Il numero più grande Accademia dei Lincei Gruppo di lavoro diretto dai Proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo A.S. 2013-2014 Proposta di Luca Dragone I.C. Via Giuliano da Sangallo Classe Prima Sezione C

M@tabel: i chicchi di riso 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

M@tabel: i chicchi di riso Chicchi totali in 64 caselle S2(64) = 264–1 = 18.446.744.073.709.551.615 (circa 1,84 × 1019)

Sfida al Bramino

Sfida al Bramino DOMANDA: Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e raddoppiamo la base (4 anziché 2) otteniamo una quantità totale di riso maggiore o minore di quella richiesta dal Bramino?

Sfida al Bramino Obiettivi specifici Riconoscere regolarità in sequenze di numeri naturali. Confrontare numeri grandi espressi in notazione scientifica. Individuare le potenze di 4 e di 8 nelle potenze di 2. Eseguire stime e valutare l’ordine di grandezza di un numero.

Sfida al Bramino Prerequisiti Saper calcolare la potenza di un numero naturale. Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze. Conoscere e saper utilizzare la notazione scientifica per esprimere numeri grandi. Confrontare e convertire numeri espressi in basi diverse.

Organizzazione e tempi Sfida al Bramino Organizzazione e tempi Attività matabel(chicchi di riso): 5-6 ore Sfida al Bramino: Potenze e somme di potenze: 4 ore Confronto tra numeri grandi: 1 ora Le potenze di 2, 4 e 8: 2 ore Discussione finale: 1 ora Verifica finale: 1 ora

Sfida al Bramino Note metodologiche Inquiry based learning. Problem posing e problem solving. Attività laboratoriale in piccoli gruppi. Discussioni guidate. Esposizione e discussione dei cartelloni. Interazione tra pari.

Somme di potenze (a-1)Sa(n) +1=an+1 Per a = 2 S2(n)+1 =2n+1

Somme di potenze Dimostrazione algebrica (Secondaria di II grado) Per la Secondaria di I grado: Scoperta della regolarità per verifica empirica. Sistemi multibase.

Somme di potenze Scoperta della regolarità per verifica empirica:

Somme di potenze Sistema binario: 11111 = 1×20 + 1×21 + 1×22 + 1×23 + 1×24 =31 100000 = 25 = 32 Sistema ternario: 22222 = 2×30 + 2×31 + 2×32 + 2×33 + 2×34 = 242 100000 = 35 = 243 Sistema quaternario: 33333 = 3×40 + 3×41 + 3×42 + 3×43 + 3×44 = 1023 100000 = 45 = 1024

Somme di potenze Sistema decimale: 99999 = 9×100 + 9×101 + 9×102 + 9×103 + 9×104 100000 = 105 Più familiare, vero?

Sfida al Bramino Le potenze di 4 sono potenze di 2 con esponente pari. Considerare solo 32 caselle e riempirle con le potenze di 4 da 40 a 431 equivale a riempire tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 20 a 264 e poi togliere quelle con esponente dispari. Perciò avremo: S4(32) < S2 (64)

La scacchiera delle potenze di 2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

20 22 24 26 28 210 212 214 216 218 220 222 224 226 228 230 232 234 236 238 240 242 244 246 248 250 252 254 256 258 260 262

La scacchiera delle potenze di 4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 410 411 412 413 414 315 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431

S4(32) < S2 (64) Minore sì, ma quanto minore? Sfida al Bramino S4(32) < S2 (64) Minore sì, ma quanto minore?

Sfida al Bramino Ricordiamo che: Ma ciò vuol dire che la somma delle potenze di 2 con esponente dispari è il doppio della somma delle potenze di 2 con esponente pari!

Sfida al Bramino Motivazione empirica: le caselle con gli esponenti più elevati contano tantissimo. La 64ma casella ha un numero di chicchi (263) uguale alla somma di tutti i chicchi delle restanti 63 caselle della scacchiera (a meno di 1, che ovviamente trascuriamo). Quindi:

Sfida al Bramino Proviamo a togliere l’ultima casella alla somma delle potenze di esponente dispari:

La scacchiera delle potenze di 2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

20 23 26 29 212 215 218 221 224 227 230 233 236 239 242 245 248 251 254 257 260 263

La scacchiera delle potenze di 8 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821

La scacchiera delle potenze di 2

La scacchiera delle potenze di 2 e 4

La scacchiera delle potenze di 2 e 8

La scacchiera delle potenze di 2, 4 e 8

Considerazioni finali Potenze di 2 e di 4 Tutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2. Solo le potenze di 2 con esponente pari sono anche potenze di 4. Per ricavare una potenza di 4 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente. es. 43 = 26 perché 43 = (22)3 = 26

Considerazioni finali Potenze di 2 e di 8 Tutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2. Solo le potenze di 2 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8. Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente. es. 83 = 29 perché 83 = (23)3 = 29

Considerazioni finali Potenze di 4 e di 8 Solo le potenze di 8 con esponente pari sono anche potenze di 4. Solo le potenze di 4 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8. Per ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e poi moltiplicarlo per 2. es. 84 = 46 perché 84 = (4×2)4 = 44×24 = 44×42 = 46

Grazie! luca_dragone71@yahoo.it