RETTE DI TARATURA Esempio di una retta di taratura costruita per analisi dell’Azoto Nitrico (N-NO3) nelle acque prof. roberto finocchi ITC “Cattaneo” San Miniato (PI) a.s. 2002/2003

In chimica analitica si presenta spesso il problema di adattare ad una serie di punti sperimentali la “retta migliore” (best fitting), che consente di ricavare una relazione fra le due variabili. In questo modo possiamo ad esempio correlare l’assorbanza di un campione incognito, opportunamente trattato, con la concentrazione. La correlazione avviene tramite una RETTA DI TARATURA. La retta di taratura viene “costruita” partendo da una serie di valori sperimentali dove si conosce sia l’assorbanza che la concentrazione.

DATI DI PARTENZA n. campione a conc. nota conc. N-NO3 mg/l Assorbanza 1 0.000 2 0.102 0.271 3 0.255 0.635 4 0.354 0.798 5 0.408 1.035 6 0.510 1.277

COME SI TRATTANO I VALORI? ESISTONO TRE METODI metodo grafico metodo analitico calcolo della retta di regressione (metodo dei minimi quadrati)

METODO GRAFICO si prende il valore di ABS misurato es. 0,550 si ricava il valore di conc. in questo caso 0,225 mg/l

VANTAGGI DEL METODO GRAFICO Non si devono fare calcoli Il grafico ottenuto può essere utilizzato più volte

SVANTAGGI DEL METODO GRAFICO Si deve disegnare il grafico Il tracciamento della retta dipende solo dalla sensibilità dell’operatore Non è sempre facile determinare i valori che cerchiamo sugli assi del grafico e quindi i risultati ottenuti possono essere affetti da errore pur partendo da dati precisi Non abbiamo un fattore numerico di controllo che indica se la retta tracciata è la migliore per quella serie di dati sperimentali

METODO ANALITICO Con questo metodo si calcola, partendo da una retta disegnata manualmente, la sua equazione sotto la forma Y=aX+c a coefficiente angolare dove c termine noto

METODO ANALITICO Per determinare i valori di a (coefficiente angolare) e c (termine noto) della forma Y=aX+c si deve risolvere l’equazione seguente: Y - Y1 = Y2 - Y1 X2 - X1 (X - X1) dove X e Y sono le variabili della retta di taratura X1 e Y1 sono le ascisse e le ordinate di un punto P1 che cade sulla retta tracciata manualmente X2 e Y2 sono le ascisse e le ordinate di un punto P2 che cade sulla retta disegnata

METODO ANALITICO P2 di coordinate (X2;Y2) nel nostro caso (0,370 ; 0,900) P1 di coordinate (X1;Y1) nel nostro caso (0,205 ; 0,500)

sostituiamo i valori delle coordinate del punto P1 e del punto P2 METODO ANALITICO All’equazione Y - Y1 = Y2 - Y1 X2 - X1 (X - X1) sostituiamo i valori delle coordinate del punto P1 e del punto P2 P1 º (0,205 ; 0,500) P2 º (0,370 ; 0,900) e si ottiene l’equazione 0,900 – 0,500 Y – 0,500 = (X – 0,205) 0,370 – 0,205

dopo un banale calcolo algebrico l’equazione METODO ANALITICO dopo un banale calcolo algebrico l’equazione 0,900 – 0,500 Y – 0,500 = (X – 0,205) 0,370 – 0,205 si trasforma nella forma Y = 2,4242 X – 0,003 Sapendo che nel grafico di partenza la Y corrisponde all’assorbanza (ABS) mentre la X alla conc. (in mg/l) abbiamo: ABS = 2,4242 conc. – 0,003 conc. = 2,4242 ABS + 0,003 segue che

VANTAGGI DEL METODO ANALITICO RISPETTO AL METODO GRAFICO Una maggiore precisione nei risultati in quanto i parametri a e c della retta di taratura vengono calcolati con due punti scelti ad hoc dall’operatore. Si scelgono sempre punti della retta disegnata dove è facile determinare con precisione sia il valore sulle ascisse che sulle ordinate.

SVANTAGGI DEL METODO ANALITICO Si deve disegnare il grafico Il tracciamento della retta dipende solo dalla sensibilità dell’operatore Si devono fare dei calcoli Non abbiamo un fattore numerico di controllo che indica se la retta tracciata è la migliore per quella serie di dati sperimentali

RETTA DI REGRESSIONE Secondo questo modello matematico la retta migliore che possiamo costruire è quella che consente di minimizzare i quadrati delle distanze (misurate lungo l’asse delle ordinate) fra i punti osservati e la retta stessa

RETTA DI REGRESSIONE Anche in questo caso, come nel metodo analitico, si trova l’equazione della retta sotto la forma Y=aX+c dove a è il coefficiente angolare e c il termine noto.

Il coefficiente angolare a si calcola applicando la relazione: RETTA DI REGRESSIONE Il coefficiente angolare a si calcola applicando la relazione: dove Xi sono i valori delle ascisse determinati sperimentalmente Yi sono i valori delle ordinate determinati sperimentalmente n è il numero di misure fatte

Il termine noto c si calcola con la relazione: RETTA DI REGRESSIONE Il termine noto c si calcola con la relazione: dove Y è la media delle ordinate della serie dei dati sperimentali a è il coefficiente angolare calcolato con la relazione vista nella slide precedente X è la media delle ascisse della serie dei dati sperimentali

Il valore del coefficiente R2 varia da 0 a 1 RETTA DI REGRESSIONE Con i dati sperimentali si può calcolare anche il coefficiente di determinazione R2 Questo coefficiente ci indica come la retta, calcolata con la regressione, fitta i dati sperimentali Il valore del coefficiente R2 varia da 0 a 1 R2 = 1 indica una perfetta corrispondenza dei valori sperimentali e la retta calcolata con la regressione R2 = 0 indica la totale discordanza tra i sperimentali e la retta calcolata con la regressione

R2 si calcola tramite la relazione: RETTA DI REGRESSIONE R2 si calcola tramite la relazione: dove Xi sono i valori delle ascisse determinati sperimentalmente Yi sono i valori delle ordinate determinati sperimentalmente n è il numero di misure fatte

(S Yi)2 (S Xi)2 S Yi S Xi S Yi2 S Xi2 S XiYi 1.277 0.510 6 1.035 0.408 RETTA DI REGRESSIONE 1.277 0.510 6 1.035 0.408 5 0.798 0.354 4 0.635 0.255 3 0.271 0.102 2 0.000 1 Y X ABS conc n 1.631 0.260 0.651 1.071 0.166 0.422 0.637 0.125 0.282 0.403 0.065 0.162 0.073 0.010 0.028 0.000 Y2 X2 X*Y 16.128 2.654 (S Yi)2 (S Xi)2 4.016 1.629 S Yi S Xi 0.669 0.272 Y X 3.815 0.627 1.546 S Yi2 S Xi2 S XiYi

si ottiene l’equazione della retta nella forma Y=aX+c RETTA DI REGRESSIONE Sostituendo i valori calcolati come nella slide precedente nelle relazioni si ottiene l’equazione della retta nella forma Y=aX+c e tramite il valore di R2 si valuta come questa retta approssima i dati di partenza

RETTA DI REGRESSIONE VANTAGGI DEL CALCOLO DELLA RETTA DI REGRESSIONE RISPETTO AGLI ALTRI METODI Non si deve obbligatoriamente disegnare la retta Si calcola direttamente il coefficiente angolare e il termine noto applicando delle relazioni matematiche La retta è univoca, cioè partendo da una stessa serie di dati “tutti” ottengono la stessa retta di taratura Si riesce a determinare numericamente come la retta ottenuta “si adatti” con i dati di partenza Se si dispone di un computer (e lo si sa usare) i calcoli risultano banali, esistono programmi (tipo Excel) che danno il risultato in automatico Molti strumenti per l’analisi chimica hanno al proprio interno un software che calcola direttamente la retta di taratura con questo metodo

SVANTAGGI DEL CALCOLO DELLA RETTA DI REGRESSIONE I calcoli che si devono fare, se non si dispone di un computer, possono risultare anche laboriosi Se non si plottano su un grafico sia i punti sperimentali che la retta di regressione, può risultare difficile vedere come si comporta la retta calcolata rispetto ai valori sperimentali. A questo problema si può ovviare utilizzando programmi tipo Excel, che permettono di disegnare il grafico e contemporaneamente visualizzare sia la retta di regressione, con la propria funzione analitica, che il coefficiente R2

RETTA DI REGRESSIONE

RETTA DI REGRESSIONE

RETTA DI REGRESSIONE

RETTA DI REGRESSIONE

RETTA DI REGRESSIONE

Le due rette non sembrano molto differenti però se si ipotizza che il nostro campione incognito abbia un’assorbanza di 1,2 vediamo che con la retta blu (R2 pari a 0,9936) otteniamo una conc. di 0,487 mg/ll mentre con l’altra retta (retta rossa) ad un’assorbanza di 1,2 corrisponde una conc. di 0,477 mg/l. La differenza tra le due conc. equivale ad un errore percentuale del 2,09%. RETTA DI REGRESSIONE Naturalmente, vedendo l’andamento della retta, si può notare che l’errore aumenta per assorbanze alte mentre diminuisce per quelle basse. Pertanto si può concludere che anche con il metodo della retta di regressione l’operatore deve intervenire in modo critico, considerando nel calcolo solo i punti che ritiene significativi, in modo da avere una retta con coefficiente R2 più vicino possibile ad 1.