TRASFORMATA DI FOURIER

AUTOFUNZIONI S.L.T.I AUTOFUNZIONE : SI “REPLICA” IN USCITA LA STESSA” FORMA DEL SEGNALE IN INGRESSO A MENO DI UNA COSTANTE. SI DIMOSTRA CHE PER UN S.L.T.I. E’ UNA AUTOFUNZIONE  UTILITA’ : SE POSSO DESCRIVERE UN INGRESSO COME COMBINAZIONE LINEARE DI AUTOFUNZIONI ALLORA E’ SEMPLICE TROVARE L’ USCITA (ANCORA COMB. LIN. DI AUTOFUNZIONI).

AUTOFUNZIONI (DIMOSTRAZIONE) h(t) S.L.T.I. H(S) : FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TRASFORMATA DI LAPLACE DI h(t))

TRASFORMATA DI FOURIER NELLE TLC E’ PIU’ UTILE RAGIONARE CON S=j (=0)  TRASFORMATA DI FOURIER (PERCHE’ NELLA VAR. “S” SOLO LA PARTE IMMAGINARIA HA UN SIGNIFICATO FISICO : FREQUENZA SEGNALE) : TRASFORMATA DI FOURIER DI h(t)=FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL S.L.T.I.

TRASFORMATA DI FOURIER (cont.) TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE) [x(t)] ANTITRASFORMATA  -1 [X()]=  -1 [X(f)]

DIMOSTRAZIONE ANTITRASFORMAZIONE Continua…...

……antitrasformata di Fourier VEDREMO CHE : (t) 1

CONDIZIONI ESISTENZA DELLA TRASFORMATA DI FOURIER CONDIZIONI SUFFICIENTI NON NECESSARIE : FUNZIONE MODULO INTEGRABILE OPPURE SEGNALE AD “ENERGIA” FINITA ALTRIMENTI : SEGNALE A “VARIAZIONE FINITE” NON VALE AD ESEMPIO PER LE CURVE FRATTALI Lunghezza finita

TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’) NOTA : IN GENERALE L’ ANDAMENTO NEL TEMPO E NELLE FREQUENZE SONO MOLTO DIVERSI (es. ) E’ UNA FUNZIONE COMPLESSA. DALLE FORMULE DI EULERO:

TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)

RICHIAMI DI ANALISI FUNZIONI PARI  FUNZIONI DISPARI  PRODOTTO DI 2 FUNZIONI PARI  PARI PRODOTTO DI 2 FUNZIONI DISPARI  PARI PRODOTTO DI 1 FUNZIONE PARI CON 1 FUNZIONE DISPARI  DISPARI ES: Sen  FUNZIONE DISPARI Cos  FUNZIONE PARI

RICHIAMI DI ANALISI RITARDO t0 > 0 ANTICIPO

SEGNALE GENERICO (REALE): E’ PARI IN  (INFATTI SE SI CAMBIA  IN -  NON CAMBIA NULLA) E’ DISPARI E’ PARI  POSSO STUDIARLO PER >0 E’ DISPARI E’ SUFF. FARE GRAFICI SOLO PER >0

TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)  TRASFORMATA DI FOURIER E’ REALE PARI : DISPARI :  TRASFORMATA DI FOURIER PURAMENTE IMMAGINARIA NOTE : <0 NON HANNO SIGNIFICATO FISICO (MATEMATICAMENTE SI) =0 E’ LA CONTINUA DEL SEGNALE :COMPONENTE CONTINUA SE C’E’ COMPONENTE CONTINUA (DA -  A + )  C’E’  .

TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’) DIM : Ponendo

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE (TEMPO-FREQUENZA) DALLA SI VEDE CHE UNA “COMPRESSIONE” NEL TEMPO CORRISPONDE AD UNA “DILATAZIONE” NELLE FREQUENZE (a>1), E VICEVERSA.

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE : DURATA NEL TEMPO DEL SEGNALE : DURATA IN FREQUENZA MA ALLORA, IN LINEA DI PRINCIPIO, SOLO I SEGNALI DI DURATA INFINITA POSSONO AVERE DURATA FINITA IN FREQUENZA.

BANDA SEGNALE Banda base Passa banda BANDA BANDA IN PRIMA APPROSSIMAZIONE : DOVE E’ 0 (O COMUNQUE DOVE E’ “SIGNIFICATIVAMENTE”  0). VEDREMO PIU’ AVANTI UNA DEFINIZIONE IN TERMINI ENERGETICI. SOLO 0 Banda base Passa banda BANDA BANDA E’ ANCHE DETTO “SPETTRO DEL SEGNALE”

BANDA SEGNALE METODO DI CALCOLO (BANDA BASE) 1) METODO MATEMATICO : CERCO LA BANDA CHE CONTIENE UNA CERTA PERCENTUALE DELL’ ENERGIA DEL SEGNALE (BANDA = ). 2) METODO SPERIMENTALE : Passa alto x(t) 5% della Energia totale Misuratore di Potenza/Energia

TRASFORMATA DI FOURIER  RITARDO ALTERA LA FASE LA FORMULA VALE ANCHE PER “ANTICIPO” MA FISICAMENTE ANTICIPO SPESSO NON HA SENSO (CAUSALITA’).

TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’) DIM : ponendo

( ) TEOREMA DUALITA’ 1 2 PER DUALITA’ d pd w t « 1 ES : LA DIMOSTRAZIONE E’ “INTUIBILE” DALLE DEFINIZIONI DI TRASFORMATA ED ANTITRASFORMATA (CAMBIA IL SEGNO E ABBIAMO UN FATTORE 2). ES : ( ) 1 2 PER DUALITA’ d pd w t « 1

TEOREMA CONVOLUZIONE E’ MOLTO IMPORTANTE!! NEI S.L.T.I. POSSO FARE PRODOTTO IN FREQUENZA INVECE DI CONVOLUZIONE NEL TEMPO. CIOE’ “LAVORO’ IN FREQUENZA E POI TORNO NEL TEMPO (ANTITRASF.)

TEOREMA CONVOLUZIONE DIM :

TEOREMA CONVOLUZIONE (DIMOSTRAZIONE)  “ INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE” 

TEOREMA CONVOLUZIONE (DIMOSTRAZIONE) POICHE’ : (NON DIMOSTRATA)

TEOREMA CONVOLUZIONE PER IL TEOREMA DUALITA’ : NB : TEOREMA CONVOLUZIONE E’ FONDAMENTALE PER LO STUDIO DI SEGNALI E SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE (MA ANCHE IL DUALE E’ IMPORTANTE).

TRASFORMATA DI FOURIER HP : x(t) A MODULO INTEGRABILE E A VARIAZIONI LIMITATE.

UTILITA’ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER  CONSENTE DI STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA L.T.I. SENZA CALCOLARE LA CONVOLUZIONE. Anziché un integrale di convoluzione, si eseguono 2 trasformate + 1 prodotto + 1 antitrasformata. E’ conveniente se le trasformate di x(t), h(t) e l’antitrasformata del prodotto X()H() sono note (o comunque semplici).

COMPOSIZIONE DI BLOCCHI L.T.I. X Y L.T.I. X Y L.T.I. L.T.I. DIM. BLOCCO TOTALE ANCORA L.T.I. ; h(t), H()

TRASFORMATE NOTEVOLI TRASFORMATA DEL RETTANGOLO : SARA’ REALE PERCHE’ x(t) PARI.

TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO) POICHE’ :

TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)

TRASFORMATA “RETTANGOLO” w AT 2 4 6 __ p T INVILUPPO ZERI : N.B. : FASE NULLA (x(t) PARI).

TRASFORMATA SENO : N.B. PURAMENTE IMMAGINARIA

TRASFORMATA COSENO : DIM :

TRASFORMATA TRENO DI IMPULSI : …….. ……. ……. ……. t N.B. : IMPULSI VICINI NEL TEMPO  DISTANTI IN FREQUENZA (PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE)

TRASFORMATA COSENO “FINESTRATO” : 1 t

COSENO FINESTRATO HP : T>>T0 AFFINCHE’ LE DUE SINC NON INTERFERISCANO

TRASFORMATA DELLA DERIVATA : x(t)  X() N.B : NON VALE L’INVERSA. DIM :

TRASFORMATA DELL’ INTEGRALE : N.B. : USANDO LE TRASFORMATE E LE PROPRIETA’ GIA’ VISTE SE NE POSSONO RICAVARE MOLTE ALTRE. ES : PUO’ ESSERE VISTO COME * t Convoluzione di due rettangoli.

TRASFORMATE DI FOURIER +1 t -1 +1 “Gradino unitario” t

TRASFORMATE DI FOURIER  > 0 t

TRASFORMATE DI FOURIER ? T -T 1 1 = * PER IL TEOREMA DELLA CONVOLUZIONE :

FILTRO DI HILBERT (QUADRATURA)

FILTRO DI HILBERT 1 2

Trasformata di Hilbert Filtro di Hilbert Trasformata di Hilbert NON CAUSALE DIVERGE NELL’ ORIGINE

AREA DELLA FUNZIONE “SINC” DIM : SI SFRUTTA LA RELAZIONE DELLA NEL CASO DEL RETTANGOLO. LA DEFINIZIONE DI ANTITRASFORMATA E’:

IL VALORE PER t=0 E’ : DA CUI: