I FRATTALI Frattale di Mandebrot I frattali presentano una differenza di fondo dalle figure delle geometria euclidea (come la retta e il cerchio):  non si esprimono mediane forme primarie, bensì mediante algoritmi, processi matematici tradotti in forme per mezzo di calcolatori.  Questo termine, coniato nel 1975 da Benoit B. Mandelbrot, deriva dal latino "fractus", che significa "rotto in frammenti irregolari".  In un primo tempo Mandelbrot definisce i frattali  come procedimenti matematici atti a calcolare la dimensione frattale di una forma. Successivamente, invece, egli si rende conto di aver dato una definizione troppo rigorosa ed ridimensiona la sua affermazione, correlando i frattali con la soggettiva percezione visiva: <<Per me, lo strumento più importante del pensiero è l'occhio. L'occhio coglie somiglianze prima ancora che sia stata creata una formula per identificarle>>.  Frattale di Mandebrot

La definizione più semplice e intuitiva lo descrive come una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento, essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate : Autosomiglianza Dimensione frazionaria Formazion per processi iterativi Irregolarità cavolo Tra i frattali più famosi ci sono IL FIOCCO DI KOCH LA POLVERE DI CANTOR

Proprietà di autosomiglianza In geometria due figure, come i triangoli, si dicono simili se hanno la stessa forma, ossia se hanno angoli uguali e lati in proporzione. Due figure del genere sono quindi simili se l'ingrandimento dell'una (concesse le operazioni di rotazione ed inversione speculare) è esattamente uguale all'altra. (Fig. a-b)  Una figura si dice, invece, autosimile quando è possibile dividerla in più parti simili fra loro e simili all'originale.

Dimensione frazionaria E' noto che un punto non possiede dimensioni (d=0), che una retta possiede la sola lunghezza (d=1), che un piano possiede lunghezza e larghezza (d=2) e che lo spazio possiede lunghezza, larghezza e spessore (d=3).    Se prendiamo un segmento (per il quale d=1) e raddoppiamo la sua lunghezza notiamo che il risultato è scomponibile in due copie del precedente.  Se procediamo allo stesso modo con un quadrato (d=2) il risultato corrisponderà a quattro copie dell'originale .  Per un cubo (d=3) le copie dell'originale ottenute al seguito della nostra operazione saranno invece 8.  Riassumendo:      copie        formula           dimensione         1                20                      0         2                21                      1         4                22                      2         8                23                      3         N               2d                  d=log2N  Essendo N il numero di copie dell'originale che vengono generate al seguito dell'operazione di raddoppiamento effettuata, la dimensione d di una figura qualsiasi sarà:                       d = log2 N 

Nel caso dei frattali la regola viene ulteriormente generalizzata Df=lim ln N(h) h 0 ln (1/h) Dove N è il numero di elementi che misura h, che è l’unita di partenza, e che cambierà ad ogni iterazione

Formazione per processi iterativi   I frattali prendono forma attraverso processi iterativi, ossia per mezzo della ripetizione di uno stesso criterio più volte.  Teoricamente il processo da applicare dovrebbe essere iterato all'infinito; naturalmente ciò è impossibile e ci si deve accontentare di un numero alto di iterazioni.  N.B.: Non tutti i processi iterativi generano dei frattali! Per esempio se da un segmento eliminiamo ad ogni iterazione le parti esterne, ciò che otteniamo è semplicemente un segmento più piccolo. 

Irregolarità .  F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.

Il fiocco di neve di Koch   Inventato dal matematico tedesco Helge von Koch, questo frattale sembra sfidare ogni logica. Esso è costituito da un triangolo (initiator) dal quale ad ogni iterazione la parte centrale di ogni lato (1/3 del lato stesso) viene sostituita da un nuovo triangolo equilatero più piccolo (vedi figura a lato). Ciò che più sorprende riguardo a questo frattale è la misurazione di perimetro ed area. 

Cominciamo con il perimetro Cominciamo con il perimetro.  Posta la lunghezza dei lati uguale ad "a", prima di qualsiasi iterazione il perimetro sarà uguale a 3a. Non è difficile capire che, se ad ogni iterazione da ogni lato togliamo un segmento lungo 1/3a per aggiungerne 2 della stessa lunghezza, il perimetro aumenterà fino a tendere all'infinito.  Avremo infatti che, dopo l'iterazione n, il perimetro sarà:  p=3a(4/3)n.  Con n tendente all'infinito anche il perimetro tenderà all'infinito. Si tratta infatti; di un infinitamente spezzettata, anche se nella dopo un certo numero di suddivisioni potrebbe non apparire tale. Per tale comportamento essa è definita una curva “PATOLOGICA”. Innanzitutto possiamo notare che nella prima iterazione il numero di triangoli aggiunti è 3, nella seconda 3x4, nella terza 3x42. Generalizzando: il numero di triangoli aggiunti con l'iterazione n sarà:  N=3x4n-1. 

a =(1+1/3+(1/3)2+(1/3)3+(1/3)4+(1/3)n…………)( ) = Per quanto riguarda l'area dei singoli triangoli è facile ricavare che essa è uguale ad 1/9 rispetto ad ogni triangolo dell'iterazione precedente... Cioè, la prima iterazione genererà dei triangoli con area 1/9 del triangolo originale, la seconda 1/9x1/9 dell'originale, e così via...  Calcoliamo l'area dopo le prime iterazioni...  A1= 3/2*3/2*3= 9/43+3*1/3a+1/3*1/3a (1-1/3) a =(1+1/3+(1/3)2+(1/3)3+(1/3)4+(1/3)n…………)( ) = 3 (1-1/3) 1/3n+1=1/= 0 1-(1/3)n+1 = lim = h  2/3 2 (X-1)(X+1)=x2-1 (X-1)(X2+X+1)=X3+1 (X-1)(X3+X2+X+1)=X4-1

Dimensione frazionaria I=0 h=1 N(h)=1 I=1 h=1/3 N(h)=4 I=2 h=(1/3)2 N(h)=16=42 ln 4 k ln 4 ln N(h) Df=lim =lim = ln(1/h) ln 3k ln 3 h 0 K 0

La polvere di Cantor Se prendiamo un segmento AB di lunghezza unitaria, lo dividiamo in tre parti uguali e togliamo il tratto centrale:otteniamo due segmenti. Ripetendo l’operazione su ciascun segmento ottenuto otteniamo questa figura Quello che otteniamo è un insieme di “segmentini” in numero via via sempre maggiore e di lunghezza via via minore

1-2/3-(2/3)2-(2/3)3-(2/3)n………………………………… Inizialmente il segmento è lungo 1. Dopo ogni operazione otteniamo dei segmenti la cui lunghezza complessiva è 2/3 di quella precedente. Le successive lunghezze formano una progressione geometrica di primo termine 1 e di regione 2/3 1-2/3-(2/3)2-(2/3)3-(2/3)n………………………………… Alla ennesima ripetizione, la lunghezza è 2n/3n Poiché la ragione è positiva e minore di 1, la progressione converge a 0 .quindi la lunghezza è 0 Infatti anche la polvere di Cantor è considerato un insieme geometrico patologico. Non è infatti un insieme di punti perché ciascun elemento dell’insieme può essere sempre suddiviso, mentre il punto è un “oggetto “ geometrico elementare, non ulteriormente suddivisibile. In verità esso non è un insieme di veri segmentini, perché in tal caso la loro lunghezza complessiva non potrebbe essere zero.

Dimensione frazionaria h=1/3 N(h)=1 I=2 h=(1/3)2 h=1 N(h)=1 Ln 2k Ln N(h) Ln 2 Df=lim lim = = Ln(1/N) Ln 3 Ln 3 H 0 K 