ANALISI NUMERICA

Introduzione Importanza Avvento dei calcolatori Tecniche: metodi iterativi (sperimentali) differenze finite elementi finiti gusci finiti (shell) Numerosi campi di applicazione

Le differenze finite FORMULAZIONE Rappresentazione di una derivata come una serie di Taylor troncata Definita una funzione T(x) (temperatura in funzione dello spazio), si può scrivere il suo sviluppo nell’intorno di xi Troncando (commettendo un errore) lo sviluppo al 2° termine si ha:

Introducendo la simbologia comune nell’analisi numerica si ha: x ° ° ° ° i= 1 2 3 4 T1 T2 T3 T4 ° ° ° Ti-1 Ti Ti+1 Dx Dallo sviluppo in serie di Taylor: B

Sia la relazione A che la relazione B rappresentano la derivata su xi: A Forward Difference Form B Backward Difference Form Sottraendo le espressioni e trascurando i termini di grado superiore si ha: C Ti-1 Ti Ti+1 Differenza finita centrale

Sommando le espressioni: In tutte le forme A B C è presente un errore di troncamento: o(h) o(h) o(h2) proporzionale a x x (x)2 Sommando le espressioni: si ottiene: derivata seconda

In notazione di analisi numerica: Ti-1 Ti Ti+1 x Si riesce quindi ad esprimere la derivata prima e seconda della temperatura in un punto del dominio in funzione dei valori di temperatura nel punto e nel suo intorno. L’analisi alle differenze finite consiste nel sostituire le equazioni differenziali con le espressioni approssimate appena introdotte, complete delle condizioni al contorno.

Scriviamo le equazioni in base alla forma A (forward): x=y j i x y Ti Scriviamo le equazioni in base alla forma A (forward):

Bilancio termico rispetto all’area tratteggiata Si possono sostituire le equazioni differenziali con le forme approssimate o si può analizzare il bilancio termico; ciò consente un migliore controllo sul fenomeno fisico (si applica alle condizioni al contorno). Ti,j Bilancio termico rispetto all’area tratteggiata L’equazione che regola la distribuzione di temperatura (nel caso stazionario) è: sostituendo, si ottiene: Risolvendo rispetto a T(j,i) e ponendo

si ottiene: Applicando l’ultima equazione a tutti i nodi (N) si ottengono N equazioni in N incognite. In forma classica si può scrivere, supponendo che  = 1 (x = y) e che non vi sia generazione di calore: Ti,j Ti,j+1 Ti,-1j Ti,j-1 ovvero, la temperatura nel nodo i,j rappresenta la media aritmetica dei nodi più vicini.

L’equazione si può riscrivere, ponendo i = r e j = z SIMMETRIA CILINDRICA r  z j = 0 i = 0 j i REGIME STAZIONARIO L’equazione si può riscrivere, ponendo i = r e j = z ri = i r e zi = j z

e risolvendo rispetto a Tij si ottiene: con Nei casi più comuni: quindi:

CONDIZIONI AL CONTORNO Bilancio sull’area tratteggiata in regime stazionario Esempio Schematizzazione: x/2 BILANCIO 1 + 2 + 3 = 4 1 2 3 4 T1 T3 T2 To

Risolvendo rispetto a T0 Numero di Biot discretizzato DOMINIO DI N NODI N = E + I E = n° nodi esterni I = n° nodi interni E Equazioni contorno I Equazioni interne ESEMPIO BIDIMENSIONALE (ALETTA) TC 7 6 1 8 9 5 2 3 4 Fluido T T1 = T6 = T7 = TC T4 T9 T3 T8 T2 condizioni al contorno (unico interno)

Temperatura nodo m al tempo j Schema esplicito (monodimensionale) Reticolo monodimensionale La derivata temporale rispetto al tempo si scrive in forma approssimata: Per lo spazio: CONDUZIONE REGIME VARIABILE La si scrive:

Risolvendo rispetto alla Risolvendo rispetto alla (temperatura dell’istante successivo) si ottiene: dove: è il numero di Fourier discreto Con questo metodo il valore della temperatura degli istanti successivi si trova senza metodi iterativi ma direttamente dai valori precedenti (esplicito) m = 1 2 3 4 5 6 … cond. iniz. j = 0 m = 1 2 3 …… m j = 1

CONDIZIONE STABILITA’ NODI INTERNI Si dimostra che per evitare oscillazioni divergenti di temperatura i coefficienti devono essere positivi sempre Tale condizione produce limitazioni sulla scelta di  Esempio Istante j se introduco T m-1 m m+1 j j+1 ottengo termodinamicamente impossibile

Condizione di stabilità CASO BIDIMENSIONALE x = y m, n risolvendo rispetto a con Condizione di stabilità

CONDIZIONI AL CONTORNO (CASO MONODIMENSIONALE) Fluido h,T 2 3 1 T1 T2 x Bilancio energetico 1 - 2 = 3 da cui: (ulteriore limitazione sui nodi interni) Condizione di stabilità

Condizioni al contorno SCHEMA IMPLICITO Limitazioni per la stabilità talvolta impongono l’uso schema implicito (stabilità illimitata) Viene fatta all’istante j+i Sistema di equazioni algebriche simultanee con tre incognite (metodi iterativi) Condizioni al contorno x T1 T2 T, h