Il ruolo del linguaggio nell’apprendimento della matematica Pier Luigi Ferrari Università del Piemonte Orientale ad Alessandria http://www.mfn.unipmn.it/pferrari

Schema Sistemi semiotici Lingue Linguaggio della matematica Linguaggio e apprendimento Quale educazione linguistica? Qualche idea per l’insegnamento

Autoriferimenti Ferrari, P.L.: 2004, Matematica ed Educazione: il ruolo fondamentale dei linguaggi, Sem.Naz. di Ricerca in Didattica della Matematica, sessione XXI, http://www.dm.unito.it/semdidattica/ Ferrari, P.L.: 2004, Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica, Bologna: Pitagora Editrice.

Ferrari, P.L.: 2003, 'Costruzione di competenze linguistiche appropriate per la matematica a partire dalla media inferiore', L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.26A, N.4, 469-496. Ferrari, P.L. & L.Lunardi: 2005, ‘Inventare notazioni per risolvere problemi’, L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, Vol.28°, N.5, 451-474.

Sistemi semiotici Linguaggio verbale Notazioni simboliche Scritto, orale Notazioni simboliche Aritmetica, algebra Rappresentazioni figurali Figure geometriche, grafici, immagini

Da un libro di testo L'intersezione dei due insiemi A e B, e si scrive AB, è l'insieme {x | xA e xB}. L'intersezione di A e B è così l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. Vediamo quali sono le intersezioni degli insiemi visti sopra per illustrare l'unione. Per un qualunque insieme A, è AA=A, e anzi se B è un sottoinsieme di A, è AB=B.

La distanza di un punto generico (x,y) dall'origine (0,0) è data da: La condizione che la distanza sia uguale a 1 (cioè il raggio) è data da:

Lingua Sistema semiotico umano, storicamente determinato Creatività possibilità di creare insiemi infiniti di segni Doppia articolazione Frasi  morfemi  fonemi Riflessività discorsiva Testi che analizzano altre rappresentazioni

Comprensione dei testi Teorie del codice L’interpretazione dei testi avviene per mezzo della grammatica e del dizionario. Teorie dell’inferenza L’interpretazione dei testi richiede attività creativa del soggetto, quindi anche un’enciclopedia.

Matematica e rappresentazioni Non esistono accessi alle idee matematiche se non attraverso rappresentazioni. Sono necessarie rappresentazioni non iconiche Ad esempio: Insiemi infiniti Retta

Stat rosa pristina nomine, nomina nuda tenemus Esametro tratto dal De comptemptu mundi di Bernardo Morliacense, benedettino del XII secolo

Rappresentazioni multiple Problema cognitivo: distinguere un concetto matematico dalle sue rappresentazioni Esigenza di disporre di almeno due rappresentazioni distinte dello stesso concetto: Conversioni da un sistema all’altro Coordinamento di più rappresentazioni

Esempi Numeri Dita della mano Costellazioni Insiemi di oggetti Scrittura in base dieci Regoli Abaco Linea dei numeri …

Esempi Funzioni Descrizione verbale Equazione y = f(x) Grafico Tavola valori

Punti di vista su apprendimento e linguaggi

Ipotesi denotazionale I concetti si costruiscono indipendentemente e i sistemi di segni servono solo per rappresentarli. Piagetiani ortodossi, cognitivisti, Lakoff & Nuñez, …

Ipotesi strumentale La costruzione dei concetti richiede la disponibilità di sistemi di segni. Vygotskij, Bruner, Duval, Sfard, approcci discorsivi, socioculturali, … Il pensiero è una forma di comunicazione (A.Sfard) Apprendimento matematico come partecipazione a un discorso Non c’è noesis senza semiosis (R.Duval)

Per l’ipotesi denotazionale la povertà linguistica è un grave ostacolo alla comunicazione dei concetti in corso di apprendimento ma non al loro sviluppo. Per l’ipotesi strumentale la povertà linguistica è un grave ostacolo allo sviluppo del pensiero: Povertà di linguaggio  povertà di pensiero

Funzioni cognitive

Reificazione Fissare pensieri, processi, ipotesi, relazioni in oggetti che possono essere studiati e trasformati. Testi scritti Espressioni simboliche Rappresentazioni figurali

Trattamento Testi scritti Espressioni simboliche parafrasi, riassunto, … Espressioni simboliche Prodotti notevoli, sostituzioni, derivate, … Rappresentazioni figurali Trasformazioni geometriche, operazioni su grafici, …

Esempi Esecuzione di algoritmi Operazioni in colonna Equazioni Costruzioni con riga e compasso Trasformazioni geometriche Operazioni sui grafici delle funzioni reali

Calcoli Algoritmi di calcolo in colonna 2643 554= 10572# 13215## 13215### 1464222# Quanto vale il prodotto di MMDCXLIII per DLIV?

Notazione algebrica x+x2 = 12 x2 = 4x+32 Trouame 1.n° che gioto al suo qdrat° facia.12 (Luca Pacioli, 1445 - 1514) Qdratu aeqtur 4 rebus p:32 (Girolamo Cardano, 1501 - 1576) x+x2 = 12 x2 = 4x+32

Riflessività discorsiva Con le lingue si esprimono giudizi su rappresentazioni di ogni tipo. Lingua come guida del pensiero

Caratteristiche del linguaggio matematico Testi scritti, espressioni simboliche, rappresentazioni visuali Scarsa dipendenza dal contesto Significato come prodotto Testi pianificati e gerarchizzati Esplicitazione nessi con la sintassi Distanza, mancanza di feedback

Caratteristiche del linguaggio colloquiale Testi orali, testi informali, schizzi Forte dipendenza dal contesto Significato come processo Testi poco pianificati Ruolo minore della sintassi Interazioni, feedback, negoziazione significati

" Il nostro edificio si compone di 3 rettangoli 2 dei quali posti verticalmente e uno orizzontalmente che li unisce nella parte superiore.

Testi orali e testi scritti (Duval, 2000) Accessibilità Memoria a breve Autonomia del ricevente Il lettore ha più ‘potere’ dell’ascoltatore Interpretazione globale Attività metalinguistica La riflessione sull’adeguatezza di un testo è più agevole se questo è in forma scritta. Testi matematici 

Testi orali, testi scritti provvisori, testi scritti stabili I testi scritti provvisori hanno caratteristiche intermedie Funzioni linguistiche profondamente diverse Organizzazioni testuali profondamente diverse Funzioni cognitive profondamente diverse Appartenenza riconoscibile a una stessa lingua 

Modi espressivi tipici della forma orale o delle scritture informali possono essere più adatti per trattare idee provvisorie o in formazione. 

Il punto di vista della pragmatica Testi per rappresentare e descrivere ma anche per raggiungere scopi Registri linguistici come varietà d’uso dei linguaggi in relazione a contesto e scopi Registri: orali – scritti colloquiali – evoluti Usi linguistici in matematica come registri Non come insiemi di convenzioni

I registri matematici sono casi estremi di registri evoluti. La mia tesi fondamentale è: I registri matematici sono casi estremi di registri evoluti. Le caratteristiche linguistiche che distinguono i registri evoluti da quelli colloquiali sono presenti in forma massiccia ed estrema nei registri matematici.

In classe Durante le attività di matematica devono essere realizzate funzioni di: Comunicazione Relazione interpersonale Organizzazione delle conoscenze Esecuzione di algoritmi In altre parole devono essere usati sia modalità tipiche dei registri colloquiali sia modalità tipiche dei registri matematici.

Un esempio Chiamare la figura di sinistra ‘rettangolo’ corrisponde a scopi di organizzazione della conoscenza. Ma scopi di comunicazione interpersonale sono meglio realizzati da ‘quadrato’

Un altro esempio Le trasformazioni non corrispondono a finalità comunicative riconoscibili ma soprattutto a esigenze computazionali.

Tutto questo richiede: Capacità di gestire il rapporto fra testo, contesto e scopi Capacità di usare i registri evoluti Flessibilità per passare da un registro all’altro in funzione degli scopi

La notazione simbolica dell’algebra

Il simbolismo algebrico - 1 Regole di trasformazione che non dipendono dai significati Regole decidibili (è automatico stabilire se sono applicabili o no) Proprietà testuali diverse dai linguaggi verbali

Il simbolismo algebrico - 2 2 tipi di espressioni Termini: corrispondono ai nomi 2 x 2+x Formule: corrispondono alle frasi 2+x =1 2=3-1 2 >3

Senso e riferimento -1 Le espressioni 5 6-1 15:3 min{7, 6, 5} 10log5 1+1+1+1+1 4.999999… rappresentano lo stesso numero (hanno lo stesso riferimento) ma hanno sensi diversi.

Senso e riferimento -2 Le proprietà matematiche hanno prevalentemente a che fare con i riferimenti. P(5) se e solo se P(1+1+1+1+1)

Problema In una città si è calcolato che in media ogni tre gatti (G) ci sono quattro cani (C). Quali fra le seguenti formule rappresentano tale relazione?

ogni tre gatti ci sono quattro cani Risposta frequente: 3G = 4C ogni tre gatti ci sono quattro cani

sono congruenti fra loro Congruenza semantica “sette è maggiore di cinque”, 7>5 sono congruenti fra loro “cinque è minore di sette”, 7<5 Le espressioni del primo gruppo sono logicamente equivalenti ma non congruenti a quelle del secondo gruppo.

Se C rappresenta il numero dei cani e G quello dei gatti “Ogni tre gatti ci sono quattro cani” 3 G = 4 C non è equivalente alla frase data. 4 G = 3 C non è congruente ma è equivalente alla frase data.

Sintassi Notazioni simboliche: sintassi rigida ‘=’ è un predicato a due argomenti Per affermare che i numeri x, y, z sono uguali fra loro servono tre equazioni x=y, y=z, x=z Linguaggio verbale: sintassi rilassata Numero di argomenti variabile “Gli uomini sono tutti uguali”

Organizzazione dei testi Nei registri quotidiani l’organizzazione del testo è finalizzata a scopi comunicativi. Nella notazione algebrica è condizionata dalla sintassi e dall’esecuzione di algoritmi.

È ieri che Carlo è andato a giocare a tennis con Mara al circolo. È Carlo che è andato ieri a giocare a tennis con Mara al circolo. È a tennis che Carlo ha giocato ieri con Mara al circolo. È Mara la persona con cui Carlo ha giocato a tennis ieri al circolo. È al circolo che Carlo è andato ieri a giocare a tennis con Mara.

In 5<7 il tema è ‘5’. In 7>5 il tema è ‘7’. Le due formule sono matematicamente equivalenti. La scelta fra le due spesso dipende da esigenze non comunicative ma tecniche, in relazione al formato dei dati disponibili.

Problema Bill e Tom giocano a dadi All’inizio Bill ha il doppio dei dollari di Tom Bill perde 100$ (e Tom ne vince altrettanti) Alla fine del gioco Tom ha una volta e mezza i dollari di Bill Scrivete due equazioni colle lettere B, T per esprimere le relazioni iniziale e finale fra i dollari posseduti da Bill e Tom

B e T sono interpretati come indicali Risposta frequente: B e T sono interpretati come indicali

Indicali Gli indicali (riferimenti deittici) sono quelle espressioni la cui interpretazione richiede informazioni sul contesto in cui sono state prodotte e che si aggiornano automaticamente. Oggi, quello, qui, lui, la mia età, i tuoi soldi La notazione algebrica non ha indicali Quest’anno: La mia età  x Fra un anno: La mia età  x +1

Dizionario Linguaggio verbale Notazione algebrica Possibilità di costruire termini composti buona ma non illimitata Ampia scelta di predicati (verbi) Notazione algebrica Possibilità di costruire termini composti illimitata Pochissimi predicati (=, …, <, >, …)

Nominalizzazione n è pari n è dispari x è il doppio di y x supera y di 50 m è maggiore o uguale di n m è maggiore di n k(n=2k) k(n=2k+1) x = 2y x = y+50 k(m=n+k) k(m=n+k+1)

Aspetti percettivi La regola (x+y)2 = x2+2xy+y2 ha minore salienza visuale rispetto a (xy)2 = x2y2 Questo può indurre gli studenti a conformare la prima alla seconda.

Esempi di regole non salienti Esempi di regole salienti Esempi di regole non salienti

Esempi di ‘maleregole’

Implicazioni didattiche

Le difficoltà di comunicazione possono rendere vano ogni altro intervento. In certi casi è futile ragionare solo sui contenuti disciplinari. È inutile spiegare più volte un concetto se l’interlocutore non capisce quello che diciamo.

Rapido mutamento dei comportamenti linguistici, delle competenze e delle difficoltà All’insegnante non basta più l’esperienza: ogni 2-3 anni può trovarsi davanti situazioni completamente diverse.

Classi multilingue In molti paesi occidentali ormai è il problema principale. Quanta e quale competenza linguistica serve a uno studente non madrelingua per affrontare le discipline?

Tuttavia mette a disposizione opportunità enormi, che vanno sfruttate: La tecnologia spesso contribuisce al degrado della competenza linguistica (cellulari, televisione, videogiochi, …) Tuttavia mette a disposizione opportunità enormi, che vanno sfruttate: comunicazione interazione sistemi semiotici elaborazione testi notazioni simboliche visualizzazione, figure, grafici, … e-learning

Comunicare Le modalità di comunicazione sono fondamentali. Aspetti usualmente trascurati influenzano gli atteggiamenti degli studenti. Tempo di esposizione adeguato per svolgere inferenze. Conoscenze contestuali indispensabili per svolgere inferenze (‘enciclopedia’) Le definizioni astratte non sono a costo zero. 

Evoluzione competenze linguistiche Nuove tecnologie Rappresentazioni visuali Forme di comunicazione che penalizzano L’esplicitazione dei significati La riflessione sui testi La possibilità di inferenze consapevoli 

Educazione linguistica Metodi tradizionali inefficaci Modelli grammaticali Scarsa attenzione a usi, contesti e scopi Separazione fra educazione linguistica e scientifica Convinzioni, atteggiamenti 

Obiettivi Consapevolezza metalinguistica Uso registri evoluti Relazione testi – contesti (scopi, …) Controllo sui testi Uso flessibile dei registri Registri matematici  registri colloquiali Uso registri evoluti Coordinamento di sistemi semiotici

Consapevolezza metalinguistica Uso registri evoluti Coordinamento di sistemi semiotici non sono risorse naturali per tutti. Devono essere costruite attraverso attività specifiche. 

In altre parole: non esiste il ‘linguaggio naturale’