verso del segmento orientato AB coincide od è opposto al verso positivo fissato su r. u r A B

Coordinate nella retta Rette e segmenti orientati. Loro misura La misura di un segmento orientato è un numero relativo, cioè un numero positivo o negativo a seconda che il verso positivo del segmento considerato coincide od è opposto al verso positivo fissato sulla retta r dove giace il segmento. Le misure dei segmenti AB e BA sono numeri opposti; cioè: AB+BA=0 u r A B

Coordinate nella retta Ascisse sulla retta Una retta orientata r viene suddivisa da un punto O arbitrario (punto di origine) in due semirette, una positiva (contiene i punti successivi ad O nel verso positivo) l’altra negativa r O P Preso sulla retta r un punto qualsiasi P e fissata una unità di misura, sia x la misura del segmento orientato OP. Il numero x così determinato chiamasi ascissa del punto e si scrive P(x).

Coordinate nella retta Ascisse sulla retta L’ascissa del punto P è un numero reale, positivo, negativo o nullo. Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta orientata r e l’insieme dei numeri reali. Un sistema di ascisse sulla retta r è determinato quando è fissato il punto di origine, il verso positivo sulla retta r e l’unità di misura u r

Coordinate nella retta Distanza orientata di due punti di una data retta. Dati due punti P1 e P2 mediante le loro ascisse x1 e x2, trovare la misura del segmento orientato P1P2 r O P1 P2 si ha: P1P2=x2-x1 La misura del segmento orientato P1P2 è uguale alla differenza tra l’ascissa di P2 e quella di P1

Unità teorica di misura degli angoli Unità pratica di misura degli angoli: grado (novantesima parte dell’angolo retto) minuto primo (sessantesima parte del grado) minuto secondo (sessantesima parte del minuto primo) Unità teorica di misura degli angoli Su due circonferenze concentriche di raggi R e R’ si considerano due archi che sottendono lo stesso angolo al centro a : a’ = R : R’ R’ a’ a Se a = R a’ = R’ O R

Misura degli angoli in radianti Unità teorica di misura degli angoli: radiante (angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario che sottende un arco di lunghezza uguale al suo raggio) Le misure di un arco e dell’angolo al centro ad esso sotteso, quando si prenda come unità di misura per gli archi il raggio e per gli angoli il radiante, sono espresse dallo stesso numero 360° 2p 180° p 90° p/2 45° p/4 360° : 2p = y° : x

Fasci orientati di rette Fascio proprio di rette di un piano: insieme di tutte le rette di un piano passanti per un punto fisso (centro del fascio) S Una retta del fascio può ruotare intorno ad S in due sensi o versi fra loro opposti, uno positivo e l’altro negativo Un fascio si dice orientato quando si assume un verso come positivo (verso antiorario) Un fascio con verso positivo e con verso positivo di ciascuna sua retta si definisce fascio orientato di rette orientate

Misura degli angoli orientati Siano a e b due rette orientate, distinte e appartenenti al fascio orientato di centro S Chiameremo angolo delle due rette orientate a e b, l’angolo convesso individuato dalle semirette positive a e b S a b S b a L’angolo ab è positivo, quando la semiretta positiva a deve ruotare nel verso positivo per descrivere l’angolo convesso ab La misura di un angolo orientato ab è positiva o negativa a seconda che l’angolo ab sia positivo o negativo Le misure degli angoli orientati ab e ba sono due numeri opposti: ab = -ba ossia ab + ba = 0

Coordinate cartesiane nel piano Fissiamo sul piano due rette orientate non parallele. u y O – origine x – asse delle x (delle ascisse) y – asse delle y (delle ordinate) B P OA = a OB = b Coordinate cartesiane del punto P (ascissa, ordinata) O x A Viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali y II I x O III IV

Coordinate cartesiane nel piano Considereremo sempre assi cartesiani ortogonali O y x I II IV III y P(a,b) P x O y y y P P' P y y y y -x x x x x -x x x O O O -y -y P'

Distanza di due punti Consideriamo due punti P1 e P2 in un sistema di assi cartesiani ortogonali P2(x2,y2) O y x P1(x1,y1) A1 A2 B1 B2 Q OA1=x1; OA2=x2; OB1=y1; OB2=y2 P1Q = A1A2 = x2-x1 QP2 = B1B2 = y2-y1 Teorema di Pitagora triangolo rettangolo P1QP2 : d2 = P1P22 = P1Q2 + QP22 e quindi: d2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 da cui segue la formula:

Distanza di due punti Distanza di un punto P(x,y) dall’origine: y x Esempio. - La distanza dei due punti P1(3,5), P2(7,4) è:

Coordinate del punto di mezzo di un segmento Per il teorema di Talete si ha: A1A P1P B1B P1P AA2 PP2 BB2 PP2 y = = P2(x2,y2) B2 ed essendo: B P (x,y) A1A = x-x1 AA2 = x2-x B1B = y-y1 BB2 = y2-y B1 P1(x1,y1) P1P PP2 = 1 O x A1 A A2 si ha: da cui: Le coordinate del punto medio di un segmento sono eguali alla media aritmetica delle coordinate omonime degli estremi

Coordinate del punto di mezzo di un segmento Esempio. – Determinare le coordinate del punto medio del segmento che ha per estremi i punti: P1(-5,-3), P2(7,-9) Si ha: