Maurits Cornelis Escher 1898-1972 Il periodo italiano La tassellatura del piano Il nastro di Moebius Il disco di Poincarè L’effetto Droste Le figure impossibili Altre opere

Il periodo italiano I Maurits Cornelis Escher è stato un grafico e pittore olandese. A 24 anni, nel 1922, iniziò a visitare l’Europa. A Ravello conobbe Jetta Umiker, svizzera. Si sposarono nel 1924 e si stabilirono a vivere a Roma fino al 1935. In questo periodo viaggiò molto in Italia e molte sue opere ritraggono paesaggi italiani di grande bellezza.

Il periodo italiano II I suoi viaggi non sono quelli del turismo tipico dei nostri giorni. Per visitare l’Abruzzo è partito a piedi ed è stato via un mese, dormendo spesso ospite di povera gente in piccoli paesi dell’Appennino. A causa del clima politico sempre più pesante sotto la dittatura fascista, decide di trasferirsi. Va a vivere in Belgio alla fine del 1935, e poi in Olanda nel 1941.

Il periodo italiano III Il paesaggio nordeuropeo non è quello italiano: Escher smette di dipingere ciò che si trova fuori da lui e inizia a rappresentare quello che si trova dentro di lui. Ogni volta che Escher ha avuto un’ispirazione ha passato settimane a pensare a come sviluppare la sua idea prima di decidersi a iniziarne la realizzazione. Nell’osservare un’opera di Escher provate a chiedervi sempre: Come gli sarà venuto in mente? Come avrà fatto? Vi accorgerete che non basta avere avuto una idea, ma serve un’ottima preparazione di matematica e di geometria per riuscire a raffigurare efficacemente l’idea che aveva avuto.

Tassellatura del piano Cos’è una tassellatura? Un esempio di tassellatura è il pavimento, con le sue piastrelle quadrate. Le varie tessere non si devono sovrapporre né lasciare spazi vuoti. I pavimenti più comuni sono fatti da quadrati. Altri hanno mattonelle triangolari o esagonali. Pentagonali no! Non è possibile tassellare il pavimento con dei pentagoni.

Tassellatura del piano le tassellature periodiche Nel 1926 Escher inizia a viaggiare per l’Europa. Va in Spagna e visita l’Alhambra, magnifica residenza moresca di Granada costruita nel 1238. Gli Arabi non possono rappresentare immagini umane per divieto religioso e dunque si specializzano in decorazioni geometriche. Escher rimane incantato dalla simmetria di tali decorazioni e questi studi influenzeranno moltissimo la sua arte. Le tassellazioni arabe sono periodiche, ossia si ripetono in tutte le direzioni. E’ possibile, mediante uno spostamento rigido ottenere sempre lo stesso disegno in tutte le direzioni.

Tassellatura del piano Tassellature non periodiche Ci si chiede se è possibile trovare tassellature non periodiche, ossia che non si ripetano uniformemente in tutte le direzioni. Penrose, matematico ancora vivente, scopre due tessere, la punta e l’aquilone, che permettono di tassellare il piano in maniera non periodica. Il lato del rombo è il rapporto aureo!

Tassellatura del piano Le tassellature di Escher Escher gioca con le tassellature in modo innovativo, alternando spazi negativi a spazi positivi.

Tassellatura del piano Le tassellature di Escher Alcune delle opere più conosciute di Escher che riguardano la tassellatura sono le metamorfosi, nelle quali piccole variazioni cambiano totalmente il tipo di tassellatura a distanza di 20 o 30 cm. Le metamorfosi sono alte una ventina di centimetri e lunghe fino a 8 metri. Vale la pena perdere un po’ di tempo per studiarne tutte le variazioni. Il paese rappresentato è Atrani, in Campania.

Il nastro di Moebius Cos’è il nastro di Moebius? Il nastro di Moebius è uno strano oggetto solido. Infatti: Ha una faccia sola. Ha un bordo solo. Se lo si taglia in due longitudinalmente si ottiene un solo nastro (che non è di Moebius). PROVIAMO! Il riciclaggio dei rifiuti e la pura lana vergine hanno come simbolo il nastro di Moebius.

Il nastro di Moebius Escher e il nastro di Moebius Escher rappresenta una formica che percorre un nastro di Moebius andando sempre in avanti. Dopo avere fatto tanta strada (andando sempre in avanti) la formica si ritrova al punto di partenza!

Il disco di Poincarè Euclide Euclide (300 a.c.) fu un matematico greco. Il suo libro “Elementi” è il libro più letto nella storia dopo la Bibbia. Negli “Elementi” Euclide raccoglie e ordina le conoscenze della geometria della Grecia antica; ancora oggi, dopo 23 secoli, la didattica della geometria fino alla seconda superiore è ancora quella descritta da Euclide! Euclide decide di costruire la geometria basandosi su 3 enti fondamentali (punto, retta, piano), e su 5 assiomi: E’ possibile tracciare una retta per due punti qualunque. E’ possibile prolungare una linea retta. E’ possibile costruire una circonferenza di raggio e centro qualunque. Gli angoli retti sono tra loro congruenti. Data una retta e un punto esterno a essa esiste un’unica retta parallela a quella data passante per il punto esterno.

Il disco di Poincarè Il quinto postulato di Euclide A partire da questi enti e assiomi Euclide costruisce 465 teoremi, ossia 465 risultati che è possibile dedurre logicamente dagli assiomi. Uno, ad esempio, è: “La somma degli angoli in un triangolo qualunque è un angolo piatto.” Tutti questi teoremi sono ancora oggi utilizzati. I matematici ebbero dubbi sul quinto postulato. La domanda che i matematici si posero era: Non se ne potrebbe fare a meno? A Euclide per primo probabilmente non piaceva granché, infatti lo utilizzò il minimo indispensabile. Intorno al 1600 molti matematici cercarono di cambiare il postulato, per vedere cosa sarebbe successo se non fosse stato vero. I modo: Data una retta e un punto esterno a essa non esistono rette parallele a quella data passanti per il punto esterno. II modo: Data una retta e un punto esterno a essa esistono infinite rette parallele a quella data passanti per il punto esterno.

Il disco di Poincarè Geometria ellittica e iperbolica Quinto postulato di Euclide Data una retta e un punto esterno a essa esiste un’unica retta parallela a quella data passante per il punto esterno. Geometria Euclidea II modo: Data una retta e un punto esterno a essa esistono infinite rette parallele a quella data passanti per il punto esterno. Geometria iperbolica I modo: Data una retta e un punto esterno a essa non esistono rette parallele a quella data passanti per il punto esterno. Geometria ellittica

Il disco di Poincarè Geometria iperbolica Come fanno a esserci infinite rette parallele a una retta data passanti per un punto esterno a essa? Non ha senso! Certo. Non ha senso nel piano Euclideo, quello che si è abituati a vedere dalle scuole medie. Cambiamo allora il piano. Il piano è sempre infinito, ma lo rappresentiamo come un DISCO. Cambiamo anche le rette. Sono sempre infinite, ma le rappresentiamo come SEGMENTI CURVI, che partono e arrivano sul bordo del disco. Mano a mano che ci si avvicina al bordo del disco ci si avvicina all’infinito. Cambiamo anche la distanza. Due segmenti sono congruenti anche se a noi sembrano diversi: più ci si avvicina al bordo del disco (e quindi più si va verso l’infinito) più i segmenti sembrano piccoli. Ma in realtà sono congruenti.

Il disco di Poincarè Il software Non Euclid Per capire meglio come funziona il disco di Poincarè utilizziamo il programma Non Euclid. Per prima cosa notiamo come allontanandoci dal centro i segmenti sembrano più piccoli. Poi proviamo che valgono i primi 4 assiomi della geometria euclidea: E’ possibile tracciare una retta per due punti qualunque. E’ possibile prolungare una linea retta. E’ possibile costruire una circonferenza di raggio e centro qualunque. Gli angoli retti sono tra loro congruenti. Si noti invece che il quinto invece non vale! Ci sono infatti infinite rette parallele a una retta data passanti per un punto esterno a essa. ATTENZIONE: nel modello iperbolico la somma degli angoli interni di un triangolo fa meno di 180°!

Il disco di Poincarè Rappresentazioni di Escher I Ecco uno dei modi in cui Escher ha rappresentato il disco di Poincarè. Gli animali rappresentati hanno tutti la stessa dimensione, anche se sembrano di dimensioni diverse. Il quadrato al centro ha 4 angoli minori di 90°. Gli animali raffigurati sono platelminti, e testimoniano la passione di Escher anche per la biologia.

Il disco di Poincarè Rappresentazioni di Escher II In quest’altro dipinto Escher mette insieme due cose: 1 – Disco di Poincarè 2 – Tassellatura del piano Il piano tassellato stavolta non è il piano euclideo ma il piano iperbolico. Per tassellare il piano Escher ha utilizzato angeli e demoni di dimensioni congruenti.

L’effetto Droste Griglie I Si è visto che segmenti che sembrano non congruenti in realtà nella metrica speciale del disco di Poincarè lo sono. Escher sfrutta questo concetto per costruire griglie che, al contrario del disco di Poincarè, hanno l’infinito al centro. Purtroppo al centro non si può ricondurre l’infinito a un punto solo, serve una (per quanto piccola) circonferenza. Un piccolo buco, insomma.

L’effetto Droste Griglie II La griglia qui accanto, in particolare, è stata utilizzata per costruire uno dei più originali quadri di Escher, la Galleria di stampe. Peccato per il buco nel mezzo che rovina il dipinto. No, Escher sa come riempirlo!

L’effetto Droste La galleria di stampe Nel paese (La Valletta – Malta) che nel dipinto è a destra c’è un sottoportico che contiene una galleria di dipinti (di Escher). Il visitatore a sinistra sta guardando un dipinto che contiene il paese che contiene la galleria di stampe! Al centro: la firma di Escher. MCE.

Le figure impossibili Il triangolo di Penrose Il triangolo di Penrose è una figura solida che nella realtà non può esistere. Gli angoli a 90° sono messi in maniera tale che la figura non dovrebbe “chiudersi”. Escher sfrutta questo paradosso nella cascata infinita.

Le figure impossibili La cascata infinita Se l’acqua scorresse in piano e poi cadesse non avremmo più problemi di energia elettrica! Cercate di vedere dove sono i triangoli impossibili: ce ne sono due. Gli strani solidi sopra le colonne testimoniano la passione di Escher per la geometria; le strane piante in basso a destra la passione per la biologia. Nel video “Angel” di Lionel Richie una bella ragazza si fa la doccia sotto la cascata infinita.

Le figure impossibili Il triangolo impossibile II Oooops! L’hanno costruito! East Perth – Australia.

Le figure impossibili La scala infinita I La scala di Penrose, detta scala infinita, è di ispirazione a Escher per il quadro omonimo. Nella scala di Penrose qui accanto raffigurata si sale (o si scende) per 14 gradini per tornare al gradino di partenza. Meglio di un tapis roulant!

Le figure impossibili La scala infinita II La normalità dell’edificio nasconde bene l’assurdità della figura. I gradini percorsi dai viandanti sono una cinquantina. Anche questa struttura si basa sul triangolo impossibile. Nel film “Inception” di Christopher Nolan è Leonardo di Caprio a salire su una scala infinita.

Le figure impossibili Il cubo di Necker Il cubo di Necker è un’altra figura impossibile. E’ evidente che non può essere costruito in alcun modo nel mondo reale, ciò nonostante può essere raffigurato. Escher utilizza questa struttura per la costruzione de “Il belvedere”.

Le figure impossibili Il belvedere I Questo simpatico belvedere, guardandolo meglio, mostra l’assurdità della sua struttura. I due piani sono perpendicolari tra loro, ma si trovano uno sopra l’altro! Sono le colonne del piano inferiore a produrre l’effetto ottico: da davanti passano a dietro e viceversa. La scala sotto è dentro, sopra è fuori. In basso uno strano tipo in costume medievale studia il cubo di Necker, il cui progetto giace sul pavimento.

Le figure impossibili Il belvedere II Ecco la ricostruzione de “Il belvedere” con il lego.

Le figure impossibili Concavo e convesso Ciò che a destra è sopra a sinistra è sotto, e viceversa. Ciò che a destra è in fuori a sinistra è in dentro, e viceversa. La bandiera a destra rappresenta proprio il concavo e il convesso: i cubi sono in dentro o in fuori? Oggi per ricorrere a tali effetti si utilizza la computer graphics.

Le figure impossibili Relatività I Nel mondo della relatività ci sono 3 centri di gravità, ognuno a 90° dall’altro. Ognuno degli abitanti del quadro è attratto da uno dei centri ed è indifferente agli altri due. Questo dipinto è stato utilizzato come scenografia nel film fantastico “Labirinth” con David Bowie.

Le figure impossibili Relatività II Ecco la ricostruzione di “Relatività” con il lego.

Le figure impossibili Autoreferenzialità La contraddizione principale in “Mani che disegnano” è che ognuna delle mani sta disegnando l’altra. Le mani sono tridimensionali e i polsini delle camicie bidimensionali. La terza dimensione viene creata dal nulla a partire dalla seconda dimensione. In realtà anche le mani sono bidimensionali: sono rappresentate su un foglio di carta!

Le figure impossibili Google Anche Google ha celebrato Escher con un “Doodle” nel 2003. Per farlo ha preso ispirazione dall’opera “Mani che disegnano”.

Le figure impossibili Dimensioni Ci sono tre sfere: La superiore è in tre dimensioni. La media è per metà tridimensionale e per metà bidimensionale. La inferiore è bidimensionale. In realtà sono tutte e tre bidimensionali: sono rappresentate su un foglio di carta! Escher, giocando con le dimensioni, ci comunica che ogni disegno è illusione.

Le figure impossibili Su e giù Il problema era legare le parti inferiore e superiore in maniera armonica: cosa mettere nella parte centrale dell’opera? Il collegamento è il pavimento che è anche soffitto. La colonna a destra ha finestre rivolte in direzioni opposte. In “su e giù” c’è un unico punto di fuga, e si trova al centro del dipinto. Tale punto di fuga è lo zenit per la parte inferiore e il nadir per la parte superiore. La parte superiore e quella inferiore rappresentano la stessa scena da punti di vista diversi.

Le figure impossibili Rettili Il foglio di carta mostra una tassellazione formata da tanti piccoli draghi. Alcuni di questi si stufano di essere bidimensionali ed escono dal foglio per poi rientrarvi. Si noti il dodecaedro, uno dei cinque solidi platonici.

Altre opere Mano con riflesso sferico In questo autoritratto Escher rappresenta sé stesso nel suo studio. Il suo studio è al di fuori della sfera, ma è raffigurato all’interno di essa. Si noti che sono visibili tutte e 4 le pareti dello studio. L’opera è stata realizzata proiettando il suo studio su una sfera. La proiezione non è quella ortogonale studiata alle medie! Escher ha utilizzato questo tipo di proiezione anche in altre sue opere.

Altre opere Giorno e notte In quest’opera c’è un asse di simmetria, verticale, al centro di essa. Il paesaggio rappresentato nella parte destra è identico a quello rappresentato nella parte sinistra. La simmetria è spezzata dal colore (a sinistra è giorno e a destra è notte). Gli uccelli in volo emergono dalla tassellatura a campi coltivati della pianura.

Altre opere Altro mondo La stessa scena è rappresentata da tre punti di vista diversi. Escher utilizza come modello per l’uccello stilizzato un soprammobile di circa 10 cm in legno che tiene sulla sua scrivania. In realtà non è la stessa immagine vista da tre punti di vista diversi! Sapete dire il perché?

Altre opere Tre mondi I tre mondi rappresentati sono: Il mondo subacqueo (il pesce) Il piano dell’acqua (le foglie galleggianti) Ciò che si trova sopra l’acqua ( gli alberi di cui si vede il riflesso).

Altre opere Liberazione La struttura fissa (tassellatura a triangoli bianchi e neri) della parte inferiore del rotolo di carta si trasforma. Dai triangoli spuntano figure irregolari, bianche e nere, che diventano poi uccelli. Alla fine questi uccelli, liberi, volano via. Dalla materia inerte nasce la vita. Può essere vista come una rappresentazione dell’evoluzione Darwiniana.

Altre opere Legame di unione Un uomo e una donna sono rappresentati con un unico nastro. Il nastro, oltre a essere unico per raffigurare le due persone, in un punto si intreccia con se stesso.

Altre opere Incontro Qui si tratta il tema dell’accettazione del diverso. Tanto diversi gli uomini bianchi e neri non sono: vengono tutti e due dallo stesso posto, dalla tassellatura del piano che è nello sfondo. Nel piano tassellato sullo sfondo però non potevano incontrarsi. Anche in quest’opera oggetti bidimensionali escono dal piano e diventano tridimensionali. E’ una immagine ottimistica, ma la stessa tecnica può essere utilizzata per arrivare a conclusioni opposte!

Altre opere Predestinazione Dalla tassellatura del piano emergono due tipi di figure: uccelli bianchi e pesci neri. L’uccello bianco non sa che fine farà fino a che non incontra il pesce nero. Anche noi, come gli uccelli bianchi, non conosciamo il nostro destino. E’ già stato scritto o possiamo influire su di esso in qualche modo?

Altre opere Occhio Forse in parte possiamo influire. Il nostro destino finale è comunque già dentro di noi. Nei nostri occhi.